福建省宁德市高中同心顺联盟校2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案

宁德市高中同心顺联盟校 2018-2019 学年第一学期期中考试 高二数学试题
(考试时间:120 分钟,满分:150 分) 第 I 卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,有且 只有一个项是符合题目要求的。
1.若 a,b,c ? R ,且 b ? a ? 0,则下列不等式一定成立的是( )

A. b ? a

B. ab ? a2

C. b3 ? a3

D. b2 ? a2

2.等差数列{an}中, a1 ? a5 ? 10 , a4 ? 7 ,则数列{an} 的公差为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

3.在 ?ABC 中,若 BC ? 5 , sin C ? 2sin A,则 AB =( )

A. 2 5

B. 3 5

C. 4 5

D. 5 5

4. 已知 x ? 0 ,函数 y ? 4 ? x 的最小值是( x

A.8

B.6

C.5

) D.4

5.正项等比数列{an}中, a2,a6 是方程 x2 ? 34x ? 64 ? 0 的两根,则 a4 等于( )

A.7

B.8

C.9

D.以上都不对

6.在 ?ABC 中,角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ,且 a2 ?b2 ?c2 ? 2ac ,则角 B 的大小

是( )

A.45°

B.60°

C.90°

D.135°

?y ?1

7.若变量

x,

y

满足约束条件

? ?

x

?

y

?

0

,则 z ? x ? 2 y 的最小值为(

)

?? x ? y ? 2 ? 0

1

A.3

B.1

C. ?1

D. ?3

8.已知数列1, a1,a2 , 9

是等差数列,数列1, b1,b2 , b3,16 是等比数列,则

b2 a1 +a2

等于(



A. 7 10

B. 1 2

C. 3 10

D. 2 5

9. 在 △ABC 中,a,b, c 分别为 A, B,C 的对边,如果 a,b, c 成等差数列,B ? 60 , ac ? 6 ,

那么 b =( )

A.2

B. 6

C.3

D. 2 3

10.已知数列{an} 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2an ? 2 ,则 a2018 等于( )

A. 22021

B. 22020

C. 22019

D. 22018

11. 在 △ABC 中,内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c , a ? 2 , B ? 45 , S?ABC ? 4 ,则 △ABC 的外接圆直径为( )

A. 2 10

B. 2 5

C. 5 2

D. 6 2

12. 数列{an}的首项为 2,{bn}为等差数列且 bn ? an?1 ? an (n ? N*) ,若 b3 ? ?2 ,b10 ? 12 ,

则 a8 =( )

A.4

B.3

C.2

D.1

第 II 卷(非选择题 共 90 分) 注意事项:用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上作答,答案无效。 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置。

13. 在 △ABC 中, asin A ? bsin B ,则△ABC 的形状是



2

14.已知在等差数列{an}中,首项为 20,公差是整数,从第 8 项开始为负项,
则公差为___ ___。

15. 一艘船以每小时 20 km 的速度向东行驶,船在 A 处看到一灯塔 B 在 北

北偏东 60°,行驶 2 h 后,船到达 C 处,看到这个灯塔在北偏东 15°, 60

这时船与灯塔的距离为

km。

A

B
15
C东

16.如果关于 x 的不等式 2kx2 ? kx ? 1 ? 0 对一切实数 x 都成立, 8

则 k 的取值范围是



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本题满分10 分) 设 △ABC 中的内角 A, B,C 的对应边分别为 a,b, c ,已知 a ? 2,b ? 4, cos C ? 1
4 (Ⅰ)求 ?ABC 的边长 c ; (Ⅱ)求 cos( A ? C) 的值。

3

18. (本题满分 12 分)

已知等差数列{an}的前 n

项和为 Sn

,且 a3

? 10



S6

?

72

, bn

?

1 2

an

? 30 ,

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)求数列{bn}的前 n 项和Tn 的最小值。

19.(本题满分12 分) 已知关于 x 的不等式 ax2 ? 3x ? 2 ? 0 的解集为{x x ?1或x ? b}。

(Ⅰ)求 a, b 的值;

(Ⅱ)当

x

?

0,

y

?

0

且满足

a x

?

b y

? 1时,有 2x

?

y

?

k2

?

k

?

2

恒成立,求 k

的取值范围。

20. (本题满分12 分) △ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ,已知 a ? c cos B ? 3b sin C 。 (Ⅰ)求 C ; (Ⅱ)若 c ? 2 ,求 △ABC 面积的最大值。
4

21. (本题满分12 分)

雾霾大气严重影响人们的生活,某科技公司拟投资开发新型节能环保产品,策划部制定投资

计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且还要考虑可能出现的亏损,经过市场调查,公司

打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100%和 60%,可

能的最大亏损率分别为 20%和 10%,投资人计划投资金额不超过 9 万元,要求确保可能的资

金亏损不超过 1.4 万元。

(Ⅰ)若投资人用 x 万元投资甲项目, y 万元投资乙项目,试写出 x, y 所满足的条件,并在直

角坐标系内作出表示 x, y 范围的图形。

(Ⅱ)根据(1)的规划,投资公司对甲、乙两个项目分别投资多少万元,才能使可能的盈利

最大?

y

O

x

22. (本题满分12 分) 已知正项数列{an} 的前 n 项和为 Sn ,且 a1=1 , an2?1=2Sn ? an?1 。 (Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)设 bn ? a2n?1 ? 3an ,求数列{bn}的前 n 项和Tn 。
5

宁德市高中同心顺联盟校 2018-2019 学年第一学期期中考试 高二数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 60 分。 1.C 2.B 3.A 4.D 5.B 6.A 7.C 8.D 9.B 10.D 11.A 12.C 二、填空题 :本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 20 分。

13.等腰三角形

14. ?3

15. 20 2 16. (?1, 0]

三、解答题:本大题 共 6 小题,共 70 分。
17. 解析:(Ⅰ) c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? 16

?c ? 4 ………………………………4 分

(Ⅱ)解一: cos C ? 1 ,?sin C ? 15 ,………………………………………5 分

4

4

由正弦定理: c ? a ? sin A ? 15 ,………………………………………7 分

sin C sin A

8

?cos A ? ? 7 ,又 a ? b ,?cos A ? 7 ,

8

8

?cos(A ? c) ? cos AcosC ? sin Asin C ? 11 。……………………………………10 分 16

解二: cos C ? 1 ,?sin C ? 15 ,…………………………………………5 分

4

4

由余弦定理: cos A ? b2 ? c2 ? a2 ? 7 ,?sin A ? 15 …………………………8 分

2bc

8

8

?cos(A ? c) ? cos AcosC ? sin Asin C ? 11 。……………………………………10 分 16

18.

解析:(Ⅰ)由 a3

? 10 , S6

?

72

,得

???6aa11

? ?

2d ? 10 15d ? 72

,………………………2



解得

???ad1

? ?

2 4

,……………………………………………………………………4



所以 an ? 4n ? 2 ,即数列{an}的通项公式为 an ? 4n ? 2 ;…………………6 分

6

(Ⅱ)解一:由(Ⅰ)知 bn

?

1 2

an

?

30

?

2n

? 31………………………………………7





? 2n ? 31 ? 0 ??2(n ?1) ? 31 ?

0

,得

29 2

?

n

?

31 2

,又

n?

N*

,所以

n

? 15 ,………………9



所以{bn}只有前 15 项为负值,故当 n ?15时 Tn 最小且T15 ? ?225 ……………12 分

解二:由(Ⅰ)知 bn

?

1 2

an

? 30

?

2n ? 31…………………………………………………7



?Tn

?

(b1

? bn ) ? n 2

?

n2

? 30n

?

(n

?15)2

? 225 ………………………………………10



当 n ?15时,Tn 最小且T15 ? ?225 ……………………………………………………12 分

19. 解:(Ⅰ)解一:因为不等式 ax2 ? 3x ? 2 ? 0 的解集为{x x ?1或x ? b},

所以 1 和 b 是方程 ax2 ? 3x ? 2 ? 0 的两个实数根且 a ? 0 ,…………………3 分

所以

???1? b ? ?

? ??

1?

b

?

3 a 2 a

,解得

?a ??b

? ?

1 2

………………………………………………………6



解二:因为不等式 ax2 ? 3x ? 2 ? 0 的解集为{x x ?1或x ? b},

所以 1 和 b 是方程 ax2 ? 3x ? 2 ? 0 的两个实数根且 a ? 0 ,…………………3 分 由 1 是 ax2 ? 3x ? 2 ? 0 的根,有 a ? 3? 2 ? 0 ? a ?1,………………………4 分 将 a ?1代入 ax2 ? 3x ? 2 ? 0 ,得 x2 ? 3x ? 2 ? 0 ? x ? 1或x ? 2 ,?b ? 2 ……6 分

?a ?1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ??b ? 2

,于是有

1 x

?

2 y

? 1,………………………………………………7





2x

?

y

?

(2x

?

y)( 1 x

?

2 y

)

?

4

?

y x

?

4x y

?

8 ,当

?x

? ?

y

? ?

2 4

时,左式等号成立,……9



依题意必有 (2x ? y)min ? k 2 ? k ? 2 ,即 8 ? k2 ? k ? 2 ,…………………………10 分

得 k2 ? k ? 6 ? 0 ? ?3 ? k ? 2 ,所以 k 的取值范围为 (?3, 2) 。…………………12 分

20. 解析:(Ⅰ)由已知及正弦定理得: sin A ? sin C cos B ? 3 sin B sin C ,………2 分

所以 sin(B ? C) ? sin C cos B ? 3 sin B sin C ,得 sin B cos C ? 3 sin B sin C ,

7

因为 sin B ? 0 ,所以 tan C ? 3 ,又 C ?(0,? ) ,解得 C ? ? ;…………………6 分

3

6

(Ⅱ)由已知及余弦定理得: c2 ? b2 ? a2 ? 2ab cos ? ,即 4 ? b2 ? a2 ? 3ab , 6

由 b2 ? a2 ? 2ab ,当 b ? a 时取等号,

所以 4 ? (2 ? 3)ab ,解得 ab ? 4 ? 8 ? 4 3 ,…………………………………9 分 2? 3

1

1

?

?S?ABC ? 2 ab sin C ? 2 (8 ? 4

3)sin ? 2 ? 6

3 ,当且仅当 a ? b ?

6?

2 时等号成立,

即当 a ? b ? 6 ? 2 时, ?ABC面积最大且最大值为 2 ? 3 。……………………12 分

y 21.解:(Ⅰ) 由题意,知 x, y 满足的条件为

? x?y?9

??0.2x ?

? ?

x

?

0

0.1y

?

1.4

…………………3



?? y ? 0

x? y ?9

2x ? y ? 14

上述不等式组表示的平面区域如图中

阴影部分(含边界)。…………………………6 分

O

x

(Ⅱ)根据第一问的规划和题设条件,依题意

可知目标函数为 z ? x ? 0.6 y ,在上图中,作直线 l0 : x ? 0.6y=0

平移直线 l0 ,当经过直线 x ? y=9 与 2x ? y=14 的交点 A 时,其纵截距最大,

解方程组

? x ? y=9 ??0.2x ? 0.1y=1.4

,解得

? ? ?

x=5 y=4

,即

A(5,

4)

,此时

z

?

5

?

0.6

?

4

?

7.4

(万元),

所以当 x ? 5, y ? 4 时, z 取得最大值 7.4 ,

即投资人用 5 万元投资甲项目,4 万元投资乙项目,才能确保亏损不超过 1.4 万元,且使可

能的利润最大。………………………………………………………………12 分

8

22. 解析:(Ⅰ)由 an2?1=2Sn ? an?1 ①,有 an2=2Sn?1 ? an ( n ? 2 ) ②

将①-②得

a2 n?1

-an2=an

?

an?1

,即(an?1

?

an )(an?1

?

an

)

?

an?1

?

an



由正项数列{an}知 an?1 ? an ? 0 ,所以 an?1 ? an ? 1 ( n ? 2 ),……………………3 分 由①知 a22=2S1 ? a2=2a1 ? a2 ,又 a1=1 ,有 a22 ? a2 ? 2 ? 0 解得 a2=2 ,故 a2 -a1 ? 1 ,

所以 an?1 ? an ? 1 ( n ? N* ),故数列{an}是公差为 1 的等差数列.……………5 分

所以 an ? n (n ? N * ) ,即{an}的通项公式为 an ? n ;…………………………………6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 an ? n ,故 bn ? a2n?1 ? 3an ? (2n ?1) ? 3n ,………………………………7 分

?Tn ? 1? 3 ? 3? 32 ? 5? 33 ? ? (2n ?1) ? 3n



3Tn ? 1? 32 ? 3? 33 ? 5? 34 ? ? (2n ?1) ? 3n?1 ④…………………………………………9



③-④得

-2Tn ? 1?3 ? 2 ? (32 ? ?33 ?

? 3n ) ? (2n ?1) ? 3n?1 ? 3 ? 2 ? 32 (1? 3n?1) ? (2n ?1) ? 3n?1 1?3

? 3 ? 32 (3n?1 ?1) ? (2n ?1) ?3n?1 ? ?6 ? (2n ? 2) ?3n?1

?Tn ? 3 ? (n ?1) ? 3n?1 ,故数列{bn}的前 n 项和Tn ? 3 ? (n ?1) ? 3n?1 ………………12 分

9


相关文档

福建省宁德市高中同心顺联盟校2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案
2018-2019学年福建省宁德市高中同心顺联盟校高一上学期期中考试数学试题Word版含答案
2018-2019学年福建省宁德市高中同心顺联盟校高一下学期期中考试数学试题Word版含答案
福建省宁德市高中同心顺联盟校2018-2019学年高一下学期期中考试历史试题(Word版含答案)
福建省宁德市高中同心顺联盟校2018-2019学年高二上学期期中考试物理试题(Word版含答案)
福建省宁德市高中同心顺联盟校2018-2019学年高一下学期期中考试生物试题 Word版缺答案
福建省宁德市高中同心顺联盟校2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案
2018-2019学年福建省宁德市高中同心顺联盟校高二上学期期中考试英语试题Word版含答案
2018-2019学年福建省宁德市高中同心顺联盟校高二上学期期中考试物理试题Word版含答案
2018-2019学年福建省宁德市高中同心顺联盟校高二下学期期中考试英语试题Word版含答案
学霸百科
67834472文学网 678344721php网站 678344722jsp网站 678344723小说站 678344724算命网 678344725占卜网 678344726星座网 电脑版 | 学霸百科