线面平行证明中的辅助线作法

【关 注】隰 数理化研究

线面平行证明中的辅助线作法

线面平行关系的判断和证明是空间线 面位置关系的研究重点之一,也是高考的 常考题型。它包括直线与直线的平行,直线 与平面的平行以及平面与平面的平行。判 断线面平行可以有三种思维策略:(1) 从概 念考虑,即依据线面平行的定义作思考,这 就需要证明直线和平面没有公共点,证明 方法通常选择反证法。(2) 从降级角度考 虑,即通过证明线线平行来证明线面平行。 其依据为线面平行的判定定理:如果平面 外一条直线和这个平面内的一条直线平 行,那么这条直线和这个平面平行。证明方 法通常是把平面外的这条直线经过平移, 移到这个平面中去。(3)从升级角度考虑, 即通过证明面面平行证明线面平行,其依 据:两个平面平行,其中一个平面内的直线 必平行于另一个平面。证明方法是找出一 个与这个平面平行的平面,使得这条直线 恰好在这个平面内。
在证明线面平行的过程中,我们通常采 用第二种方法:将线面平行转化为线线平 行的问题,从而也将立体几何问题转化为 平面几何问题。如此,在平面中找到和已知 直线平行的直线便成了解题的关键。教学 过程中,发现很多同学凭感觉去找那条直 线。当然,有时候数学的直觉对于解题好比 是一把金钥匙,它可以引导你顺利的解题。 然而,这种数学的直觉却是可遇不可求的, 能不能借助什么方法去找到那条关键直线 而不是凭灵光一现呢?
一、理论依据 线面平行的性质定理:如果一条直线 和一个平面平行,经过这条直线的平面和 这个平面相交,那么这条线和交线平行。方 法:找和已知直线、已知平面都相交的第三

●贾凌云

条直线,则它和已知直线确定的平面与已

知平面的交线就是平面内和已知直线平行

的直线。(如图 1)

二、例题示范

如 图 2, 已 知 在 三 棱 柱 ABC- A1B1C1

中,点 D 是 BC 边上的中点。求证:A1B// 平

C1

B1

A1

C

D

B

A
面 AC1D。看完这个题目,直觉就是想连接

侧面 AC1 的另一条对角线 A1C,设对角线的

交点为 E,连接 DE,这恰好是三角形 A1BC

的中位线,从而实现了线段 A1B 的平移。为

什么会想到这么作辅助线呢?除了这一种辅

助线作法以外,还有没有其他作辅助线的方

法呢?下面我们就采用上面叙述的方法来做

一做。在这个三棱柱中,和线段 A1B、平面

AC1D 都相 交的 线段有 BC、A1C1、AB、A1A。

其中,每一条线段都可以和已知线段 A1B 构

成一个新的平面,通过找新平面和平面

AC1D 的交线,从而实现线段 A1B 的平移。

方法一:确定线段 BC,它和线段 A1B

构成平面 A1BC,从而自然连接线段 A1C。如

图 3 所示,连接 A1C,交 AC1 于 点 E,连 接

DE(平面 AC1D 与 A1BC 的交线),则在三角

形 A1BC 中,DE 为其中位线,有 DE//A1B,

又因为 A1B埭平面 AC1D,DE奂平面 AC1D,

所以 A1B// 平面 AC1D。

方法二:确定线段 A1C1,它和线段 A1B

构成平面 A1BC1,过点 B 作 BG//AC,交 AD

的延长线于点 G,连接 C1G(平面 AC1D 与

A1BC1 的交线)。实际上,此时可将三棱柱补

全为一平行六面体,如图 4 所示。则有

C1G//A1B,因为 A1B埭平面 AC1D,C1G 奂平

C1 A1
E

B1

G1

C1

B1

A1

C

D

B

G

C

D

B

A A

面 AC1D,所以 A1B// 平面 AC1D。

方法三:确定线段 AB 或 A1A,它和线

段 A1B 构成平面 A1B,恰为三棱柱的侧面。

延 长 B1B,C1D 交 于 点 J ,连 接 AJ (平 面

AC1D 与 A1B 的交线)。实际上,此时可将三

棱柱纵向拉升为原来的两个,如图 5 所示。



J

B1C1

中,BD//

1 2

C1 A1

B1

B1C1,则 BJ =BB1=AA1,

又 BB1//AA1, 所 以 C

D

B

BJ //AA1, 即 四 边

A

形 AA1BJ 是 平 行

四 边 形 , 所 以H

J

AJ //A1B, 因 为 I

A1B 埭 平 面 AC1D,AJ 奂 平 面 AC1D, 所 以

A1B// 平面 AC1D。

三、小结

立体几何中巧妙地添加辅助线会给解

题带来很大的便捷,我们往往注重巧妙本身

而忽略了巧妙的来源。巧妙背后其实隐藏

着更为重要的内容,那就是解题方法。掌握

了解题的基本方法,我们就不必再依赖于数

学灵感的乍现;掌握了解题方法,我们就可

以收到事半功倍的效果。当然,这个题目除

了可以用线面平行的判定定理来证明,还可

以用面面平行的性质来证明,文章就不再赘

述。所谓条条道路通罗马,不管走哪条路,作

为教授者应该把如何上路的方法揭示出来,

而不是直接把学生送到那条道路上,从而真

正体现“授之以鱼,不如授之以渔”。

(常州刘国钧高等职业技术学校)

四、零件的几何形状对零件淬火变形的影响 为了防止变形和开裂的产生,从零件本身考虑,应力求结构对 称,截面均匀,尽量避免尖角。几何形状复杂,截面形状不对称的工 件,例如带有键槽的轴、键槽拉刀等,淬火冷却时,一侧散热快,另 一侧散热慢,是一种不均匀的冷却。如果在 Ms 以上的不均匀冷却 引起的变形占优势,则冷却快的一面是凹面;若在 Ms 以下的不均 匀冷却引起的变形占优势,则冷却快的一面是凸面。增加等温时 间,增长贝氏体转变量,使残余奥氏体更加稳定,减小空冷中的马 氏体转变量,可使工件的变形量显著减小。 五、淬火方法对零件淬火变形的影响 在实际生产中,目前还没有一种冷却介质能完全满足理想淬 火介质的要求,所以还应根据工件的成分、尺寸、形状和技术要求 选择合适的淬火方法。例如:双介质淬火、马氏体分级淬火、贝氏体 等温淬火等。双介质淬火在钢件奥氏体化后,先淬入一种冷却能力 强的介质中,在钢件还未达到该液淬火介质温度之前取出,马上浸 入另一种冷却能力弱的介质中冷却,这样钢件既能淬硬,又能显著 减小淬火应力。这种淬火方法常用于淬透性不高的碳钢所制成工 模具,以及要求得到较大淬硬层的合金钢大件;马氏体分级淬火在

钢材奥氏体化后,随之投入温度在钢的 Ms 点左右的液态介质(盐 浴或碱浴)中,保持适当时间,待钢件的内外层都达到介质温度后取 出空冷,以获得马氏体组织的淬火方法。马氏体分级淬火既避免高 温时奥氏体分解,又达到低温时缓慢冷却的目的,减小了淬火应 力,且硬度均匀。分级淬火是防止变形和开裂的有效淬火方法。马 氏体分级淬火法在工艺上虽然比较理想,操作容易,但由于它在盐 浴或碱浴中的冷却速度较慢,故只适用于过冷奥氏体比较稳定的 合金钢、或尺寸较小的零件;贝氏体等温淬火在钢件加热奥氏体化 后,随之快冷到贝氏体转变温度区间等温保持,使奥氏体转变为下 贝氏体的淬火方法。下贝氏体组织中的碳化物弥散度大,具有高硬 度和良好的韧性。等温淬火处理的内应力显著下降,变形量小,适 于处理小型的精密零件,如冷、热冲模,精密齿轮等。另外,由于下 贝氏体组织结构均匀,产生微裂纹的可能性很小。
总之,淬火热处理变形的影响因素是十分复杂的问题。在制定 淬火热处理工艺时,应充分考虑工件的形状、钢中的碳含量,根据 工件所要求的力学性能,合理选择淬火方法及冷却介质,防止变形 及开裂,提高产品质量。
(大丰市职业技术教育中心)

2009.11 隰 55


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