非常考案通用版2017版高考数学一轮复习第五章数列分层限时跟踪练28


分层限时跟踪练(二十八)
(限时 40 分钟) [基 础 练] 扣教材 练双基 一、选择题 1.等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}中的公差为( A.1 B.2 C.3 D.4 )

【解析】 法一 利用基本量法求解.
?2a1+4d=10, ? 设等差数列{an}的公差为 d,由题意得? ?a1+3d=7, ?

解得?

? ?a1=1, ?d=2. ?

∴d=2. 法二 利用等差数列的性质求解. ∵在等差数列{an}中,a1+a5=2a3=10, ∴a3=5. 又 a4=7,∴公差 d=7-5=2. 【答案】 B 2.(2015·兰州一诊)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a4=18-a5,则 S8=( A.18 C.54 B.36 D.72 )

8?a1+a8? 8?a4+a5? 8×18 【解析】 由题意,得 a4+a5=18,所以 S8= = = =72, 2 2 2 故选 D. 【答案】 D 3.(2015·沈阳模拟)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,公差 d=2,Sn+2-Sn =36,则 n=( A.5 C.7 【解析】 法一 Sn=na1+ 2 ) B.6 D.8

n?n-1? d=n+n(n-1)=n2,则 Sn+2=(n+2)2,由 Sn+2-

Sn=36,得(n+2)2-n2=4n+4=36,所以 n=8.
法二 Sn+2-Sn=an+1+an+2=2a1+(2n+1)d=2+2(2n+1)=36,解得 n=8.所以选 D. 【答案】 D

1

1 4.(2015·郑州模拟)在等差数列{an}中,若 a4+a6+a8+a10+a12=120,则 a9- a11 的值 3 为( ) A.14 C.16 B.15 D.17

【解析】 设公差为 d,∵a4+a6+a8+a10+a12=120, 1 1 2 ∴5a8=120,a8=24,∴a9- a11=(a8+d)- (a8+3d)= a8=16. 3 3 3 【答案】 C 5.(2015·泰安模拟)设等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn,若 a2=-11,a5+a9=-2,则 当 Sn 取最小值时,n=( A.9 C.7 ) B.8 D.6

【解析】 设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d, 由?
? ?a2=-11, ?a5+a9=-2, ? ? ?a1+d=-11, 得? ?2a1+12d=-2, ?

解得?

? ?a1=-13, ?d=2. ?

∴an=-15+2n. 15 由 an=-15+2n≤0,解得 n≤ . 2 又 n 为正整数, ∴当 Sn 取最小值时,n=7,故选 C. 【答案】 C 二、填空题 1 6.(2015·安徽高考)已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+ (n≥2),则数列{an}的前 9 2 项和等于 .

1 1 【解析】 由 a1=1,an=an-1+ (n≥2),可知数列{an}是首项为 1,公差为 的等差数 2 2 9×?9-1? 1 列,故 S9=9a1+ × =9+18=27. 2 2 【答案】 27 7.(2016·海南模拟)已知一个等差数列的前四项之和为 21,末四项之和为 67,前 n 项和为 286,则项数 n= .

【解析】 ∵a1+a2+a3+a4=21,

an+an-1+an-2+an-3=67,
∴(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+(a4+an-3)=88.
2

∴a1+an=22. 又 Sn=

n?a1+an?
2

=11n=286,

∴n=26. 【答案】 26 8.(2015·全国卷Ⅱ)设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 a1=-1,an+1=SnSn+1,则 Sn = . 【解析】 ∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=SnSn+1, ∴Sn+1-Sn=SnSn+1. 1 1 1 1 ∵Sn≠0,∴ - =1,即 - =-1.

Sn Sn+1
?Sn?

Sn+1 Sn

?1? 1 又 =-1,∴? ?是首项为-1,公差为-1 的等差数列.

S1 Sn

1 1 ∴ =-1+(n-1)×(-1)=-n,∴Sn=- .

n

1 【答案】 -

n

三、解答题 9.(2015·辽宁五校联考)已知数列{an}满足(an+1-1)(an-1)=3(an-an+1),a1=2,令

bn= . an-1
(1)证明:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. 【解】 (1) = 1

1

an+1-1 an-1



1

an-an+1 1 = , ?an+1-1??an-1? 3

1 ∴bn+1-bn= ,∴{bn}是等差数列. 3 (2)由(1)及 b1= ∴an-1= 1 1 1 2 * = =1,知 bn= n+ (n∈N ), a1-1 2-1 3 3

3 n+5 * ,∴an= (n∈N ). n+2 n+2

10.(2015·山西模拟)在数列{an}中,a1=1,an+1·an=an-an+1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=lg

an+2 ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn, an

3

【解】 (1)由题意得

1

an+1 an

1 1 - =1,又 a1=1,所以 =1.

a1

1 所以数列{ }是首项、公差均为 1 的等差数列,

an

1 1 所以 =n,即 an= .

an

n

1 * 所以数列{an}的通项公式为 an= ,n∈N .

n

(2)由(1)得 bn=lg n-lg(n+2), 所以 Sn=lg 1-lg 3+lg 2-lg 4+lg 3-lg 5+…+lg(n-2)-lg n+lg(n-1)-lg(n +1)+lg n-lg(n+2) =lg 1+lg 2-lg(n+1)-lg(n+2) 2 * =lg (n∈N ). ?n+1??n+2? [能 力 练] 扫盲区 提素能 1.(2015·黄冈模拟)设 Sn,Tn 分别是等差数列{an},{bn}的前 n 项和,若 = (n Tn 2n+1 ∈N ),则 =( A. C. 5 13 11 23
*

Sn

n

a5 b6

) B. D. 9 19 9 23

【解析】 根据等差数列的前 n 项和公式及 =

Sn n * 2 (n∈N ),可设 Sn=kn ,Tn=kn(2n Tn 2n+1 a5 9 ,故选 b6 23

+1),又当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=k(2n-1),bn=Tn-Tn-1=k(4n-1),所以 = D. 【答案】 D

2.(2015·枣庄模拟)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若-a2 013<a1<-a2 014,则必定 有( ) A.S2 013>0,且 S2 014<0 C.a2 013>0,且 a2 014<0 B.S2 013<0,且 S2 014>0 D.a2 013<0,且 a2 014>0

2 013?a1+a2 013? 2 014?a1+a2 014? 【解析】 ∵{an}为等差数列,∴S2 013= ,S2 014= , 2 2 由-a2 013<a1<-a2 014 得 a1+a2 013>0,a1+a2 014<0,所以 S2 013>0,S2 014<0,故选 A. 【答案】 A
4

3 .(2015·济南模拟 )记 Sn 为等差数列 {an} 的前 n 项和,若 - = 1 ,则其公差 d 3 2 = . 【解析】 由等差数列的性质可知,{ }成等差数列. 又 = n+a1- ,且 - =1, n 2 2 3 2 ∴ =1,∴d=2. 2 【答案】 2 4.(2016·潍坊模拟)把数列{3n}(n∈N )中的数按上小下大,左小右大的原则排成如图 5?2?1 所示三角形表.
*

S3

S2

Sn n

Sn d d

d

S3 S2

图 5?2?1 设 aij(i,j∈N )是位于从上往下第 i 行且从左到右第 i 个数,则 a(37,6)=
*

.

36?1+36? 【解析】 由三角形表可知,第 n 行有 n 个数,则 a(37,6)是数列{3n}中的第 2 +6=672 个数. ∴a672=3+(672-1)×3=2 016. 【答案】 2 016 5.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1<0,S2 015=0. (1)求 Sn 的最小值及此时 n 的值; (2)求 n 的取值集合,使 an≥Sn. 【解】 (1)设公差为 d,则由 S2 015=0? 2 015×2 014 2 015a1+ d=0? a1+1 007d=0, 2

d=-

1 2 015-n a1,a1+an= a1, 1 007 1 007

n n 2 015-n a1 2 ∴Sn= (a1+an)= · a1= (2 015n-n ). 2 2 1 007 2 014
∵a1<0,n∈N , ∴当 n=1 007 或 1 008 时,Sn 取最小值 504a1. 1 008-n (2)an= a1, 1 007
*

5

Sn≤an?

1 008-n 2 (2 015n-n )≤ a1. 2 014 1 007
2

a1

∵a1<0,∴n -2 017n+2 016≤0, 即(n-1)(n-2 016)≤0, 解得 1≤n≤2 016. 故所求 n 的取值集合为{n|1≤n≤2 016,n∈N }. 6.(2015·商丘模拟)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,且对任意正整数 n,点(an+1,
*

Sn)在直线 3x+2y-3=0 上.
(1)求数列{an}的通项公式;
? λ ? (2)是否存在实数 λ ,使得数列?Sn+λ n+ n ?为等差数列?若存在,求出 λ 的值;若 3? ?

不存在,说明理由. 【解】 (1)由题意可得 3an+1+2Sn-3=0,①

n≥2 时,3an+2Sn-1-3=0,②
①-②得 3an+1-3an+2an=0,整理得

an+1 1 = (n≥2), an 3

1 ?1?n-1 * 又∵a1=1,∴数列{an}是首项为 1,公比为 的等比数列,∴an=? ? (n∈N ). 3 ?3?

? ?1?n? 3?1-? ? ? ? ?3? ? (2)由(1)知 Sn= , 2
? λ ? 若?Sn+λ n+ n ?为等差数列,则 3? ?

19 ? 4 82 3 ? 2?S2+ λ ?=S1+ λ +S3+ λ ,得 λ = , 9 ? 3 27 2 ?
?3?n+1?? 3 3 3 3?n+1? ?成等差数列, 又 λ = 时,Sn+ ·n+ ,显然? n= 2 2 2 2·3 2 ? ? ? λ ? 3 故存在实数 λ = ,使得数列?Sn+λ n+ n ?成等差数列. 3? 2 ?

6


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