线面平行证明中的辅助线作法

【关

注】隰 数理化研究

线面平行证明中的辅助线作法
●贾凌云
线面平行关系的判断和证明是空间线 面位置关系的研究重点之一,也是高考的 直线 常考题型。它包括直线与直线的平行, 与平面的平行以及平面与平面的平行 。判 (1) 从概 断线面平行可以有三种思维策略: 念考虑, 即依据线面平行的定义作思考, 这 就需要证明直线和平面没有公共点,证明 方法通常选择反证法 。 (2) 从降级角度考 虑, 即通过证明线线平行来证明线面平行 。 其依据为线面平行的判定定理:如果平面 外一条直线 和这个 平面 内的 一条 直线平 行, 那么这条直线和这个平面平行。证明方 法通常是把平面外的这条直线经过平移, 移到这个平面中去 。 (3) 从升级角度考虑, 即通过证明面面平行证明线面平行,其依 据: 两个平面平行, 其中一个平面内的直线 必平行于另一个平面。证明方法是找出一 个与这个平面平行的平面,使得这条直线 恰好在这个平面内。 在证明线面平行的过程中, 我们通常采 用第二种方法:将线面平行转化为线线平 行的问题,从而也将立体几何问题转化为 平面几何问题。如此, 在平面中找到和已知 直线平行的直线便成了解题的关键 。教学 过程中,发现很多同学凭感觉去找那条直 有时候数学的直觉对于解题好比 线。当然, 是一把金钥匙,它可以引导你顺利的解题。 然而, 这种数学的直觉却是可遇不可求的, 能不能借助什么方法去找到那条关键直线 而不是凭灵光一现呢? 一、 理论依据 线面平行的性质定理:如果一条直线 和一个平面平行,经过这条直线的平面和 这个平面相交, 那么这条线和交线平行 。 方 法: 找和已知直线 、 已知平面都相交的第三
C A C1 A1 E C A D B G C A D B B1 C1 A1 G1 B1

条直线,则它和已知直线确定的平面与已 知平面的交线就是平面内和已知直线平行 的直线。 (如图 1) 二、 例题示范 如 图 2 ,已 知 在 三 棱 柱 ABC- A1B1C 1 中, 点 D 是 BC 边上的中点。求证: A1B// 平
C1 A1 B1

面 AC 1D, 所以 A1B// 平面 AC 1D。 方法三: 确定线段 AB 或 A1A, 它和线 段 A1B 构成平面 A1B,恰为三棱柱的侧面。 延 长 B1B, C 1D 交 于点 J ,连 接 AJ (平 面 AC 1D 与 A1B 的交线 )。 实际上, 此时可将三

D

B

面 AC 1D。看完这个题目, 直觉就是想连接 侧面 AC 1 的另一条对角线 A1C, 设对角线的 交点为 E, 连接 DE, 这恰好是三角形 A1BC 的中位线, 从而实现了线段 A1B 的平移。为 什么会想到这么作辅助线呢?除了这一种辅 助线作法以外, 还有没有其他作辅助线的方 法呢?下面我们就采用上面叙述的方法来做 一做。在这个三棱柱中,和线段 A1B、平面 AC 1D 都相交的线段有 BC、 A1C 1、 AB、 A1A。 其中, 每一条线段都可以和已知线段 A1B 构 成一 个新 的平 面,通 过找 新平面 和平 面 AC 1D 的交线, 从而实现线段 A1B 的平移。 方法一:确定线段 BC ,它和线段 A1B 构成平面 A1BC , 从而自然连接线段 A1C 。 如 图 3 所示, 连接 A1C , 交 AC 1 于点 E, 连接 DE (平面 AC 1D 与 A1BC 的交线 ) , 则在三角 形 A1BC 中, DE 为其中位线,有 DE//A1B, 又因为 A1B埭 平面 AC 1D,DE 奂 平面 AC 1D, 所以 A1B// 平面 AC 1D。 方法二: 确定线段 A1C 1, 它和线段 A1B 构成平面 A1BC 1, 过点 B 作 BG//AC , 交 AD 的延长线于点 G , 连接 C 1G (平面 AC 1D 与 A1BC 1 的交线 ) 。 实际上, 此时可将三棱柱补 全为一 平行 六面 体,如 图 4 所示 。 则有 C 1G//A1B, 因为 A1B 埭 平面 AC 1D, C 1G 奂 平

棱柱纵向拉升为原来的两个, 如图 5 所示 。 在 J B1C 1 中, BD// 1 2 B1C 1, 则 BJ =BB1=AA1, 又 BB1//AA1, 所 以 BJ //AA1, 即 四 边 形 AA1BJ 是 平 行 四 边 形 , 所 以H AJ //A1B, 因 为 A1B// 平面 AC 1D。 三、 小结 立体几何中巧妙地添加辅助线会给解 题带来很大的便捷, 我们往往注重巧妙本身 而忽略了巧妙的来源 。巧妙背后其实隐藏 着更为重要的内容, 那就是解题方法。掌握 了解题的基本方法, 我们就不必再依赖于数 学灵感的乍现; 掌握了解题方法, 我们就可 这个题目除 以收到事半功倍的效果。当然, 了可以用线面平行的判定定理来证明, 还可 以用面面平行的性质来证明, 文章就不再赘 述。 所谓条条道路通罗马, 不管走哪条路, 作 为教授者应该把如何上路的方法揭示出来, 而不是直接把学生送到那条道路上, 从而真 正体现 “授之以鱼, 不如授之以渔” 。
I J C A C1 A1 B1

D

B

A1B 埭 平 面 AC 1D, AJ 奂 平 面 AC 1D, 所 以

(常州刘国钧高等职业技术学校 )

四、 零件的几何形状对零件淬火变形的影响 为了防止变形和开裂的产生, 从零件本身考虑, 应力求结构对 称, 截面均匀, 尽量避免尖角。几何形状复杂, 截面形状不对称的工 键槽拉刀等, 淬火冷却时, 一侧散热快, 另 件, 例如带有键槽的轴 、 一侧散热慢, 是一种不均匀的冷却。如果在 Ms 以上的不均匀冷却 引起的变形占优势, 则冷却快的一面是凹面; 若在 Ms 以下的不均 匀冷却引起的变形占优势,则冷却快的一面是凸面。增加等温时 间, 增长贝氏体转变量, 使残余奥氏体更加稳定, 减小空冷中的马 氏体转变量, 可使工件的变形量显著减小。 五、 淬火方法对零件淬火变形的影响 在实际生产中,目前还没有一种冷却介质能完全满足理想淬 火介质的要求, 所以还应根据工件的成分 、 尺寸 、 形状和技术要求 选择合适的淬火方法。例如: 双介质淬火、 马氏体分级淬火、 贝氏体 等温淬火等。双介质淬火在钢件奥氏体化后, 先淬入一种冷却能力 强的介质中, 在钢件还未达到该液淬火介质温度之前取出, 马上浸 入另一种冷却能力弱的介质中冷却, 这样钢件既能淬硬, 又能显著 减小淬火应力。这种淬火方法常用于淬透性不高的碳钢所制成工 模具, 以及要求得到较大淬硬层的合金钢大件; 马氏体分级淬火在

钢材奥氏体化后, 随之投入温度在钢的 Ms 点左右的液态介质 ( 盐 浴或碱浴)中, 保持适当时间, 待钢件的内外层都达到介质温度后取 出空冷, 以获得马氏体组织的淬火方法。马氏体分级淬火既避免高 温时奥氏体分解,又达到低温时缓慢冷却的目的,减小了淬火应 力, 且硬度均匀。分级淬火是防止变形和开裂的有效淬火方法。马 氏体分级淬火法在工艺上虽然比较理想, 操作容易, 但由于它在盐 浴或碱浴中的冷却速度较慢,故只适用于过冷奥氏体比较稳定的 合金钢、 或尺寸较小的零件; 贝氏体等温淬火在钢件加热奥氏体化 后, 随之快冷到贝氏体转变温度区间等温保持, 使奥氏体转变为下 具有高硬 贝氏体的淬火方法。下贝氏体组织中的碳化物弥散度大, 变形量小, 适 度和良好的韧性。等温淬火处理的内应力显著下降, 于处理小型的精密零件, 如冷、 热冲模, 精密齿轮等。另外, 由于下 贝氏体组织结构均匀, 产生微裂纹的可能性很小。 总之, 淬火热处理变形的影响因素是十分复杂的问题。 在制定 淬火热处理工艺时, 应充分考虑工件的形状 、 钢中的碳含量, 根据 工件所要求的力学性能, 合理选择淬火方法及冷却介质, 防止变形 及开裂, 提高产品质量。

(大丰市职业技术教育中心 )

2009.11



55


相关文档

全等三角形证明中辅助线的作用和作法
线面平行证明辅助线做法
线面平行的证明中的找线技巧
从线面平行的性质定理中探寻辅助线的做法
构造三角形中位线证明线面平行
辅助线做法及线段证明
证明三角形全等辅助线的常用作法
三角形全等证明辅助线做法
初中数学证明题常见辅助线作法规律
电脑版