【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.6 对数与对数函数 文

【步步高】 (江苏专用)2017 版高考数学一轮复习 第二章 函数概念 与基本初等函数 I 2.6 对数与对数函数 文

1.对数的概念 一般地,如果 a (a>0,a≠1)的 b 次幂等于 N,即 a =N,那么就称 b 是以 a 为底 N 的对数, 记作 logaN=b,N 叫做真数. 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,那么 ①loga(MN)=logaM+logaN; ②loga =logaM-logaN; ③logaM =nlogaM (n∈R); ④logamM = logaM(m,n∈R,且 m≠0). (2)对数的性质 ①alogaN=__N__;②logaa =__N__(a>0 且 a≠1). (3)对数的重要公式 logaN ①换底公式:logbN= (a,b 均大于零且不等于 1); logab 1 ②logab= ,推广 logab·logbc·logcd=logad. logba 3.对数函数的图象与性质
N n n b

M N

n m

a>1

0<a<1

图象

1

(1)定义域:(0,+∞) 性 质 (2)值域:R (3)过定点(1,0),即 x=1 时,y=0 当 0<x<1 时,y<0 (6)在(0,+∞)上是增函数 4.反函数 指数函数 y=a 与对数函数 y=logax 互为反函数,它们的图象关于直线__y=x__对称. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若 MN>0,则 loga(MN)=logaM+logaN.( × (2)logax·logay=loga(x+y).( × ) )
x

(4)当 x>1 时,y>0 当 0<x<1 时,y>0 (7)在(0,+∞)上是减函数

(3)函数 y=log2x 及 y=log 1 3x 都是对数函数.( × )
3

(4)对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)在(0,+∞)上是增函数.( × ) 1+x (5)函数 y=ln 与 y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同.( √ 1-x )

?1 ? (6)对数函数 y=logax(a>0 且 a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),? ,-1?,函数图象 ?a ?
只在第一、四象限.( √ )

1.(2015·湖南改编)设函数 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则有关 f(x)的性质判断正确的是 ________(填序号). ①奇函数,且在(0,1)上是增函数; ②奇函数,且在(0,1)上是减函数; ③偶函数,且在(0,1)上是增函数; ④偶函数,且在(0,1)上是减函数. 答案 ① 解析 易知函数定义域为(-1,1),f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),故函数 f(x)为 2 ? 1+x ? 奇函数,又 f(x)=ln =ln?-1- ,由复合函数单调性判断方法知,f(x)在(0,1)上 x-1? 1-x ? ? 是增函数. 1 2 4 2.设 a=log 1 ,b=log 1 ,c=log3 ,则 a,b,c 的大小关系是________. 2 3 3
3 3

答案 c<b<a
2

1 2 3 4 3 4 解析 ∵a=log 1 =log32, b=log 1 =log3 , c=log3 .log3x 是定义域上的增函数, 2> > , 2 3 2 3 2 3
3 3

∴c<b<a. 3.函数 f(x)=lg(|x|-1)的大致图象是________.(填图象序号)

答案 ② 解析 由函数 f(x)=lg(|x|-1)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),值域为 R.又当 x>1 时,函数单调递增,所以只有②正确. 4.(2015·浙江)若 a=log43,则 2 +2 =________. 答案 4 3
a
-a

a

-a

3

解析 2 +2 = 2 = 3+

log 4 3

+2

-log 4 3

=2

log 2 3

+2

log 2

3 3

3 4 3 = . 3 3

3 5.(教材改编)若 loga <1(a>0,且 a≠1),则实数 a 的取值范围是________________. 4

? 3? 答案 ?0, ?∪(1,+∞) 4 ? ?
3 解析 当 0<a<1 时,loga <logaa=1, 4 3 3 ∴0<a< ;当 a>1 时,loga <logaa=1,∴a>1. 4 4

? 3? ∴实数 a 的取值范围是?0, ?∪(1,+∞). ? 4?

3

题型一 对数式的运算 1 1 a b 例 1 (1)设 2 =5 =m,且 + =2,则 m=________.

a b

(2)lg 5+lg 20的值是________. 答案 (1) 10
a

(2)1
b

解析 (1)∵2 =5 =m,∴a=log2m,b=log5m, 1 1 1 1 ∴ + = + =logm2+logm5=logm10=2. a b log2m log5m ∴m= 10. (2)原式=lg 100=lg 10=1. 思维升华 在对数运算中,要熟练掌握对数的定义,灵活使用对数的运算性质、换底公式和 对数恒等式对式子进行恒等变形,多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算. ?1-log63? +log62·log618 (1)计算: =________. log64 (2)已知 loga2=m,loga3=n,则 a 答案 (1)1 (2)12 解析 (1)原式 6 2 1-2log63+?log63? +log6 ·log6?6×3? 3 = log64 1-2log63+?log63? +?1-log63??1+log63? = log64 = = 1-2log63+?log63? +1-?log63? log64
2 2 2 2m+n 2

=________.

2?1-log63? log66-log63 log62 = = =1. 2log62 log62 log62
m n

(2)∵loga2=m,loga3=n,∴a =2,a =3, ∴a
2m+n

=(a ) ·a =2 ×3=12.

m 2

n

2

题型二 对数函数的图象及应用 例 2 (1)函数 y=2log4(1-x)的图象大致是________.(填序号)

4

1 x (2)当 0<x≤ 时,4 <logax,则 a 的取值范围是____________. 2 答案 (1)③ (2)( 2 ,1) 2

解析 (1)函数 y=2log4(1-x)的定义域为(-∞,1),排除①、②; 又函数 y=2log4(1-x)在定义域内单调递减,排除④.故③正确. (2)构造函数 f(x)=4 和 g(x)=logax,当 a>1 时不满足条件,当 0<a<1 时,画出两个函数在
x

?0,1?上的图象, ? 2? ? ? ?1? ?1? 可知 f? ?<g? ?, ?2? ?2?
1 即 2<loga , 2 则 a> 2 ? 2 ? ,所以 a 的取值范围为? ,1?. 2 ?2 ?

思维升华 应用对数型函数的图象可求解的问题 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值 域(最值)、零点时,常利用数形结合思想. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解. (1)已知 lg a+lg b=0,则函数 f(x)=a 与函数 g(x)=-logbx 的图象可能是 ________.
x

5

|lg x|,0<x≤10, ? ? (2)已知函数 f(x)=? 1 - x+6,x>10, ? ? 2 则 abc 的取值范围是____________. 答案 (1)② (2)(10,12) 解析 (1)∵lg a+lg b=0,∴ab=1,

若 a,b,c 互不相等,且 f(a)=f(b)=f(c),

∵g(x)=-logbx 的定义域是(0,+∞),故排除①. 若 a>1,则 0<b<1, 此时 f(x)=a 是增函数,g(x)=-logbx 是增函数,②符合,排除④.若 0<a<1,则 b>1,g(x) =-logbx 是减函数,排除③,故填②. (2)作出 f(x)的大致图象(图略).由图象知,要使 f(a)=f(b)=f(c),不妨设 a<b<c,则- 1 lg a=lg b=- c+6,∴lg a+lg b=0,∴ab=1,∴abc=c.由图知 10<c<12, 2 ∴abc∈(10,12). 题型三 对数函数的性质及应用 命题点 1 比较对数值的大小 例 3 设 a=log36,b=log510,c=log714,则 a,b,c 的大小关系为__________. 答案 a>b>c 解析 由对数运算法则得 a=log36=1+log32,b=1+log52,c=1+log72,由对数函数图象 得 log32>log52>log72,所以 a>b>c. 命题点 2 解对数不等式 例 4 若 loga(a +1)<loga2a<0,则 a 的取值范围是__________. 1 答案 ( ,1) 2 解析 由题意得 a>0,故必有 a +1>2a, 又 loga(a +1)<loga2a<0,所以 0<a<1, 1 同时 2a>1,所以 a> . 2 1 综上,a∈( ,1). 2 命题点 3 和对数函数有关的复合函数 例 5 已知函数 f(x)=loga(3-ax). (1)当 x∈[0,2]时,函数 f(x)恒有意义,求实数 a 的取值范围; (2)是否存在这样的实数 a,使得函数 f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为 1?如果 存在,试求出 a 的值;如果不存在,请说明理由.
2 2 2

x

6

解 (1)∵a>0 且 a≠1,设 t(x)=3-ax, 则 t(x)=3-ax 为减函数,

x∈[0,2]时,t(x)的最小值为 3-2a,
当 x∈[0,2]时,f(x)恒有意义, 即 x∈[0,2]时,3-ax>0 恒成立. 3 ∴3-2a>0.∴a< . 2

? 3? 又 a>0 且 a≠1,∴a∈(0,1)∪?1, ?. ? 2?
(2)t(x)=3-ax,∵a>0,∴函数 t(x)为减函数. ∵f(x)在区间[1,2]上为减函数,∴y=logat 为增函数, ∴a>1,x∈[1,2]时,t(x)最小值为 3-2a,f(x)最大值为 f(1)=loga(3-a), 3 ? ?a<2, 即? 3 ? ?a=2.

? ?3-2a>0, ∴? ?loga?3-a?=1, ?

故不存在这样的实数 a,使得函数 f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为 1. 思维升华 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时,要优先考虑利用对数函数 的单调性来求解.在利用单调性时,一定要明确底数 a 的取值对函数增减性的影响,及真数 必须为正的限制条件. (1)设 a=log32,b=log52,c=log23,则 a,b,c 的大小关系为____________. (2)若 f(x)=lg(x -2ax+1+a)在区间(-∞,1]上递减,则 a 的取值范围为__________. log2x,x>0, ? ? (3) 设函数 f(x) = ?log ?-x?,x<0, 1 ? ? 2 __________________. 答案 (1)c>a>b (2)[1,2) (3)(-1,0)∪(1,+∞)
2

若 f(a)>f( - a) ,则实数 a 的取值范围是

解析 (1)∵ 3<2<3,1<2< 5,3>2, ∴log3 3<log32<log33, log51<log52<log5 5,log23>log22, 1 1 ∴ <a<1,0<b< ,c>1,∴c>a>b. 2 2 (2)令函数 g(x)=x -2ax+1+a=(x-a) +1+a-a ,对称轴为 x=a,要使函数在(-∞, 1]上递减,则有?
?g?1?>0, ? ?a≥1, ? ?2-a>0, ? 即? ?a≥1, ? 7
2 2 2

解得 1≤a<2,即 a∈[1,2).

a>0, ? ? (3)由题意可得?log2a>log a 1 ? ? 2
解得 a>1 或-1<a<0.

a<0, ? ? 或?log ?-a?>log2?-a?, 1 ? ? 2

2.比较指数式、对数式的大小

典例 (1)设 a=0.5 ,b=0.3 ,c=log0.30.2,则 a,b,c 的大小关系是__________. (2)设 a=log2π ,b=log 1 π ,c=π
2
-2

0.5

0.5

,则 a,b,c 的大小关系为____________.

(3)已知 a=5

log 2 3.4

1 ,b=5log4 3.6,c=( )log3 0.3,则 a,b,c 大小关系为__________. 5
0.5

思维点拨 (1)可根据幂函数 y=x 的单调性或比商法确定 a,b 的大小关系,然后利用中间 值比较 a,c 大小.(2)a,b 均为对数式,可化为同底,再利用中间变量和 c 比较.(3)化为 同底的指数式. 解析 (1)根据幂函数 y=x 的单调性, 可得 0.3 <0.5 <1 =1,即 b<a<1; 根据对数函数 y=log0.3x 的单调性,可得 log0.30.2>log0.30.3=1,即 c>1.所以 b<a<c. 1 1 (2)∵a=log2π >log22=1,b=log 1 π =log2 <log21=0,0<c= 2<1,∴b<c<a. π π
2
log 3 1 log 0.3 -log3 0.3 3 (3)c=( ) 3 =5 =5 . 5 10
0.5 0.5 0.5 0.5

方法一 在同一坐标系中分别作出函数 y=log2x,y=log3x,y=log4x 的图象,如图所示.

10 由图象知:log23.4>log3 >log43.6. 3 10 10 方法二 ∵log3 >log33=1,且 <3.4, 3 3 10 ∴log3 <log33.4<log23.4. 3

8

10 ∵log43.6<log44=1,log3 >1, 3 10 ∴log43.6<log3 . 3 10 ∴log23.4>log3 >log43.6. 3 由于 y=5 为增函数, ∴5
log 2 3.4
x

>5

log 3

10 3

>5

log 4 3.6

.

即5

log 2 3.4

1 log 0.3 log 3.6 >( ) 3 >5 4 ,故 a>c>b. 5

答案 (1)b<a<c (2)a>c>b (3)a>c>b 温馨提醒 (1)比较指数式和对数式的大小,可以利用函数的单调性,引入中间量;有时也可 用数形结合的方法. (2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数,利用函数单调性进行比较,如果指数相同,而 底数不同则构造幂函数,若底数相同而指数不同则构造指数函数,若引入中间量,一般选 0 或 1.

[方法与技巧] 1.对数值取正、负值的规律 当 a>1 且 b>1 或 0<a<1 且 0<b<1 时,logab>0; 当 a>1 且 0<b<1 或 0<a<1 且 b>1 时,logab<0. 2.对数函数的定义域及单调性 在对数式中,真数必须是大于 0 的,所以对数函数 y=logax 的定义域应为(0,+∞).对数 函数的单调性和 a 的值有关,因而,在研究对数函数的单调性时,要按 0<a<1 和 a>1 进行分 类讨论. 3.比较幂、对数大小有两种常用方法:(1)数形结合;(2)找中间量结合函数单调性. 4.多个对数函数图象比较底数大小的问题,可通过比较图象与直线 y=1 交点的横坐标进行 判定. [失误与防范] 1.在运算性质 logaM =α logaM 中,要特别注意条件,在无 M>0 的条件下应为 logaM = α loga|M|(α ∈N ,且 α 为偶数). 2.解决与对数函数有关的问题时需注意两点:(1)务必先研究函数的定义域;(2)注意对数底 数的取值范围.
* α α

9

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 1.已知 log7[log3(log2x)]=0,那么 x 答案 2 4
? 1 2

=________.

解析 由条件知,log3(log2x)=1,∴log2x=3, ∴x=8,∴x
? 1 2



2 . 4
? 1 2

2.已知 x=ln π ,y=log52,z=e 答案 y<z<x 解析 ∵x=ln π >ln e,∴x>1. 1 ∵y=log52<log5 5,∴0<y< . 2 ∵z=e
? 1 2

,则 x,y,z 的大小关系为____________.



1 e

>

1

1 1 = ,∴ <z<1. 2 4 2

综上可得,y<z<x.
?3 , x≤0, ? 3.已知函数 f(x)=? ? ?log2x, x>0,
x+1

则使函数 f(x)的图象位于直线 y=1 上方的 x 的取值

范围是__________. 答案 (-1,0]∪(2,+∞) 解析 当 x≤0 时,3 1<x≤0 或 x>2. 4.设 f(x)=lg? 答案 (-1,0) 解析 由 f(x)是奇函数可得 a=-1, 1+x ∴f(x)=lg ,定义域为(-1,1). 1-x 1+x 由 f(x)<0,可得 0< <1,∴-1<x<0. 1-x 5. 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=-f(x), f(x-2)=f(x+2), 且 x∈(-1,0)时, f(x)
x+ 1

>1? x+1>0,∴-1<x≤0;当 x>0 时,log2x>1? x>2,综上所述:-

? 2 +a?是奇函数,则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是__________. ? ?1-x ?

10

1 x =2 + ,则 f(log220)=________. 5 答案 -1 解析 由 f(x-2)=f(x+2),得 f(x)=f(x+4),因为 4<log220<5,所以 f(log220)=
4

log 2 4 1 f(log220-4)=-f(4-log220)=-f(log2 )=-(2 5 + )=-1. 5 5

5 ?1?-1 6.(2015·安徽)lg +2lg 2-? ? =________. 2 ?2? 答案 -1 5 5 ?1?-1 2 解析 lg +2lg 2-? ? =lg +lg 2 -2 2 2 ?2?

?5 ? =lg ? ×4?-2=1-2=-1. ?2 ?
1 7.设函数 f(x)满足 f(x)=1+f( )log2x,则 f(2)=_____________________. 2 答案 3 2

1 1 1 1 1 解析 由已知得 f( )=1-f( )·log22,则 f( )= ,则 f(x)=1+ ·log2x,故 f(2)=1+ 2 2 2 2 2 1 3 ·log22= . 2 2
?-x+6,x≤2, ? 8.(2015·福建)若函数 f(x)=? ?3+logax,x>2 ?

(a>0,且 a≠1)的值域是[4,+∞),则

实数 a 的取值范围是_____________________________________. 答案 (1,2] 解析 由题意 f(x)的图象如右图,则?
2

? ?a>1, ?3+loga2≥4, ?

∴1<a≤2.

9.已知函数 y=log 1 (x -ax+a)在区间(-∞, 2)上是增函数,求 a 的取
2

值范围. 解 函数 y=log 1 (x -ax+a)是由函数 y=log 1 t 和 t=x -ax+a 复合而成.
2 2
2 2

因为函数 y=log 1 t 在区间(0,+∞)上单调递减,
2

而函数 t=x -ax+a 在区间(-∞, )上单调递减, 2 又因为函数 y=log 1 (x -ax+a)在区间(-∞, 2)上是增函数,
2
2

2

a

11

a ? ? 2≤2, 所以? ? ?? 2?2- 2a+a≥0,
即 2 2≤a≤2( 2+1).

解得?

?a≥2 2, ?a≤2? 2+1?,

10.设 f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0,a≠1),且 f(1)=2. (1)求 a 的值及 f(x)的定义域; 3 (2)求 f(x)在区间[0, ]上的最大值. 2 解 (1)∵f(1)=2, ∴loga4=2(a>0,a≠1), ∴a=2.
?1+x>0, ? 由? ? ?3-x>0,

得 x∈(-1,3),

∴函数 f(x)的定义域为(-1,3). (2)f(x)=log2(1+x)+log2(3-x) =log2(1+x)(3-x)=log2[-(x-1) +4], ∴当 x∈(-1,1]时,f(x)是增函数; 当 x∈(1,3)时,f(x)是减函数, 3 故函数 f(x)在[0, ]上的最大值是 f(1)=log24=2. 2 B 组 专项能力提升 (时间:20 分钟) 11.(2015·陕西改编)设 f(x)=ln x,0<a<b,若 p=f( ab),q=f?
2

?a+b?,r=1(f(a)+ ? 2 ? 2 ?

f(b)),则 p、q、r 的大小关系是____________.
答案 p=r<q 解析 ∵0<a<b,∴

a+b
2

> ab,

又∵f(x)=ln x 在(0,+∞)上为增函数, ∴f?

?a+b?>f( ab),即 q>p. ? ? 2 ?

1 1 又 r= (f(a)+f(b))= (ln a+ln b)=ln ab=p, 2 2 故 p=r<q.

?1? f?1?, 12. 设函数 f(x)定义在实数集上, f(2-x)=f(x), 且当 x≥1 时, f(x)=ln x, 则 f? ?, ? ? ?3? ?2?
12

f(2)的大小关系是______________.
1 1 答案 f( )<f( )<f(2) 2 3 2-x+x 解析 由 f(2-x)=f(x)知 f(x)的图象关于直线 x= =1 对称,又当 x≥1 时,f(x) 2 =ln x,所以离对称轴 x=1 距离大的 x 的函数值大, 1 1 ∵|2-1|>| -1|>| -1|, 3 2 1 1 ∴f( )<f( )<f(2). 2 3 13 .若函数 f(x) = lg( - x + 8x - 7) 在区间 (m , m + 1) 上是增函数,则 m 的取值范围是 __________. 答案 [1,3] 解析 由题意得?
? ?m+1≤4, ?-m +8m-7≥0, ?
2 2

解得 1≤m≤3,

所以答案应填[1,3]. 14.已知函数 f(x)=ln ,若 f(a)+f(b)=0,且 0<a<b<1,则 ab 的取值范围是________. 1-x

x

? 1? 答案 ?0, ? 4 ? ?
a b
解析 由题意可知 ln +ln =0, 1-a 1-b 即 ln?

? a × b ?=0,从而 a × b =1,化简得 a+b=1,故 ab=a(1-a)=-a2+a= ? 1-a 1-b ?1-a 1-b?

? 1?2 1 -?a- ? + , ? 2? 4
又 0<a<b<1, 1 ? 1?2 1 1 ∴0<a< ,故 0<-?a- ? + < . 2 ? 2? 4 4 1 2 15.设 x∈[2,8]时,函数 f(x)= loga(ax)·loga(a x)(a>0,且 a≠1)的最大值是 1,最小值 2 1 是- ,求 a 的值. 8 1 解 由题意知 f(x)= (logax+1)(logax+2) 2 1 1 3 2 1 2 = (logax+3logax+2)= (logax+ ) - . 2 2 2 8

13

1 3 当 f(x)取最小值- 时,logax=- . 8 2 又∵x∈[2,8],∴a∈(0,1). ∵f(x)是关于 logax 的二次函数, ∴函数 f(x)的最大值必在 x=2 或 x=8 时取得. 1 3 2 1 1 若 (loga2+ ) - =1,则 a=2- , 2 2 8 3 此时 f(x)取得最小值时,

x= (2 ) = 2?[2,8],舍去.
1 3 2 1 1 若 (loga8+ ) - =1,则 a= , 2 2 8 2 1 ? 此时 f(x)取得最小值时,x=( ) 2 =2 2∈[2,8], 2 1 符合题意,∴a= . 2
3

?

1 3 ? 3 2

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