2014高考数学必考点解题方法秘籍 圆锥曲线2 理

2014 高考理科数学必考点解题方法秘籍:圆锥曲线 2
第一、知识储备: 1. 直线方程的形式 (1)直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 (2)与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率 k ? tan ? , ? ? [0, ? )

d?
②点到直线的距离 (3)弦长公式 直线 y ? kx ? b 上两点

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2
③夹角公式:

tan ? ?

k2 ? k1 1 ? k2 k1

2 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 间的距离: AB ? 1 ? k x1 ? x2

? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]
(4)两条直线的位置关系 ①

AB ? 1 ?


1 y1 ? y2 k2

l1 ? l2 ? k1k2 =-1

② l1 // l 2 ? k1 ? k 2 且b1 ? b2

2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种?(三种形式)

x2 y 2 ? ? 1(m ? 0, n ? 0且m ? n) n 标准方程: m
距离式方程:

( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? 2a

参数方程: x ? a cos ? , y ? b sin ? (2)、双曲线的方程的形式有两种

x2 y 2 ? ? 1(m ? n ? 0) n 标准方程: m
距离式方程:

| ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 |? 2a

(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗?

2b 2 2b 2 椭圆: ;双曲线: ;抛物线: 2p a a
(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗?

x2 y2 ? ?1 MF1 ? MF2 ? 2 3 如: 已知 F1、F2 是椭圆 4 的两个焦点, 平面内一个动点 M 满足 则
动点 M 的轨迹是( )

-1-

A、双曲线;B、双曲线的一支;C、两条射线;D、一条射线

(5)、焦点三角形面积公式:

P在椭圆上时,S?F1PF2 ? b 2 tan

?
2

P在双曲线上时,S?F1PF2 ? b 2 cot

?
2

?F1 PF2 ? ? , cos ? ?
(其中

? ???? ????? | PF1 |2 ? | PF2 |2 ?4c 2 ???? ???? , PF1 ? PF2 ?| PF1 | | PF2 | cos ? | PF1 | ? | PF2 | )

(6)、记住焦半径公式: (1)

椭圆焦点在x轴上时为a ? ex0 ; 焦点在y轴上时为a ? ey0 ,可

简记为“左加右减,上加下减” 。 (2)

双曲线焦点在x轴上时为e | x0 | ? a
抛物线焦点在x轴上时为 | x1 | ? p p , 焦点在y轴上时为 | y1 | ? 2 2

(3)

(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗? 第二、方法储备 1、点差法(中点弦问题)



A? x1 , y1 ?
2 2

x2 y2 ? ?1 3 、 B? x 2 , y 2 ? , M ?a, b ? 为椭圆 4 的弦 AB 中点则有
2 2

x1 y x2 y x1 ? x 2 ? 1 ?1 ? 2 ?1 4 3 3 4 , 4 ;两式相减得

?

2

2

? ? ?y

2

1

? y2 3

2

??0

?x1 ? x2 ??x1 ? x2 ?
?

4

??

? y1 ? y 2 ?? y1 ? y 2 ?
3

3a ? k ? AB = 4b

2、联立消元法:你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗?经典套路是什么?如果有 两个参数怎么办? 设直线的方程,并且与曲线的方程联立,消去一个未知数,得到一个二次方程,使用判 别式 ? ? 0 ,以及根与系数的关系,代入弦长公式,设曲线上的两点

A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,将

这两点代入曲线方程得到○ 1○ 2 两个式子,然后○ 1 -○ 2 ,整体消元· · · · · · ,若有两个字母未知数, 则要找到它们的联系,消去一个,比如直线过焦点,则可以利用三点 A、B、F 共线解决之。 若有向量的关系,则寻找坐标之间的关系,根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为

y ? kx ? b ,就意味着 k 存在。
例 1、 已知三角形 ABC 的三个顶点均在椭圆 4 x ? 5 y ? 80 上, 且点 A 是椭圆短轴的一个端点
2 2

(点 A 在 y 轴正半轴上). (1)若三角形 ABC 的重心是椭圆的右焦点,试求直线 BC 的方程; (2)若角 A 为 90 ,AD 垂直 BC 于 D,试求点 D 的轨迹方程.
-20

分析:第一问抓住“重心” ,利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦 BC 的斜率,从而写出 直 线 BC 的 方 程 。 第 二 问 抓 住 角 A 为 90
0

可 得 出 AB ⊥ AC , 从 而 得

x1 x 2 ? y1 y 2 ? 14( y1 ? y 2 ) ? 16 ? 0 ,然后利用联立消元法及交轨法求出点 D 的轨迹方程;
解: (1) 设B ( x1 , y1 ) ,C( x 2 , y 2
2 2 x12 y12 x2 y2 ? ? 1, ? ?1 x ,y 20 16 ),BC 中点为( 0 0 ),F(2,0)则有 20 16

( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? ?0 20 16 两式作差有

x0 y 0 k ? ?0 5 4

(1)

x1 ? x 2 y1 ? y 2 ? 4 ?2 ?0 x ? 3 y ? ?2 ,代入 3 3 F(2,0)为三角形重心,所以由 ,得 0 ,由 得 0
k?
(1)得

6 5

直线 BC 的方程为 6 x ? 5 y ? 28 ? 0 2)由 AB⊥AC 得 x1 x 2 ? y1 y 2 ? 14( y1 ? y 2 ) ? 16 ? 0
2 2

(2)
2 2 2

设直线 BC 方程为 y ? kx ? b, 代入4 x ? 5 y ? 80 ,得 (4 ? 5k ) x ? 10bkx ? 5b ? 80 ? 0

x1 ? x 2 ?

5b 2 ? 80 ? 10kb x x ? 1 2 4 ? 5k 2 4 ? 5k 2 ,

8k 4b 2 ? 80k 2 y1 ? y 2 ? , y1 y 2 ? 4 ? 5k 2 4 ? 5k 2 代入(2)式得 9b 2 ? 32b ? 16 4 ?0 b?? 2 9 4 ? 5k ,解得 b ? 4(舍) 或
4 ? ) 直线过定点(0, 9 ,设 D(x,y) ,则 x2 ? (y ?
所以所求点 D 的轨迹方程是 4、设而不求法 例 2、如图,已知梯形 ABCD 中

y?

4 9 ? y ? 4 ? ?1 2 2 x x ,即 9 y ? 9 x ? 32 y ? 16 ? 0

16 2 20 ) ? ( ) 2 ( y ? 4) 9 9 。

AB ? 2 CD

,点 E 分有向线段 AC 所成的比为 ? ,双

2 3 ??? 4 时,求双曲线离心率 e 的取值范围。 曲线过 C、D、E 三点,且以 A、B 为焦点当 3
-3-

分析:本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质,推理、运算能力

?c ? ? ,h? 和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系 xOy ,如图,若设 C ? 2 ? ,代入 x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ? ?1 x ? ? , yE ? ? , 再代入 a 2 b 2 a 2 b2 ,求得 h ? ? ,进而求得 E ,建立目标函数

f (a, b, c, ? ) ? 0 ,整理 f (e, ? ) ? 0 ,此运算量可见是难上加难.我们对 h 可采取设而不求的解
题策略, 建立目标函数 f (a, b, c, ? ) ? 0 ,整理 f (e, ? ) ? 0 ,化繁为简. 解法一:如图,以 AB 为垂直平分线为 y 轴,直线 AB 为 x 轴,建立直角坐标系 xOy ,则 CD⊥ y 轴因为双曲线经过点 C、D,且以 A、B 为焦点,由双曲线的对称性知 C、D 关于 y 轴对 称

?c ? 1 ? ,h? c ? | AB | ? ? ? ? ? c , 0 x , y 2 ? ,E 0 0 ,其中 2 依题意,记 A ,C ? 为双曲线的半焦距,
h 是梯形的高,由定比分点坐标公式得

c ?c? ? ?h 2 ? ?? ? 2 ?c x0 ? y ? 1? ? 2?? ? 1? , 0 1 ? ?

x2 y2 c ? 2 ?1 e? 2 b a 设双曲线的方程为 a ,则离心率

由点 C、E 在双曲线上,将点 C、E 的坐标和

e?

c a 代入双曲线方程得

e2 h2 ? ?1 4 b2 ,
e2 ? ? ? 2 ? ? ? ? h2 ?1 ? ??? ? 4 ? ? ? 1 ? ? ? ? 1 ? b2





由①式得

h2 e2 ? ?1 4 b2 ,



将③式代入②式,整理得

e2 ?4 ? 4? ? ? 1 ? 2? 4 ,

-4-

? ? 1?


3 e ?1
2

2 3 3 2 3 ? 1? 2 ? ??? e ?2 4 4 得, 3 由题设 3
解得

7 ? e ? 10

所以双曲线的离心率的取值范围为 分析: 考虑

? 7,

10

?
AE , AC
用 E , C 的横坐标表示, 回避 h 的

AE , AC

为焦半径,可用焦半径公式,

计算, 达到设而不求的解题策略. 解法二:建系同解法一,

AE ? ? ? a ? exE ? , AC ? a ? exC
AE



c ?c ? ? ? ? ? 2 ? c 2 ? xE ? 1? ? 2 ? ? ? 1?
2 3 3 ? 1? 2 ? 3 4 e ?2
解得

,又

AC

?

?
1? ?
,代入整理

? ? 1?

3 2 3 ??? e ? 1 ,由题设 3 4 得,
2

7 ? e ? 10

所以双曲线的离心率的取值范围为 5、判别式法 例 3 已知双曲线
C:

? 7,

10

?

y2 x2 ? ?1 2 2 ,直线 l 过点 A

?

2 ,0 ,斜率为 k ,当 0 ? k ? 1 时,双曲线的上

?

支上有且仅有一点 B 到直线 l 的距离为 2 ,试求 k 的值及此时点 B 的坐标。 分析 1:解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科,因此,数形结合必然是研究解析 几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手,对照草图,不难想到:过点 B 作与 l 平 行的直线, 必与双曲线 C 相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式 ? ? 0 . 由此出 发,可设计如下解题思路:

l : y ? k(x ? 2)

?0 ? k ? 1?
直线 l’在 l 的上方且到直线 l 的距离为

2

l ': y ? kx ? 2k 2 ? 2 ? 2k
把直线 l’的方程代入双曲线方程,消去 y,令判别式 ?

?0

-5-

解得k的值
解题过程略. 分析 2:如果从代数推理的角度去思考,就应当把距离用代数式表达,即所谓“有且仅有一点 B 到直线 l 的距离为 2 ” ,相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路:
问题

kx ? 2 ? x 2 ? 2 k
关于 x 的方程 解

k 2 ?1
求解

? 2

?0 ? k ? 1? 有唯一

转化为一元二次方程根的问题

简解:设点 M ( x, 2 ? x ) 为双曲线 C 上支上任一点,则点 M 到直线 l 的距离为:
2

kx ? 2 ? x 2 ? 2k k 2 ?1

? 2

?0 ? k ? 1?

???

于是,问题即可转化为如上关于 x 的方程.

2 ? x ? x ? kx 由于 0 ? k ? 1 ,所以 ,从而有
2

kx ? 2 ? x 2 ? 2k ? ?kx ? 2 ? x 2 ? 2k .
于是关于 x 的方程 ???
2 2 ? ? kx ? 2 ? x ? 2k ? 2(k ? 1)

? 2 ? x 2 2 ? ( 2(k 2 ? 1) ? 2k ? kx) 2 , ? ? 2 ? 2(k ? 1) ? 2k ? kx ? 0 ??
? k 2 ? 1 x 2 ? 2k 2(k 2 ? 1) ? 2k x ? ? ? 2 ? ? 2(k ? 1) ? 2k ? kx ? 0.

?

?

?

?

?

? ? 2(k

2

? 1) ? 2k ? 2 ? 0,

?

2

?

由 0 ? k ? 1 可知:

?k 方程

2

? 1 x 2 ? 2k 2(k 2 ? 1) ? 2k x ?

?

?

? ? 2(k
2

2

? 1) ? 2k ? 2 ? 0 的 二 根 同 正 , 故

?

2

2(k 2 ? 1) ? 2k ? kx ? 0

?k

2

? 1 x 2 ? 2k 2(k 2 ? 1) ? 2k x ?

?

?

恒成立,于是 ??? 等价于

? ? 2(k

? 1) ? 2k ? 2 ? 0 .
k? 2 5 5 .

?

2

由如上关于 x 的方程有唯一解,得其判别式 ? ? 0 ,就可解得

-6-

点评:上述解法紧扣解题目标,不断进行问题转换,充分体现了全局观念与整体思维的优越 性. 例 4 已知椭圆 C: x ? 2 y ? 8 和点 P(4,1) ,过 P 作直线交椭圆于 A、B 两点,在线段 AB 上
2 2

AP AQ ?? QB ,求动点 Q 的轨迹所在曲线的方程. 取点 Q,使 PB
分析:这是一个轨迹问题,解题困难在于多动点的困扰,学生往往不知从何入手。其实,应 该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此,首先是选定参数,然后想方设法将点 Q 的横、 纵坐标用参数表达,最后通过消参可达到解题的目的. 由于点 Q ( x, y ) 的变化是由直线 AB 的变化引起的,自然可选择直线 AB 的斜率 k 作为参数,如 何将 x, y 与 k 联系起来?一方面利用点 Q 在直线 AB 上;另一方面就是运用题目条件:

AP AQ 4( x A ? x B ) ? 2 x A x B ?? x? PB QB 来转化.由 A、B、P、Q 四点共线,不难得到 8 ? ( x A ? xB ) ,要建立 x 与 k 的
关系,只需将直线 AB 的方程代入椭圆 C 的方程,利用韦达定理即可. 通过这样的分析,可以看出,虽然我们还没有开始解题,但对于如何解决本题,已经做到心 中有数.

AP PB

??

AQ QB

x?

4( x A ? x B ) ? 2 x A x B 8 ? ( x A ? xB )
将直线方程代入椭圆方程,消去 y,利用韦达定理

x ? f ?k ?
利用点 Q 满足直线 AB 的方程:y = k (x—4)+1,消去参数 k

在得到 x ? f ?k ? 之后, 如果能够从整体上把握, 认识到:所谓消参,目的不过是得到关于 x, y

点 Q 的轨迹方程

的方程(不含 k) ,则可由 y ? k ( x ? 4) ? 1 解得 方程。从而简化消去参的过程。

k?

y ?1 x ? 4 ,直接代入 x ? f ?k ? 即可得到轨迹

4 ? x1 x ? x1 AP AQ ? ?? x ? 4 x2 ? x , ? ? A x , y , B ( x , y ), Q ( x , y ) PB QB 2 1 1 2 2 简解:设 ,则由 可得:

-7-

x?
解之得:

4( x1 ? x 2 ) ? 2 x1 x 2 8 ? ( x1 ? x 2 )

( 1)

设直线 AB 的方程为: y ? k ( x ? 4) ? 1 ,代入椭圆 C 的方程,消去 y 得出关于 x 的一元二次 方程:

?2k

2

? 1 x 2 ? 4k (1 ? 4k ) x ? 2(1 ? 4k ) 2 ? 8 ? 0
4k (4k ? 1) ? x1 ? x 2 ? , ? ? 2k 2 ? 1 ? 2 ? x x ? 2(1 ? 4k ) ? 8 . 1 2 2 ? 2k ? 1 ?

?

(2)



代入(1) ,化简得:

x?

4k ? 3 . k?2

(3)

与 y ? k ( x ? 4) ? 1 联立,消去 k 得: ?2 x ? y ? 4 ?( x ? 4) ? 0. 在 ( 2 ) 中 , 由 ? ? ?64k ? 64k ? 24 ? 0 , 解 得
2

2 ? 10 2 ? 10 ?k? 4 4

,结合(3)可求得

16 ? 2 10 16 ? 2 10 ?x? . 9 9

故知点 Q 的轨迹方程为: 2 x ? y ? 4 ? 0

16 ? 2 10 16 ? 2 10 ?x? 9 9 ( ).

点评:由方程组实施消元,产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程,其判别式、韦达 定理模块思维易于想到. 这当中,难点在引出参,活点在应用参,重点在消去参.,而“引参、 用参、消参”三步曲,正是解析几何综合问题求解的一条有效通道. 6、求根公式法

AP x2 y2 ? ?1 4 例 5 设直线 l 过点 P(0,3) ,和椭圆 9 顺次交于 A、B 两点,试求 PB 的取值范围.
AP ? x A 分析:本题中,绝大多数同学不难得到: PB = x B ,但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于

对题目的整体把握不够. 事实上,所谓求取值范围,不外乎两条路:其一是构造所求变量关 于某个(或某几个)参数的函数关系式(或方程) ,这只需利用对应的思想实施;其二则是构 造关于所求量的一个不等关系.

AP ? x A x B 已经是一个关系式,但由于有两个变量 x A , x B ,同 分析 1: 从第一条想法入手, PB =
时这两个变量的范围不好控制,所以自然想到利用第 3 个变量——直线 AB 的斜率 k. 问题就 转化为如何将 x A , x B 转化为关于 k 的表达式,到此为止,将直线方程代入椭圆方程,消去 y 得出关于 x 的一元二次方程,其求根公式呼之欲出.
把直线 l 的方程 y = kx+3 代入椭圆方程,消去 y 得到关于 x 的一元二次方程 求根公式 xA= f(k) ,xB = g(k) -8-

AP 1 ?? 5; 简解 1:当直线 l 垂直于 x 轴时,可求得 PB
当 l 与 x 轴不垂直时,设 A? x1 , y1 ?, B ( x 2,y 2 ) ,直线 l 的方程为: y ? kx ? 3 ,代入椭圆方程, 消去 y 得 9k ? 4 x ? 54kx ? 45 ? 0
2 2

?

?

解之得

x1, 2 ?

? 27 k ? 6 9k 2 ? 5 . 9k 2 ? 4

因为椭圆关于 y 轴对称,点 P 在 y 轴上,所以只需考虑 k ? 0 的情形.
x1 ? ? 27 k ? 6 9k 2 ? 5 ? 27k ? 6 9k 2 ? 5 x ? 2 9k 2 ? 4 9k 2 ? 4 , ,

当 k ? 0 时,

18 18k x ? 9k ? 2 9k 2 ? 5 AP 1? 1? ?? 1 5 PB x 2 = 9k ? 2 9k 2 ? 5 = 9k ? 2 9k 2 ? 5 = 9 ? 2 9 ? k 2 . 所以



? ? (?54k ) ? 180 9k ? 4 ? 0 , 解得
2 2

?

?

k2 ?

5 9,

?1 ? 1?

18 9?2 9? 5 k2

??

1 5

所以



综上

?1 ?

AP 1 ?? PB 5.

分析 2: 如果想构造关于所求量的不等式,则应该考虑到:判别式往往是产生不等的 根源. 由判别式值的非负性可以很快确定 k 的取值范围, 于是问题转化为如何将所求量与 k 联 系起来. 一般来说,韦达定理总是充当这种问题的桥梁,但本题无法直接应用韦达定理,原

-9-

x AP ?? 1 PB x 2 不是关于 x1 , x 2 的对称关系式. 原因找到后,解决问题的方法自然也就有 因在于
了,即我们可以构造关于 x1 , x 2 的对称关系式.
把直线 l 的方程 y = kx+3 代入椭圆方程, 消去 y 得到关于 x 的一元二次方程 韦达定理 xA+ xB = f(k) ,xA xB = g(k) AP/PB = —(xA / xB) 构造所求量与 k 的关系式 由判别式得出 k 的取值范围 关于所求量的不等式

简解 2:设直线 l 的方程为: y ? kx ? 3 ,代入椭圆方程,消去 y 得

?9k

2

? 4 x 2 ? 54kx ? 45 ? 0
? 54k ? x1 ? x 2 ? 2 , ? ? 9k ? 4 ? ? x x ? 45 . 1 2 ? 9k 2 ? 4 ?

?

(*)



x1 1 324k 2 ?? ?? ?2? . x ? 45k 2 ? 20 令 2 ,则,
在(*)中,由判别式 ? ? 0, 可得

k2 ?

5 9, 4??? 1 ?2? 36 5 ,解得 1 ?? ?5 5 .

从而有

4?

324k 2 36 ? 2 45k ? 20 5 ,所以

?

1 ? ? ?1 结合 0 ? ? ? 1 得 5 . ?1 ?
综上,

AP 1 ?? PB 5.

点评:范围问题不等关系的建立途径多多,诸如判别式法,均值不等式法,变量的有界性法, 函数的性质法,数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手,给出又一优美解法. 解题犹如打仗,不能只是忙于冲锋陷阵,一时局部的胜利并不能说明问题,有时甚至会被局

- 10 -

部所纠缠而看不清问题的实质所在,只有见微知著,树立全局观念,讲究排兵布阵,运筹帷 幄,方能决胜千里. 第三、推理训练:数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式,它是数学求解 的核心。以已知的真实数学命题,即定义、公理、定理、性质等为依据,选择恰当的解题方 法,达到解题目标,得出结论的一系列推理过程。在推理过程中,必须注意所使用的命题之 间的相互关系(充分性、必要性、充要性等) ,做到思考缜密、推理严密。通过编写思维流程 图来锤炼自己的大脑,快速提高解题能力。 例 6 椭圆长轴端点为 A, B , O 为椭圆中心, F 为椭圆的右焦点,且 AF ? FB ? 1 , (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)记椭圆的上顶点为 M ,直线 l 交椭圆于 P, Q 两点,问:是否存在直线 l ,使点 F 恰为

OF ? 1



?PQM 的垂心?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由。
思维流程: (Ⅰ)

由 AF ? FB ? 1 , OF ? 1

??? ? ??? ?

??? ?

(a ? c)(a ? c) ? 1 , c ? 1

a ? 2, b ? 1
(Ⅱ)

写出椭圆方程

由 F 为 ?PQM 的重心

PQ ? MF , MP ? FQ

k PQ ? 1

? y ? x ? m 消元 ? 2 2 ?x ? 2 y ? 2
两根之和, 两根之积 解题过程:

3x2 ? 4mx ? 2m2 ? 2 ? 0

???? ??? ? MP ? FQ ? 0

得出关于 m 的方程

解出 m

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b (Ⅰ)如图建系,设椭圆方程为 a ,则 c ? 1
又∵ AF ? FB ? 1 即

(a ? c) ? (a ? c) ? 1 ? a 2 ? c 2 ,∴ a 2 ? 2

x2 ? y2 ? 1 故椭圆方程为 2
(Ⅱ)假设存在直线 l 交椭圆于 P, Q 两点,且 F 恰为 ?PQM 的垂心,则 设

P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,∵ M (0,1), F (1,0) ,故 k PQ ? 1 ,
- 11 -

? y ? x?m ? 2 x ? 2 y 2 ? 2 得, 3 x 2 ? 4mx ? 2m 2 ? 2 ? 0 y ? x ? m l 于是设直线 为 ,由 ? ???? ??? ? MP ? FQ ? 0 ? x1 ( x2 ? 1) ? y2 ( y1 ? 1) 又 yi ? xi ? m(i ? 1, 2) ∵


x1 ( x2 ? 1) ? ( x2 ? m)( x1 ? m ? 1) ? 0 即
由韦达定理得

2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 )(m ? 1) ? m 2 ? m ? 0
2m 2 ? 2 4m 2? ? (m ? 1) ? m 2 ? m ? 0 3 3
m??
解得

4 4 m?? 3 或 m ? 1(舍) 经检验 3 符合条件.

点石成金:垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边,然后转化为两向量乘积为零.

? 3? C ?1, ? 例 7、已知椭圆 E 的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过 A(?2, 0) 、 B (2, 0) 、 ? 2 ?
三点. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程: (Ⅱ)若点 D 为椭圆 E 上不同于 A 、 B 的任意一点, F (?1, 0), H (1, 0) ,当Δ DFH 内切圆的 面积最大时,求Δ DFH 内心的坐标; 思维流程: (Ⅰ) 由椭圆经过 A、 B、 C 三点 (Ⅱ) 解出 m, n 由 ?DFH 内切圆面积最大 转化为点 D 的纵坐标的绝对值最大最大

设方程为 mx2 ? ny2 ? 1

得 到 m, n 的 方 程 组

转化为 ?DFH 面积最大

D 为椭圆短轴端点

?DFH 面积最大值为 3
得出 D 点坐标为 ? 0,?

S ?DFH

1 ? ? 周长 ? r内切圆 2

r内切圆 ?

3 3

? ? ?

3? ? 3 ? ?

3 C (1, ) 2 2 ? ? m ? 0 , n ? 0 mx ? ny ? 1 A ( ? 2, 0) B (2, 0) 2 解题过程:(Ⅰ) 设椭圆方程为 , 将 、 、
- 12 -

代入椭圆 E 的方程,得

?4m ? 1, ? ? 9 x2 y 2 1 1 m ? n ? 1 ? ?1 m ? , n ? ? ? 4 3 4 3 .∴椭圆 E 的方程 4 解得 .
1 ? 2? h ? h 2

(Ⅱ) | FH |? 2 ,设Δ DFH 边上的高为

S ?DFH ?

当点 D 在椭圆的上顶点时, h 最大为 3 ,所以 S ?DFH 的最大值为 3 .

设Δ DFH 的内切圆的半径为 R ,因为Δ DFH 的周长为定值 6.所以,

S ?DFH ?

1 R?6 2

3 3 (0, ) 3 3 R 所以 的最大值为 .所以内切圆圆心的坐标为 .
S ?的内切圆 ? 1 ? ?的周长 ? r?的内切圆 2
2 2

点石成金:

0) 及椭圆 x ? 3 y ? 5 ,过点 C 的动直线与椭圆相交于 A,B 两点. 例 8、已知定点 C (?1,

1 (Ⅰ)若线段 AB 中点的横坐标是 2 ,求直线 AB 的方程; ?
(Ⅱ)在 x 轴上是否存在点 M ,使 MA ? MB 为常数?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在, 请说明理由. 思维流程: (Ⅰ)解:依题意,直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,
2 2 2 2 将 y ? k ( x ? 1) 代入 x ? 3 y ? 5 , 消去 y 整理得 (3k ? 1) x ? 6k x ? 3k ? 5 ? 0.

2

2

设 A( x1,y1 ),B ( x2,y2 ),

?? ? 36k 4 ? 4(3k 2 ? 1)(3k 2 ? 5) ? 0, ? ? 6k 2 x ? x ? ? . ? 1 2 3k 2 ? 1 则?
1 由线段 AB 中点的横坐标是 2 , ?

(1) (2)

x1 ? x2 3k 2 1 3 ?? 2 ?? k ?? 3k ? 1 2 ,解得 3 ,符合题意。 得 2

所以直线 AB 的方程为 x ? 3 y ? 1 ? 0 ,或 x ? 3 y ? 1 ? 0 .

- 13 -

(Ⅱ)解:假设在 x 轴上存在点 M (m, 0) ,使 MA ? MB 为常数.

① 当直线 AB 与 x 轴不垂直时, 由 (Ⅰ) 知

x1 ? x2 ? ?

6k 2 3k 2 ? 5 , x x ? . 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

(3)

???? ???? MA ? MB ? ( x1 ? m)( x2 ? m) ? y1 y2 ? ( x1 ? m)( x2 ? m) ? k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) 所以
? (k 2 ? 1) x1 x2 ? (k 2 ? m)( x1 ? x2 ) ? k 2 ? m 2 . 将 (3) 代 入 , 整 理 得

1 14 (2m ? )(3k 2 ? 1) ? 2m ? ???? ???? (6m ? 1)k 2 ? 5 3 3 ? m2 MA ? MB ? ? m2 ? 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

1 6m ? 14 ? m 2 ? 2m ? ? . 3 3(3k 2 ? 1)
6m ? 14 ? 0,m ? ? ???? ???? 4 7 MA ? MB ? . 3 , 此时 9

注意到 MA ? MB 是与 k 无关的常数, 从而有

2 ? ? 2 ? ? 7 ? m?? ? ?1, ? 、 ? ?1, ? 3? ? 3 ?, 3 ② 当直线 AB 与 x 轴垂直时, 此时点 A,B 的坐标分别为 ? 当
???? ???? 4 MA ? MB ? . 9 时, 亦有

? 7 ? M ?? , 0? 3 ? ? ,使 MA ? MB 为常数. x 综上,在 轴上存在定点

1 14 (2m ? )(3k 2 ? 1) ? 2m ? ???? ???? (6m ? 1)k 2 ? 5 3 3 ? m2 MA ? MB ? ? m2 ? 2 2 3 k ? 1 3 k ? 1 点石成金:

1 6m ? 14 ? m 2 ? 2m ? ? . 3 3(3k 2 ? 1)
例 9、已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M(2,1) , 平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m(m≠0) , l 交椭圆于 A、B 两个不同点。 (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求 m 的取值范围; (Ⅲ)求证直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形. 思维流程:

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 解: (1)设椭圆方程为 a

- 14 -

?a ? 2b 2 ? ? ?a ? 8 解得? 2 1 ?4 ? 2 ?1 ? ? ?b ? 2 2 b 则 ?a
1 又 KOM= 2

x2 y2 ? ?1 2 ∴椭圆方程为 8
1 x?m 2

(Ⅱ)∵直线 l 平行于 OM,且在 y 轴上的截距为 m

? l的方程为:y ?

1 ? y ? x?m ? ? 2 ? x 2 ? 2mx ? 2m 2 ? 4 ? 0 ? 2 2 ?x ? y ?1 ? 2 由? 8

? ? ? (2m) 2 ? 4(2m 2 ? 4) ? 0,
∵直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点,

解得 ? 2 ? m ? 2, 且m ? 0

(Ⅲ)设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1,k2,只需证明 k1+k2=0 即可 设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), 且x1 ? x 2 ? ?2m, x1 x 2 ? 2m ? 4
2

k1 ?


y1 ? 1 y ?1 , k2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2
2

由 x 2 ? 2mx ? 2m ? 4 ? 0可得

x1 ? x 2 ? ?2m, x1 x 2 ? 2m 2 ? 4

k1 ? k 2 ?


y1 ? 1 y 2 ? 1 ( y1 ? 1) ? ( x 2 ? 2) ? ( y 2 ? 1)( x1 ? 2) ? ? x1 ? 2 x 2 ? 2 ( x1 ? 2)( x 2 ? 2)

1 1 ( x1 ? m ? 1)( x 2 ? 2) ? ( x 2 ? m ? 1)( x1 ? 2) 2 ? 2 ( x1 ? 2)( x 2 ? 2) ? ? x1 x 2 ? (m ? 2)( x1 ? x 2 ) ? 4(m ? 1) ( x1 ? 2)( x 2 ? 2) 2m 2 ? 4 ? (m ? 2)(?2m) ? 4(m ? 1) ( x1 ? 2)( x 2 ? 2)

?

2m 2 ? 4 ? 2m 2 ? 4m ? 4m ? 4 ?0 ( x1 ? 2)( x 2 ? 2)

? k1 ? k 2 ? 0
故直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形. 点石成金:直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形 ? k1 ? k 2 ? 0

- 15 -

x2 y2 2 3 ? 2 ?1 e? 2 3 ,过 A(a,0), B(0,?b) 的直线到原点的距离 b 例 10、已知双曲线 a 的离心率
3 . 是 2
(1)求双曲线的方程; (2)已知直线 y ? kx ? 5(k ? 0) 交双曲线于不同的点 C,D 且 C,D 都在以 B 为圆心的圆上, 求 k 的值. 思维流程:
c 2 3 ? , a 3
ab 3 ? . c 2
x y ? ?1 a b 的 距 离

解 : ∵ ( 1 )
d ? ab a ?b
2 2

原 点 到 直 线

AB :

? 3.

? b ? 1, a ?

.
x2 ? y 2 ? 1. 3

故所求双曲线方程为

2 2 2 2 (2)把 y ? kx ? 5代入x ? 3 y ? 3 中消去 y,整理得 (1 ? 3k ) x ? 30kx ? 78 ? 0 .

设 C ( x1 , y1 ), D( x 2 , y 2 ), CD 的中点是 E ( x0 , y 0 ) ,则
x0 ? k BE x1 ? x 2 15k 5 ? ? y 0 ? kx0 ? 5 ? , 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 y ?1 1 ? 0 ?? . x0 k

? x0 ? ky 0 ? k ? 0,

15k 5k ? ? k ? 0, 又k ? 0,? k 2 ? 7 2 2 1 ? 3k 即 1 ? 3k
故所求 k=± 7 . 点石成金: C,D 都在以 B 为圆心的圆上 ? BC=BD ? BE⊥CD; 例 11、已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3,最小值为 1. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (II)若直线 l : y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A、B 两点(A、B 不是左右顶点) ,且以 AB 为直径 的圆过椭圆 C 的右顶点.求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. 思维流程:

- 16 -

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 解: (Ⅰ)由题意设椭圆的标准方程为 a ,
由已知得: a ? c ? 3,a ? c ? 1 ,

a ? 2,c ? 1, ? b2 ? a 2 ? c2 ? 3
(II)设

x2 y 2 ? ?1 3 ? 椭圆的标准方程为 4 .

A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) .

? y ? kx ? m, ? 2 ?x y2 ? ? 1. ? 3 联立 ? 4


(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8mkx ? 4(m 2 ? 3) ? 0 ,则

? ?? ? 64m 2 k 2 ? 16(3 ? 4k 2 )(m 2 ? 3) ? 0,即3 ? 4k 2 ? m 2 ? 0, ? 8mk ? , ? x1 ? x2 ? ? 3 ? 4k 2 ? ? 4(m 2 ? 3) . ? x1 x2 ? 3 ? 4k 2 ?



y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m 2 ?

3(m 2 ? 4k 2 ) 3 ? 4k 2 .

0) , 因为以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D (2,

? k AD k BD
?

y1 y2 ? ? ?1 ? ?1 ,即 x1 ? 2 x 2 ? 2 .

? y1 y2 ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 .
? 7 m 2 ? 16mk ? 4k 2 ? 0 .

3(m 2 ? 4k 2 ) 4(m 2 ? 3) 15mk ? ? ?4?0 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 .
m1 ? ?2k,m2 ? ?

解得: 当

2k 7 ,且均满足 3 ? 4k 2 ? m 2 ? 0 .

m1 ? ?2k 时, l 的方程 y ? k ( x ? 2) ,直线过点 (2, 0) ,与已知矛盾;
m2 ? ?



2? ? ?2 ? 2k y ?k?x? ? 0? ? , 7 ? ,直线过定点 ? 7 ? . ? 7 时, l 的方程为

?2 ? 0? ? , 所以,直线 l 过定点,定点坐标为 ? 7 ? .
点石成金:以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点 ? CA⊥CB;

- 17 -

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 b 例 12、 已知双曲线 a 的左右两个焦点分别为 F1、F2 ,点 P 在双曲线右支
上.

3 41 16 , ) 5 时, PF1 ? PF2 ,求双曲线的方程; (Ⅰ)若当点 P 的坐标为 5 (
(Ⅱ)若 | PF1 |? 3 | PF2 | ,求双曲线离心率 e 的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程. 思维流程: 解: (Ⅰ)(法一)由题意知, PF1

? ( ?c ?

3 41 16 3 41 16 ,? ) ? (c ? ,? ) 5 5 , PF2 5 5 ,

? PF1 ? PF2 ,? PF1 ? PF2 ? 0,
2 解得 c ? 25,? c ? 5 .

? ( ?c ?

3 41 3 41 16 ) (c ? ) ? (? ) 2 ? 0 5 5 5 (1 分)

由双曲线定义得: | PF1 | ? | PF2 | ? 2a,

? 2a ? (?5 ?

3 41 2 16 3 41 2 16 ) ? (? ) 2 ? (5 ? ) ? (? ) 2 ? ( 41 ? 3) 2 ? ( 41 ? 3) 2 ? 6 5 5 5 5 ,

? a ? 3, b ? 4
x2 y2 ? ?1 16 ?所求双曲线的方程为: 9
(法二) 因 PF1 ? PF2 ,由斜率之积为 ? 1 ,可得解. (Ⅱ)设 | PF1 |? r1 , | PF2 |? r2 , ( 法 一 ) 设 P 的 坐 标 为

( x? , y ? )

,















r1 ?| a ? ex? |? a ? ex? , r2 ?| a ? ex? |? ex? ? a ,

? r1 ? 3r2 ,? a ? ex? ? 3(ex? ? a ),? x? ?

2a 2 c

,

? x? ? a,?

2a 2 ? a, ? 2a ? c , c

c b c2 ? a2 ? 2, ? ? e2 ?1 ? 3 ? e 的最大值为 2,无最小值. 此时 a a a ,
?此时双曲线的渐进线方程为 y ? ? 3 x
(法二)设 ?F1 PF2 ? ? , ? ? (0, ? ] .

- 18 -

? 2c ? 4r2 , 2a ? r1 ? r2 ? 2r2 (1)当 ? ? ? 时, ? r1 ? r2 ? 2c, 且r1 ? 3r2,

e?
此时

2c 4r2 ? ?2 2a 2r2 .

(0,?) (2)当 ? ? ,由余弦定理得:
2 (2c) ? r1 ? r2 ? 2r1 r2 cos ? ? 10r2 ? 6r2 cos ? 2 2 2 2

?

e?

2c r2 ? 10 ? 6 cos ? 10 ? 6 cos ? ? ? 2a 2r2 2 ,

? cos ? ? (?1,1) ,? e ? (1,2) ,综上, e 的最大值为 2,但 e 无最小值. (以下法一)

- 19 -


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