西藏拉萨中学2015届高三下学期第七次月考数学试卷(文科)

西藏拉萨中学 2015 届高三下学期第七次月考数学试卷(文科)
一、选择题(12×5'=60) 2 1.已知集合 A={x|x ﹣2x=0},B={0,1,2},则 A∩B=() A.{0} B.{0,1} C.{0,2} 2.i 是虚数单位,复数 A.2 的实部为() C. 1 D.﹣1

D.{0,1,2}

B.﹣2

3.下列命题中正确的是() 2 2 A.命题“?x∈R,使得 x ﹣1<0”的否定是“?x∈R,均有 x ﹣1>0” B. 命题“若 cosx=cosy,则 x=y”的逆否命题是真命题: 2 2 C. 命题”若 x=3,则 x ﹣2x﹣3=0”的否命题是“若 x≠3,则 x ﹣2x﹣3≠0” D.命题“存在四边相等的四边形不是正方形”是假命题 4.已知直线 l⊥平面 α,直线 m?平面 β,有下列四个命题: ①若 α∥β,则 l⊥m; ②若 α⊥β,则 l∥m; ③若 l∥m,则 α⊥β; ④若 l⊥m,则 α∥β. 以上命题中,正确命题的序号是() A.①② B.①③ C.②④

D.③④

5.如图是一算法的程序框图,若此程序运行结果为 s=55,则在判断框中应填入关于 k 的判 断条件是()

A.k≤11

B.k≤10

C.k≤9

D.k≤8

6.函数 f(x)=sin(ωx+?) (ω>0,|φ|<

)的最小正周期为 4π,若其图象向右平移



单位后关于 y 轴对称,则 y=f(x)对应的解析式为 () A.y=sin(2x﹣ ) B.y=sin(2x+ ) C.y=sin( x+ ) D.y=sin( x﹣ )

7.设 a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分又不必要条件 8.已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是()

A.48cm

3

B.98cm

3

C.88cm

3

D.78cm

3

9.等比数列{an}的各项均为正数,且 a5a6+a4a7=18,则 log3a1+log3a2+…log3a10=() A.12 B.10 C. 8 D.2+log35

10.设变量 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=﹣2x+y 的最大值是()

A.4

B. 2

C. 1

D.

11. 椭圆

+

=1 (a>b>0) 的两个焦点 F1, F2, 点 M 在椭圆上, 且 MF1⊥F1F2, |MF1|= ,

|MF2|= A.

,则离心率 e 等于() B. C. D.

12.已知函数 f(x)=

的图象上关于 y

轴对称的点至少有 3 对,则实数 a 的取值范围是() A. B. C. D.

二、填空题(4×5'=20') 13.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表 广告费用 x(万元) 4 2 3 5 销售额 y(万元) 49 26 39 54 根据上表可得回归方程 中的 为 9.4, 据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为.

14.若不等式|x+1|+|x﹣3|≥|m﹣1|恒成立,则 m 的取值范围为.

15.给定两个向量 =(3,4) , =(2,1) ,若( +x )⊥( ﹣ ) ,则 x 的值等于.

16.给出下列四个命题: ①函数 y= 为奇函数;

②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点; ③函数 y=2 的值域是(0,+∞) ;
x

④若函数 f(2x)的定义域为[1,2],则函数 f(2 )的定义域为[1,2]; 其中正确命题的序号是(填上所有正确命题的序号) .

三、解答题 * 17.在等差数列{an}中,Sn 为其前 n 项和(n∈N ) ,且 a3=5,S3=9. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

18. 如图, 四棱锥 P﹣ABCD 中, PA⊥底面 ABCD, AB⊥AD, 点 E 在线段 AD 上, 且 CE∥AB. (Ⅰ)求证:CE⊥平面 PAD; (Ⅱ)若 PA=AB=1,AD=3,CD= ,∠CDA=45°,求四棱锥 P﹣ABCD 的体积.

19.对某电子元件进行寿命追踪调查,所得情况如频率分布直方图. (1)图中纵坐标 y0 处刻度不清,根据图表所提供的数据还原 y0; (2)根据图表的数据按分层抽样,抽取 20 个元件,寿命为 100~300 之间的应抽取几个; (3)从(2)中抽出的寿命落在 100~300 之间的元件中任取 2 个元件,求事件“恰好有一个 寿命为 100~200,一个寿命为 200~300”的概率.

20.已知函数 f(x)=ax ﹣(a+2)x+lnx (1)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (2)求 f(x)的单调区间.

2

21.已知椭圆

+

=1(a>b>0)的右焦点为 F(1,0) ,离心率 e=

,A,B 是椭圆上

的动点. (1)求椭圆标准方程; (2)若直线 OA 与 OB 的斜率乘积 kOA?kOB=﹣ ,动点 P 满足 = +λ , (其中实数 λ

为常数) .问是否存在两个定点 F1,F2,使得|PF1|+|PF2|=4?若存在,求 F1,F2 的坐标及 γ 的值;若不存在,说明理由.

四、选做题:选修 4-1,几何证明选讲(共 1 小题,满分 10 分) 22.如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E,且 CB=CE. (Ⅰ)证明:∠D=∠E; (Ⅱ)设 AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M,且 MB=MC,证明:△ ADE 为等边三角形.

五、选做题:选修 4-4:坐标系与参数方程(共 1 小题,满分 0 分) 23.已知圆锥曲线 C: (α 为参数)和定点 A(0, ) ,F1、F2 是此圆锥曲

线的左、右焦点,以原点 O 为极点,以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求直线 AF2 的直角坐标方程; (2)经过点 F1 且与直线 AF2 垂直的直线 l 交此圆锥曲线于 M、N 两点,求||MF1|﹣|NF1||的 值.

六、选做题:选修 4-5:不等式选讲(共 1 小题,满分 0 分) 24. (1)已知 a,b,c 均为正数,证明:a +b +c +( + + ) ≥6 何值时,等号成立. (2)已知 a,b,c 均为正实数,且 a+b+c=1.求
2 2 2 2

,并确定 a,b,c 为

+

+

的最大值.

西藏拉萨中学 2015 届高三下学期第七次月考数学试卷 (文科)
一、选择题(12×5'=60) 1.已知集合 A={x|x ﹣2x=0},B={0,1,2},则 A∩B=() A.{0} B.{0,1} C.{0,2} 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 解出集合 A,再由交的定义求出两集合的交集. 2 解答: 解:∵A={x|x ﹣2x=0}={0,2},B={0,1,2}, ∴A∩B={0,2} 故选 C
2

D.{0,1,2}

点评: 本题考查交的运算,理解好交的定义是解答的关键.

2.i 是虚数单位,复数 A.2

的实部为() C. 1 D.﹣1

B.﹣2

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 把给出的复数分子分母同时乘以 1﹣i,化简为 a+bi(a,b∈R)的形式,则实部可 求. 解答: 解:由 所以复数 = .

的实部为 1.

故选 C. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的概念,复数的除法,采用分子 分母同时乘以分母的共轭复数,是基础题. 3.下列命题中正确的是() 2 2 A.命题“?x∈R,使得 x ﹣1<0”的否定是“?x∈R,均有 x ﹣1>0” B. 命题“若 cosx=cosy,则 x=y”的逆否命题是真命题: 2 2 C. 命题”若 x=3,则 x ﹣2x﹣3=0”的否命题是“若 x≠3,则 x ﹣2x﹣3≠0” D.命题“存在四边相等的四边形不是正方形”是假命题 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: 写出原命题的否定判断 A; 直接判断原命题的真假得到命题“若 cosx=cosy, 则 x=y” 的逆否命题的真假; 写出命题的否命题判断 C;举例说明命题“存在四边相等的四边形不是正方形”是真命题判断 D. 解答: 解:命题“?x∈R,使得 x ﹣1<0”的否定是“?x∈R,均有 x ﹣1≥0”,命题 A 为假命 题; 当 cosx=cosy 时,x 与 y 要么终边相同,要么终边关于 x 轴对称, ∴命题“若 cosx=cosy,则 x=y”为假命题,则其逆否命题是假命题,命题 B 为假命题; 2 2 命题”若 x=3,则 x ﹣2x﹣3=0”的否命题是“若 x≠3,则 x ﹣2x﹣3≠0,命题 C 为真命题; 所有菱形的四边相等, ∴命题“存在四边相等的四边形不是正方形”是真命题,命题 D 是假命题. 故选:C. 点评: 本题考查了命题的真假判断与应用,考查了原命题、否命题、逆否命题的写法与真 假判断,是中档题. 4.已知直线 l⊥平面 α,直线 m?平面 β,有下列四个命题: ①若 α∥β,则 l⊥m; ②若 α⊥β,则 l∥m;
2 2

③若 l∥m,则 α⊥β; ④若 l⊥m,则 α∥β. 以上命题中,正确命题的序号是() A.①② B.①③

C.②④

D.③④

考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用线面垂直、 面面平行、 面面垂直的性质定理和判定定理对四个命题分别分析解 答. 解答: 解:已知直线 l⊥平面 α,直线 m?平面 β, 对于①,若 α∥β,得到直线 l⊥平面 β,所以 l⊥m;故①正确; 对于②,若 α⊥β,直线 l 在 β 内或者 l∥β,则 l 与 m 的位置关系不确定; 对于③,若 l∥m,则直线 m⊥α,由面面垂直的性质定理可得 α⊥β;故③正确; 对于④,若 l⊥m,则 α 与 β 可能相交;故④错误; 故选 B. 点评: 本题考查了线面垂直、面面平行、面面垂直的性质定理和判定定理的运用,熟练掌 握定理的题设和结论是解答的关键. 5.如图是一算法的程序框图,若此程序运行结果为 s=55,则在判断框中应填入关于 k 的判 断条件是()

A.k≤11

B.k≤10

C.k≤9

D.k≤8

考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 s,k 的值,当 s=55 时,由题意,应 该不满足条件,退出循环,输出程序运行结果为 s=55,则在判断框中应填入关于 k 的判断 条件是 k≤10. 解答: 解:模拟执行程序框图,可得 k=2,s=1 满足条件,s=3,k=3 满足条件,s=6,k=4 满足条件,s=10,k=5

满足条件,s=15,k=6 满足条件,s=21,k=7 满足条件,s=28,k=8 满足条件,s=36,k=9 满足条件,s=45,k=10 满足条件,s=55,k=11 此时,由题意,应该不满足条件,退出循环,输出程序运行结果为 s=55,则在判断框中应 填入关于 k 的判断条件是 k≤10. 故选:B. 点评: 本题主要考查了循环结构的程序框图,当 s=55 时退出循环,输出程序运行结果为 s=55,得到退出循环的条件是解题的关键,属于基本知识的考查. 6.函数 f(x)=sin(ωx+?) (ω>0,|φ|< )的最小正周期为 4π,若其图象向右平移 个

单位后关于 y 轴对称,则 y=f(x)对应的解析式为 () A.y=sin(2x﹣ ) B.y=sin(2x+ ) C.y=sin( x+ ) D.y=sin( x﹣ )

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由已知中函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|< 象向右平移 )的最小正周期为 4π,若其图

个单位后关于 y 轴对称,求出 ω,φ 的值,可得答案.

解答: 解:∵f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为 4π,且 ω>0, 故 ω= , 又由函数 f(x)的图象向右平移 可得 (0﹣ 即﹣ 即 φ= 又∵|φ|< ∴φ= )+φ= 个单位后关于 y 轴对称,

+kπ,k∈Z,

+?=π+2kπ,k∈Z, +2kπ,k∈Z, , , ) ,

∴y=sin( x﹣

故选:D 点评: 本题主要考查了由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,正弦函数的图象和 性质,综合性强,属于中档题.

7.设 a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分又不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据不等式的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论. 解答: 解:若 a>b, ①a>b≥0,不等式 a|a|>b|b|等价为 a?a>b?b,此时成立. 2 2 ②0>a>b,不等式 a|a|>b|b|等价为﹣a?a>﹣b?b,即 a <b ,此时成立. 2 2 ③a≥0>b,不等式 a|a|>b|b|等价为 a?a>﹣b?b,即 a >﹣b ,此时成立,即充分性成立. 若 a|a|>b|b|, ①当 a>0,b>0 时,a|a|>b|b|去掉绝对值得, (a﹣b) (a+b)>0,因为 a+b>0,所以 a﹣b >0,即 a>b. ②当 a>0,b<0 时,a>b. ③当 a<0,b<0 时,a|a|>b|b|去掉绝对值得, (a﹣b) (a+b)<0,因为 a+b<0,所以 a﹣b >0,即 a>b.即必要性成立, 综上“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件, 故选:C. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用不等式的性质 结合分类讨论是解 决本题的关键. 8.已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是()

A.48cm

3

B.98cm

3

C.88cm

3

D.78cm

3

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 几何体是长方体削去一个三棱锥, 画出其直观图, 判断长方体的长、 宽、 高的数值, 再判断削去的三棱锥的相关几何量的值,代入体积公式计算. 解答: 解:由三视图知:几何体是长方体削去一个三棱锥,如图:

长方体的长、宽、高分别为 6、3、6,∴长方体的体积为 6×6×3=108; 削去的三棱锥的底面直角三角形的两直角边长分别为 3, 5, 高为 4, ∴体积为 × ×3×5×4=10; ∴几何体的体积 V=108﹣10=98(cm ) . 故选:C. 点评: 本题考查了由三视图求几何体的体积, 解答此类问题的关键是判断几何体的形状及 相关几何量的数值. 9.等比数列{an}的各项均为正数,且 a5a6+a4a7=18,则 log3a1+log3a2+…log3a10=() A.12 B.10 C. 8 D.2+log35 考点: 等比数列的性质;对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: 先根据等比中项的性质可知 a5a6=a4a7,进而根据 a5a6+a4a7=18,求得 a5a6 的值,最 5 后根据等比数列的性质求得 log3a1+log3a2+…log3a10=log3(a5a6) 答案可得. 解答: 解:∵a5a6=a4a7, ∴a5a6+a4a7=2a5a6=18 ∴a5a6=9 5 ∴log3a1+log3a2+…log3a10=log3(a5a6) =5log39=10 故选 B 点评: 本题主要考查了等比数列的性质.解题的关键是灵活利用了等比中项的性质.
3

10.设变量 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=﹣2x+y 的最大值是()

A.4

B. 2

C. 1

D.

考点: 专题: 分析: 最值. 解答: 由

简单线性规划. 不等式的解法及应用. 由题意, 作出可行域, 由图形判断出目标函数 z=y﹣2x 的最大值的位置即可求出其 解:由题意,可行域如图, 得 A(0,1) .

目标函数 z=y﹣2x 的最大值在点 A(0,1)出取到, 故目标函数 z=﹣2x+y 的最大值是 1. 故选 C.

点评: 本题考查简单线性规划求最值,其步骤是作出可行域,判断最优解,求最值,属于 基本题.

11. 椭圆

+

=1 (a>b>0) 的两个焦点 F1, F2, 点 M 在椭圆上, 且 MF1⊥F1F2, |MF1|= ,

|MF2|= A.

,则离心率 e 等于() B. C. D.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由题意,|F1F2|= 离心率. 解答: 解:由题意,|F1F2|= ∴e= = . =2 =2c,2a= + =6, =2 =2c,2a= + =6,即可求出椭圆的

故选:C. 点评: 本题考查椭圆的定义,考查椭圆的几何性质,考查学生的计算能力,属于中档题.

12.已知函数 f(x)=

的图象上关于 y

轴对称的点至少有 3 对,则实数 a 的取值范围是()

A.

B.

C.

D.

考点: 分段函数的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 求出函数 f(x)=sin( 即可得到结论. 解答: 解:若 x>0,则﹣x<0, ∵x<0 时,f(x)=sin( ∴f(﹣x)=sin(﹣ 则若 f(x)=sin( 则 f(﹣x)=﹣sin( 即 y=﹣sin( )﹣1, )﹣1, )﹣1, (x<0)关于 y 轴对称的解析式,利用数形结合

)﹣1=﹣sin(

)﹣1, (x<0)关于 y 轴对称, )﹣1=f(x) ,

)﹣1,x>0, )﹣1,x>0 )﹣1,x>0 与 f(x)=logax,x>0 的图象至

设 g(x)=﹣sin(

作出函数 g(x)的图象,要使 y=﹣sin( 少有 3 个交点, 则 0<a<1 且满足 g(5)<f(5) , 即﹣2<loga5, 即 loga5> 则5 , , ,

解得 0<a< 故选:A

点评: 本题主要考查分段函数的应用, 作出函数关于 y 对称的图象, 利用数形结合的思想 是解决本题的关键.综合性较强,有一定的难度.

二、填空题(4×5'=20') 13.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表 广告费用 x(万元) 4 2 3 5 销售额 y(万元) 49 26 39 54 根据上表可得回归方程 65.5 万元. 考点: 回归分析的初步应用. 专题: 图表型. 分析: 首先求出所给数据的平均数,得到样本中心点,根据线性回归直线过样本中心点, 求出方程中的一个系数,得到线性回归方程,把自变量为 6 代入,预报出结果. 解答: 解:∵ =42, ∵数据的样本中心点在线性回归直线上, 回归方程 ∴42=9.4×3.5+a, ∴ =9.1, ∴线性回归方程是 y=9.4x+9.1, ∴广告费用为 6 万元时销售额为 9.4×6+9.1=65.5, 故答案为:65.5 万元. 点评: 本题考查线性回归方程的求法和应用, 是一个基础题, 本题解答关键是利用线性回 归直线必定经过样本中心点. 14.若不等式|x+1|+|x﹣3|≥|m﹣1|恒成立,则 m 的取值范围为 m∈[﹣3,5]. 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 转化思想. 分析: 根据绝对值的意义|x+1|+|x﹣3|表示数轴上的 x 对应点到 3 和﹣1 对应点的距离之 和,它的最小值等于 4,可得答案. 解答: 解:|x+1|+|x﹣3|表示数轴上的 x 对应点到﹣1 和 3 对应点的距离之和, 它的最小值等于 4, 由不等式|x+1|+|x﹣3|≥|m﹣1|恒成立知,|m﹣1|≤4, m∈[﹣3,5] 故答案为 m∈[﹣3,5]. 点评: 本题考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法,求出|x+1|+|x﹣3|的最小值,是解题 的关键. 中的 为 9.4, =3.5, 中的 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为

15.给定两个向量 =(3,4) , =(2,1) ,若( +x )⊥( ﹣ ) ,则 x 的值等于 5.

考点: 平面向量数量积坐标表示的应用. 专题: 计算题. 分析: 先根据向量 , 求出 a 与 b 的值,再由( +x )⊥( ﹣ ) ,进行数量积运算, 再将 a 与 b 的值代入即可得到答案. 解答: 解:∵ =(3,4) , =(2,1) , ∴a =9+16=25,b =4+1=5 ∵( +x )⊥( ﹣ ) ,∴a ﹣xb =25﹣5x=0 ∴x=5 故答案为:5 点评: 本题主要考查平面向量数量积的坐标表示. 坐标表示在很大程度上简化了向量的运 算,代来了很大的方便. 16.给出下列四个命题: ①函数 y= 为奇函数;
2 2 2 2 2 2 2 2

②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点; ③函数 y=2 的值域是(0,+∞) ;
x

④若函数 f(2x)的定义域为[1,2],则函数 f(2 )的定义域为[1,2]; 其中正确命题的序号是(填上所有正确命题的序号)①④. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用;简易逻辑. 分析: ①通过函数的定义域化简,得到 y= ②比如奇函数 y= 的图象,即可判断; ③由定义域和指数函数的值域,即可判断; ④函数的定义域的定义:自变量 x 的取值集合,即可判断; 解答: 解:①函数首先必须满足 1﹣x ≥0,即﹣1≤x≤1,1≤x+2≤3, 则函数化简为 y= ,定义域为[﹣1,0)∪(0,1],关于原点对称,
2

,再由奇偶性的定义,即可判断;

f(﹣x)=

=﹣

=﹣f(x) ,即函数为奇函数,故①正确,

②比如 y= 是奇函数,大图象不过原点,故②错误;

③由于 x≠0,则 y≠1,函数 y=2

的值域是(0,1)∪(1,+∞) .故③错误;
x

④若函数 f(2x)的定义域为[1,2],则 f(x)的定义域为[2,4],令 2≤2 ≤4,1≤x≤2, x 则函数 f(2 )的定义域为[1,2],故④正确; 故答案为:①④ 点评: 本题考查与函数有关的命题的真假判断,考查函数的奇偶性、单调性及运用,以及 抽象函数的定义域问题.涉及的知识点较多,比较综合. 三、解答题 * 17.在等差数列{an}中,Sn 为其前 n 项和(n∈N ) ,且 a3=5,S3=9. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

考点: 数列的求和;等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)依题意,解方程组 项公式; (Ⅱ)利用裂项法可求得 bn= ( ﹣ ) ,从而可求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 可求得 a1 与 d,从而可求等差数列{an}的通

解答: 解: (Ⅰ)由已知条件得 解得 a1=1,d=2,… ∴an=2n﹣1.… (Ⅱ)由(Ⅰ)知,an=2n﹣1, ∴bn= = = (





) ,… ﹣ )]

∴Tn=b1+b2+…+bn= [(1﹣ )+( ﹣ )+…+( = (1﹣ = .… )

点评: 本题考查等差数列的通项公式, 着重考查裂项法求和, 求得 bn= ( 是关键,属于中档题.





18. 如图, 四棱锥 P﹣ABCD 中, PA⊥底面 ABCD, AB⊥AD, 点 E 在线段 AD 上, 且 CE∥AB. (Ⅰ)求证:CE⊥平面 PAD; (Ⅱ)若 PA=AB=1,AD=3,CD= ,∠CDA=45°,求四棱锥 P﹣ABCD 的体积.

考点: 直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 综合题. 分析: (Ⅰ)由已知容易证 PA⊥CE,CE⊥AD,由直线与平面垂直的判定定理可得 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 CE⊥AD,从而有四边形 ABCE 为矩形,且可得 P 到平面 ABCD 的距 离 PA=1,代入锥体体积公式可求 解答: 解: (Ⅰ)证明:因为 PA⊥平面 ABCD,CE?平面 ABCD, 所以 PA⊥CE, 因为 AB⊥AD,CE∥AB,所以 CE⊥AD 又 PA∩AD=A,所以 CE⊥平面 PAD. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 CE⊥AD, 在 Rt△ ECD 中,DE=CDcos45°=1,CE=CDsin45°=1,又因为 AB=CE=1,AB∥CE, 所以四边形 ABCE 为矩形, 所以 = ,

又 PA⊥平面 ABCD,PA=1, 所以 点评: 本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系,几何体的体积等基础知识;考 查空间想象能力、 推理论证能力, 运算求解的能力; 考查数形结合思想, 化归与转化的思想. 19.对某电子元件进行寿命追踪调查,所得情况如频率分布直方图. (1)图中纵坐标 y0 处刻度不清,根据图表所提供的数据还原 y0; (2)根据图表的数据按分层抽样,抽取 20 个元件,寿命为 100~300 之间的应抽取几个; (3)从(2)中抽出的寿命落在 100~300 之间的元件中任取 2 个元件,求事件“恰好有一个 寿命为 100~200,一个寿命为 200~300”的概率.

考点: 频率分布直方图. 专题: 应用题;概率与统计. 分析: (1)根据频率和为 1,列出算式,求出 y0 的值; (2)根据分层抽样原理,求出在寿命为 100~300 之间的应抽取的个数; (3)利用列举法求出基本事件的个数,计算所求的概率即可. 解答: 解: (1)根据频率和为 1,得: 0.001×100+2y0×100+0.002×100+0.004×100=1, 解得 y0=0.0015; (2)设在寿命为 100~300 之间的应抽取 x 个, 根据分层抽样有: =(0.001+0.0015)×100, 解得:x=5, 所以在寿命为 100~300 之间的应抽取 5 个; (3)记“恰好有一个寿命为 100~200,一个寿命为 200~300”为事件 A, 由(2)知,寿命落在 100~200 之间的元件有 2 个,分别记为 a1,a2, 落在 200~300 之间的元件有 3 个分别记为:b1,b2,b3; 从中任取 2 个元件,有如下基本事件: (a1,a2) , (a1,b1) , (a1,b2) , (a1,b3) , (a2,b1) , (a2,b2) , (a2,b3) , (b1,b2) , (b1,b3) , (b2,b3)共有 10 个基本事件; 事件 A“恰好有一个寿命为 100~200,一个寿命为 200~300”有: (a1,b1) , (a1,b2) , (a1,b3) , (a2,b1) , (a2,b2) , (a2,b3)共有 6 个基本事件; ∴P(A)= = ,

即事件“恰好有一个寿命为 100~200,另一个寿命为 200~300”的概率为 . 点评: 本题考查了频率分布直方图的应用问题, 也考查了分层抽样方法与列举法求概率的 应用问题,是基础题目. 20.已知函数 f(x)=ax ﹣(a+2)x+lnx (1)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (2)求 f(x)的单调区间. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)求出 f(1)及 f′(1)的值,代入点斜式方程即可得到答案; (2)确定函数的定义域,求导函数.利用导数的正负,分类讨论,即可求得和的单调区间. 解答: 解: (1)当 a=1 时,f(x)=x ﹣3x+lnx,f′(x)=2x﹣3+ . 因为 f′(1)=0,f(1)=﹣2,所以切线方程为 y=﹣2. 2 (2)函数 f(x)=ax ﹣(a+2)x+lnx 的定义域为(0,+∞) .
2 2

当 a>0 时,f′(x)=2ax﹣(a+2)+ =

(x>0) ,

令 f′(x)=0,即 f′(x)= 所以 x= 或 x= . ①a>2 时,令 f′(x)>0,可得 x> 或 ②a=2 时,f′(x)≥0 恒成立; ③0<a<2 时,令 f′(x)>0,可得 x> 或 ④a≤0 时,令 f′(x)>0,可得

=

=0,

;令 f′(x)<0,可得 <x< ;

;令 f′(x)<0,可得 <x< ;

;令 f′(x)<0,可得 x> ; ) ;单调减区间为( , ) ;a=2 时,f(x)

∴a>2 时,函数的单调增区间是(0, ) , (

在(0,+∞上单调递增;0<a<2 时,函数的单调增区间是( ,+∞) , (0, ) ;单调减区 间是( , ) ;a≤0 时,函数的单调增区间是(0, ) ;单调减区间是( ,+∞) . 点评: 本题考查导数的几何意义,考查函数的单调区间,考查分类讨论的数学思想,考查 学生分析解决问题的能力,属于中档题.

21.已知椭圆

+

=1(a>b>0)的右焦点为 F(1,0) ,离心率 e=

,A,B 是椭圆上

的动点. (1)求椭圆标准方程; (2)若直线 OA 与 OB 的斜率乘积 kOA?kOB=﹣ ,动点 P 满足 = +λ , (其中实数 λ

为常数) .问是否存在两个定点 F1,F2,使得|PF1|+|PF2|=4?若存在,求 F1,F2 的坐标及 γ 的值;若不存在,说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由题设可知: ,可求 a,再由 b =a ﹣c 可求 b;
2 2 2

(2)只需判断点 P 的轨迹是否为椭圆,且有|PF1|+|PF2|=4.设 P(x,y) ,A(x1,y1) ,B (x2,y2) ,则由 = +λ ,得 x=x1+λx2,y=y1+λy2,由点 A、B 在椭圆 x +2y =2 上,得
2 2

=2,

=2,再由

,可得 x +2y =2+2λ ,整理有

2

2

2

+

=1,再由椭圆定义可求 λ,进而得 F1,F2;

解答: 解: (1)由题设可知: 又 b =a ﹣c ,∴b=1, ∴椭圆标准方程为 .
2 2 2

,解得 a=



(2)设 P(x,y) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则由 = +λ ,得 x=x1+λx2,y=y1+λy2,
2 2

∵点 A、B 在椭圆 x +2y =2 上,∴ 故 x +2y =( =(
2 2 2

=2,

=2, +2λy1y2)

+2λx1x2)+2( )+λ (
2

)+2λ(x1x2+2y1y2)

=2+2λ +2λ(x1x2+2y1y2) 由题设条件知 ,因此 x1x2+2y1y2=0,

∴x +2y =2+2λ ,即

2

2

2

+

=1,

∴P 点是椭圆

+

=1 上的点,设该椭圆的左、右焦点为 F1,F2, =4,

则由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2 ∴λ=±1, 又 c= =

,因此两焦点的坐标为 F1(﹣

,0) ,F2(

,0) .

点评: 该题考查椭圆的方程、性质,考查直线与椭圆的位置关系,考查向量的线性运算, 考查学生的运算求解能力、分析解决问题的能力. 四、选做题:选修 4-1,几何证明选讲(共 1 小题,满分 10 分) 22.如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E,且 CB=CE. (Ⅰ)证明:∠D=∠E; (Ⅱ)设 AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M,且 MB=MC,证明:△ ADE 为等边三角形.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 选作题;立体几何. 分析: (Ⅰ)利用四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,可得∠D=∠CBE,由 CB=CE,可 得∠E=∠CBE,即可证明:∠D=∠E; (Ⅱ)设 BC 的中点为 N,连接 MN,证明 AD∥BC,可得∠A=∠CBE,进而可得∠A=∠E, 即可证明△ ADE 为等边三角形. 解答: 证明: (Ⅰ)∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形, ∴∠D=∠CBE, ∵CB=CE, ∴∠E=∠CBE, ∴∠D=∠E; (Ⅱ)设 BC 的中点为 N,连接 MN,则由 MB=MC 知 MN⊥BC, ∴O 在直线 MN 上, ∵AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M, ∴OM⊥AD, ∴AD∥BC, ∴∠A=∠CBE, ∵∠CBE=∠E, ∴∠A=∠E, 由(Ⅰ)知,∠D=∠E, ∴△ADE 为等边三角形.

点评: 本题考查圆的内接四边形性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 五、选做题:选修 4-4:坐标系与参数方程(共 1 小题,满分 0 分)

23.已知圆锥曲线 C:

(α 为参数)和定点 A(0,

) ,F1、F2 是此圆锥曲

线的左、右焦点,以原点 O 为极点,以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求直线 AF2 的直角坐标方程; (2)经过点 F1 且与直线 AF2 垂直的直线 l 交此圆锥曲线于 M、N 两点,求||MF1|﹣|NF1||的 值. 考点: 参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (1)由圆锥曲线 C: (α 为参数)化为 ,可得 F2(1,0) ,

利用截距式即可得出直线 AF2 的直角坐标方程.

(2)直线 AF2 的斜率为

,可得直线 l 的斜率为

.直线 l 的方程为:



代入椭圆的方程化为 得出. 解答: 解: (1)由圆锥曲线 C: 可得 F2(1,0) , ∴直线 AF2 的直角坐标方程为: (2)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) . ∵直线 AF2 的斜率为

=0,t1+t2=

,利用||MF1|﹣|NF1||=|t1+t2|即可

(α 为参数)化为



,化为 y=



,∴直线 l 的斜率为



∴直线 l 的方程为:



代入椭圆的方程可得: 化为 t1+t2= , . =0,

=12,

∴||MF1|﹣|NF1||=|t1+t2|=

点评: 本题考查了椭圆的参数方程、直线的截距式与参数方程、参数的应用,考查了推理 能力与计算能力,属于中档题.

六、选做题:选修 4-5:不等式选讲(共 1 小题,满分 0 分) 24. (1)已知 a,b,c 均为正数,证明:a +b +c +( + + ) ≥6 何值时,等号成立. (2)已知 a,b,c 均为正实数,且 a+b+c=1.求 考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (1)利用基本不等式的性质即可证明; (2)利用柯西不等式的性质即可得出. 解答: (1)证明:法一: ∵a、b、c 均为正数,由平均值不等式得 a +b +c ≥3 ( + + )≥3 ∴ 故 a +b +c +
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

,并确定 a,b,c 为

+

+

的最大值.

,① ,②
2

≥9



≥3

+9

≥3×2

=

.③

∴原不等式成立. 当且仅当 a=b=c 时,①式和②式等号成立. 当且仅当 3 =9 时,③式等号成立.

即当且仅当 a=b=c=

时,原式等号成立.

法二:∵a,b,c 均为正数,由基本不等式得 2 2 2 2 2 2 a +b ≥2ab,b +c ≥2bc,c +a ≥2ac, 2 2 2 ∴a +b +c ≥ab+bc+ac.① 同理 故 a +b +c +
2 2 2



,②
2

≥ab+bc+ac+3(

+

+

)≥6

.③

∴原不等式成立, 2 2 2 当且仅当 a=b=c 时,①式和②式等号成立,当且仅当 a=b=c, (ab) =(bc) =(ac) =3 时,③式等号成立. 即当且仅当 a=b=c= 时,原式等号成立.

(2)解:由柯西不等式得 (4a+1+4b+1+4c+1)=3[4(a+b+c)+3]=21, 当且仅当 a=b=c= 时等号成立

≤(1 +1 +1 )

2

2

2

故 的最大值为 . 点评: 本题考查了基本不等式的性质、柯西不等式的性质,考查了推理能力与计算能力, 属于中档题.


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