陕西省2019届高三第一次模拟联考理科数学试题(解析版)

陕西省 2019 届高三第一次模拟联考理科数学试题

一、选择题(本大题共 12 小题,共 60.0 分)

1.已知集合 A={x|-1≤x<2},B={x|0≤x≤3},则 A∩B=( )

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】

【分析】

利用集合的交集的定义,直接运算,即可求解.

【详解】由题意,集合 A={x|-1≤x<2},B={x|0≤x≤3},∴A∩B={x|0≤x<2}.

故选:B.

【点睛】本题主要考查了集合的交集运算,其中解答中熟记集合的交集定义和准确运算是解答的关键,着重

考查了运算与求解能力,属于基础题.

2.复数 的模是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】D 【解析】 【分析】 先将复数化成

形式,再求模。

【详解】

所以模是

故选 D.

【点睛】本题考查复数的计算,解题的关键是将复数化成

形式,属于简单题。

3.若抛物线 y2=2px 的焦点坐标为(2,0),则准线方程为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】

【分析】

抛物线 y2=2px 的焦点坐标为(2,0),求得 的值,即可求解其准线方程.

【详解】由题意,抛物线 y2=2px 的焦点坐标为(2,0),∴ ,解得 p=4, 则准线方程为:x=-2. 故选:A. 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质,其中解答中熟记抛物线的标准方程,及其简单的几何 性质,合理计算是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题. 4.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )

A. 64

B.

C. 80

D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据三视图画出几何体的直观图,判断几何体的形状以及对应数据,代入公式计算即可.

【详解】几何体的直观图是:是放倒的三棱柱,底面是等腰三角形,底面长为 4,高为 4 的三角形,棱柱的高

为 4,

所求表面积:



故选:B.

【点睛】本题主要考查了几何体的三视图,以及几何体的体积计算,其中解答中判断几何体的形状与对应数 据是解题的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题。 5.公元 263 年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面 积,并创立了“割圆术”,利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14,这就是著 名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图,则输出 n 的值为( )(参考数据: sin15°=0.2588,sin7.5°=0.1305)

A. 12

B. 24

C. 48

D. 96

【答案】B

【解析】

【分析】

列出循环过程中 S 与 n 的数值,满足判断框的条件,即可结束循环,得到答案.

【详解】模拟执行程序,可得:n=6,S=3sin60°= ,

不满足条件 S≥3.10,n=12,S=6×sin30°=3, 不满足条件 S≥3.10,n=24,S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056, 满足条件 S≥3.10,退出循环,输出 n 的值为 24. 故选:B. 【点睛】本题主要考查了循环框图的应用,其中解答中根据给定的程序框图,逐次循环,注意判断框的条件 的应用是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题。

6.若 x、y 满足约束条件

,则 z=3x-2y 的最小值为( )

A.

B.

C.

D. 5

【答案】C 【解析】 【分析】 由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求出最优解的 坐标,代入目标函数得答案.

【详解】由题意,画出约束条件,所表示的平面区域,如图所示,

化目标函数





由图可知,当直线

过 A 时,直线在 y 轴上的截距最大,

联立

,解得 A(-1,1),

可得目标的最小值为

,故选:C.

【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题.其中解答中正确画出不等式组表示的可行域, 利用“一画、二移、三求”,确定目标函数的最优解是解答的关键,着重考查了数形结合思想,及推理与计 算能力,属于基础题.

7.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a=bcosC 且 c=6,A= ,则△ABC 的面积( )

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用余弦定理求出 B,然后求解 C,再利用正弦定理求得 a,然后由三角形的面积公式求解即可.

【详解】由题意,在 中,角 的对边分别为



,∴由余弦定理可得

,即 a2+c2=b2,

∴ 为直角三角形,B 为直角,又∵

,可得 C= ,

由正弦定理

,即

,解得







故选:D. 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用,三角形的面积公式的应用,注意正弦定理以及三角形边角关系的

应用,属于基础题,着重考查了运算与求解能力。

8.函数



)的图象大致是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】 分析:首先利用诱导公式,将函数解析式化简,判断出函数的奇偶性,利用奇函数图像的对称性,先将选项 中不关于原点对称的选项排除,再利用导数研究函数的单调性,确定函数图像在哪个区间上单调增,在哪个 区间上单调减,最后确定结果.

详解:函数

是奇函数,故排除 A,C,

当 时,函数





,可得



当 时,



当 时,



的一个根 落在

并且

时,

, 是减函数,



时,

, 时,

上, ,

的一个根 在

上,

时,

,函数是增函数,

,函数是减函数,所以排除 D,故选 A.

点睛:该题所考查的是有关函数图像的选择问题,在求解的过程中,一是判断函数的奇偶性,排除两个选项,

二是利用函数的导数判断函数的单调性,排除一个选项,就剩下一个,选出函数的图像即可.

9.如图,在?OACB 中,E 是 AC 的中点,F 是 BC 上的一点,且 BC=3BF,若 =m

,其中 m,n∈R,则

m+n 的值为( )

A. 1

B.

C.

D.

【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意将 用基底向量 【详解】在平行四边形中 因为 E 是 AC 中点,

表示出来,然后通过基底向量进行计算。

所以

所以

,

因为

所以

所以 因为 所以

,解得

所以

故选 C 【点睛】本题考查向量的运算,解题的关键是找到一组基底,将所求向量用基底表示,然后再进行运算。

10.已知函数

,则不等式

>x3+3x 的解集为( )

A.

C.



【答案】A

B.



D.

【解析】

【分析】

根据函数的单调性,得到关于 x 的不等式,利用分式不等式的解法,即可求解。

【详解】由题意,函数

,则

,所以 在 R 递增,

则不等式





,故

,即

,解得





故选:A. 【点睛】本题主要考查了函数的单调性的应用,其中解答中根据函数的单调性,把不是转化为关于 的分式不 等式,利用分式不等式的解法求解是解答的关键,着重考查了转化思想,以及推理与运算能力,属于基础题。

11.已知直线 y=

与曲线 C:

=1(a>0,b>0)右支交于 M,N 两点,点 M 在第一象限,若点 Q 满



= ,且∠MNQ=30°(其中 O 为坐标原点),则双曲线 C 的渐近线方程为( )

A.

B.

C.

【答案】D 【解析】 【分析】 设 的中点为 ,由题意可得 P,H 坐标,结合几何条件可得 程. 【详解】设 的中点为 , 与 轴交于点 ,

由直线

,可得





,代入双曲线的方程,可得



,可得



D. ,代入坐标可得 ,即得渐近线方


可得 的中点





,则 为 的中点,

由为

的中位线,可得



,

为等腰三角形,且



, ,

即有

,整理得 ,

所以双曲线的渐近线的方程为

,故选 D.

【点睛】本题主要考查了双曲线的方程和性质,主要是渐近线方程的求法,考查方程思想和直线的斜率公式, 运算化简能力,属于中档题.

12.已知函数 f(x)=-x2+x+t( ≤x≤3)与 g(x)=3lnx 的图象上存在两组关于 x 轴对称的点,则实数 t 的

取值范围是( )(参考数据:ln2≈0.7,ln3≈1.1)

A.

B.

C.

D.

【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意转化对应方程有两解,再构造函数,结合单调性与最值求解。 【详解】由题知图象上存在两组关于 轴对称的点,

所以



上有两解



有两解









时,

, 单增;



时,

, 单减;

所以

且 因为



有两解,所以



的图像有两交点,





故选 C. 【点睛】本题的关键是能够造新函数,结合单调性与最值求解,是偏难题目。
二、填空题(本大题共 4 小题,共 20.0 分)
13.某校读书活动结束后,欲将 4 本不同的经典名著奖给 3 名同学,每人至少一本,则不同的奖励方式共有______ 种. 【答案】36 【解析】 【分析】 根据题意,分 2 步进行分析:①将 4 本书分成 3 组,有 1 组 2 本,其余 2 组每组 1 本,②将分好的组全排列, 对应 3 名同学,由分步计数原理计算可得答案. 【详解】解:根据题意,分 2 步进行分析:

①,将 4 本书分成 3 组,有 1 组 2 本,其余 2 组每组 1 本,有

种分组方法,

②,将分好的三组全排列,对应 3 名同学,有

种情况,

则不同的奖励方式有 6×6=36 种; 故答案为:36. 【点睛】本题考查排列、组合的应用,涉及分步计数原理的应用,注意先分组,再进行排列.

14.

关于 x、y 的二项式

的展开式的系数和为 8,那么

的值为______.

【答案】 【解析】 【分析】

利用二项式定理求得 ,再用定积分求

【详解】因为该二项展开式的系数和是 8,

所以令

,则

所以

.

故答案是 【点睛】本题考查二项式定理和定积分,解题的关键是求出 .属于简单题 15.“南昌之星”摩天轮于 2006 年竣工,总高度 160m,直径 153m,匀速旋转一周需时间 30min,以摩天轮的 中心为原点,建立坐标系,如图示意图,以你登上摩天轮的时刻开始计时,求出经过 t 分钟后你与地面的距 离为______.

【答案】

【解析】 【分析】 由题意可设 f(t)=b-acosωt,求出 b、a 和 ω 的值,即可得到答案. 【详解】由题意设 f(t)=b-acosωt,

其中 b=160- ×153=83.5,a= ×153=76.5,ω=



∴以登上摩天轮的时刻开始计时,经过 t 分钟后与地面的距离为:

f(t)=83.5-76.5cos t,t∈[0,+∞).

故答案为 f(t)=83.5-76.5cos t,t∈[0,+∞).

【点睛】本题主要考查了三角函数模型应用问题,其中解答中正确理解题意,设出函数的解析式,分别求解

的值是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题。

16.定义在实数集 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)+f(x)=0 且当 x∈(0,1]时 f(x)=x,则下列四个命 题正确的序号是______.

①f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2019)=0;

②方程 f(x)=log5|x|有 5 个根;





④函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称. 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】

由奇函数的定义和性质,结合条件可得 的周期为 4,求得

可判断①;由 f(x+2)=-f(x)

=f(-x),可判断④;由 f(x)的图象和 y=log5|x|的图象的交点,可判断②;由 f(x)的周期和一个周期内的 函数解析式,即可判断③.

【详解】定义在实数集 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)+f(x)=0,

可得 f(x+2)=-f(x)=f(-x),

即有函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,故④正确;

又 f(x+4)=-f(x+2)=f(x),可得 f(x)的最小正周期为 4,

由 x∈(0,1]时 f(x)=x,可得 f(1)=1,

又 f(0)=0,f(2)=0,f(3)=-f(1)=-1,f(4)=0,

则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2019)=504×(1+0-1+0)+1+0-1=0,故①正确;

由 x∈[-1,0),-x∈(0,1],f(-x)=-x=-f(x),可得 f(x)=x(-1≤x<0),

即有 f(x)=x(-1≤x≤1),由 f(x)的图象关于直线 x=1 对称可得 f(x)=2-x(1≤x≤3),

作出 y=f(x)的图象和 y=log5|x|的图象,可得它们有五个交点, 即方程 f(x)=log5|x|有 5 个根,故②正确;

由 f(x)的周期为 4,且-1≤x≤1 时,f(x)=x;1≤x≤3 时,f(x)=2-x,

可得当-1+4k≤x≤4k+1 时,f(x)=x-4k;1+4k≤x≤4k+3 时,f(x)=2-x+4k,k∈Z,

故③正确.

故答案为:①②③④.

【点睛】本题主要考查了抽象函数的性质和运用,考查周期性和对称性、图象交点个数和函数解析式的求法,

其中解答中熟记函数的基本性质,合理应用函数的图象是解答的关键,考查数形结合思想方法,属于中档题.

三、解答题(本大题共 7 小题,共 82.0 分)

17.已知等差数列{an}中,

,前 5 项和



(1)求 的通项公式.

(2)若

,求数列 前 项和 .

【答案】(1) 【解析】 【分析】

;(2)

(1)等差数列 通项公式;

的公差设为 ,由等差数列的通项公式和求和公式,解方程可得首项和公差,即可得到所求

(2)求得

,运用并项求和,即可得到所求和.

【详解】(1)等差数列 的公差设为 , ,前 5 项和



可得

,解得



所以



(2)由(1)得



所以前 2n 项和为 (-1+5)+(-9+13)+…+[-4(2n-1)+3+8n-3] =4+4+…+4=4n. 本题考查 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和求和公式的运用,考查数列的并项求和,以及方程思想和运 算能力,属于基础题. 18.如图所示,已知等腰直角三角形 RBC,其中∠RBC=90°,RB=BC=2.点 A,D 分别是 RB,RC 的中点,现将△RAD 沿着边 AD 折起到 PAD 位置,使 PA⊥AB,连接 PB,PC.

(1)求证:AD∥面 PBC; (2)求二面角 A-CD-P 的余弦值.

【答案】(1)见解析;(2)

【解析】

【分析】

(1)由题可先证得

,则

(2)建立空间直角坐标系由向量法求解

【详解】因为点 A,D 分别是 RB,RC 的中点

所以在三角形 中,

又因为 平面 ,

平面

所以 AD∥面 PBC.

(2)建立如图所示的空间直角坐标系



所以

设平面 的法向量为

,则



令 ,则 ,

所以

是平面 的法向量

所以

二面角 A-CD-P 的余弦值是 .
【点睛】1.证明线面平行即证直线和平面内的一条直线平行。 2.二面角是高考的热点和难点,解决此类问题常用向量法,解题的关键是建立空间直角坐标系,求平面的法向 量,再由向量的夹角公式求解。 19.按照国家质量标准:某种工业产品的质量指标值落在[100,120)内,则为合格品,否则为不合格品.某企 业有甲乙两套设备生产这种产品,为了检测这两套设备的生产质量情况,随机从两套设备生产的大量产品中 各抽取了 50 件产品作为样本对规定的质量指标值进行检测.表是甲套设备的样本频数分布表,图 1 是乙套设 备的样本频率分布直方图.

表 1:甲套设备的样本频数分布表

质量指标值

[95,100)

[100, 105)

[105,110) [110,115) [115,120) [120,125]

频数

1

4

19

20

5

1

(1)将频率视为概率,若乙套设备生产了 5000 件产品,则其中合格品约有多少件? (2)填写下面 2×2 列联表,并根据列联表判断是否有 95%的把握认为这种产品的质量指标值与甲乙两套设备 的选择有关:

甲套设备

乙套设备

合计

合格品

不合格品

合计

(2)根据表和图,对甲、乙两套设备的优劣进行比较. 参考公式及数据:x2=

P(Х2≥k)

0.100

0.050

k

2.706

3.841

0.010 6.635

【答案】(1)800;(2)见解析;(3)见解析 【解析】 【分析】 (1)结合频数分布表,求出满足条件的频率和频数; (2)求出 2×2 列联表,计算 k2 的值,判断即可; (3)根据题意,利用满足条件的频率与方差的含有,判断即可. 【详解】(1)由图知,乙套设备生产的不合格品率约为(0.01+0.022)×5=0.16; ∴乙套设备生产的 5000 件产品中不合格品约为 5000×0.16=800(件); (2)由表 1 和图得到列联表:

甲套设备

乙套设备

合计

合格品

48

42

90

不合格品

2

8

10

合计

50

50

100

将列联表中的数据代入公式计算得 K2=

=4>3.841;

∴有 95%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关;

(3)由表 1 和图知,甲套设备生产的合格品的概率约为 =0.96,

乙套设备生产的合格品的概率约为 1-0.16=0.84, 且甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105,115)之间, 乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散; 因此,可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高,且质量指标值更稳定, 所以甲套设备优于乙套设备. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题,其中解答中熟记频率分布直方图的相关 知识,以及准确利用公式计算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题。

20.在直角坐标系中椭圆 C:

=1

经过 A( ,0),B(0,2)两点.

(1)求椭圆 C 的方程 (2)过原点 O 的直线与线段 AB 交于点 D,与椭圆 C 交于 E,F 两点,求四边形 AEBF 面积的最大值.

【答案】(1)

;(2)

【解析】

【分析】

(1)由题可知 ,进而可知椭圆方程。

(2)由 关于原点对称,表示出四边形的面积

四边形的面积 的最大值。

【详解】(1)由题可知



,求出 的最大值,进而求出

所以椭圆方程是

.

(2)因为直线 过原点,所以 关于原点对称,

直线方程

与 平行的直线 得方程



联立得

,即

由 所以 到直线 的距离

可得

所以 的最大值是



的最大值是

.

【点睛】求椭圆方程即求 值,同时要注意焦点位置;

本题求四边形面积的最大值的关键是将四边形面积分割成两部分求最值,属于中档题。

21.已知函数 f(x)=a +2x+ax+lnx,(a∈R)

(1)讨论函数 f(x)的单调性;

(2)设 g(x)=

,若对任意给定的 x0∈(0,2],关于 x 的函数 y=f(x)-g(x0)在(0,e]上有两个

不同的零点,求实数 a 的取值范围.(其中 e 为自然对数的底数)

【答案】(1)见解析 (2)

【解析】 【分析】 (1)对函数 (2)对函数

求导,利用导函数判断单调性 求导,求出 的值域,再结合题意求解。

【详解】(1)

1) 当 时,



所以 在

上单增;

2) 当 时,

,即



,即

所以 在

单调递减,在

单调递增

综上,当 时, 在

上单增

当 时, 在

单调递减,在

单调递增.

(2)因为

,所以







所以当

时,

, 在 上单调递增;



时, , 在

上单调递减

,即 的值域

.

要使得



有两个不同的零点,则













,易知 是增函数,且



所以

,则

,解得

综上

.

【点睛】本题考查利用导函数解不等式 (1)恒成立问题或存在性问题常利用分离参数法转化为最值求解 (2)证明不等式可通过构造函数转化为函数的最值问题,属于偏难题目。

22.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为

(α 为参数)以坐标系原点为极点,以 x 轴正半轴

为极轴,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sinθ. (1)写出曲线 C1 的极坐标方程和曲线 C2 的直角坐标方程;

(2)设点 P 在 C1 上,点 Q 在 C2 上,且∠POQ= ,求△POQ 的面积的最大值.

【答案】(1)



;(2)

【解析】 【分析】 (1)直接利用转换关系,把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换.

(2)直接利用(1)的结论和三角形的面积公式的应用求出结果.

【详解】(1)曲线 C1 的参数方程为 转换为直角坐标方程为:(x-2)2+y2=4, 转换为极坐标方程为:ρ =4cosθ . 曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sinθ, 转换为直角坐标方程为:x2+y2-2y=0.

(α 为参数),

(2)点 P 在 C1 上,点 Q 在 C2 上,且∠POQ= ,

则:

=



因为

,所以



所以



时,此时 的面积由最大值,

此时最大值为

【点睛】本题主要考查了参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换,二元二次方程组的解法及应用, 主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.

23.已知函数 f(x)=2|x- |-|2x+1|.

(1)求 f(x)的最大值 t;

(2)若正实数 m,n 满足 n+m= mn,求证:

≥t.

【答案】(1)2;(2)见解析 【解析】 【分析】 (Ⅰ)根据绝对值的意义,将函数表示为分段函数形式,结合函数的解析式求出函数的值域即可

(Ⅱ)根据条件得到

,利用消元法,转化为一元二次函数,利用配方法进行求解证明即可

【详解】(1)f(x)=2|x- |-|2x+1|=2|x- |-2|x+ |.

则当 x< 时,f(x)=-2(x- )+2(x+ )=2.

当- ≤x≤ 时,f(x)=-2(x- )-2(x+ )=-4x,此时 f(x)∈[-2,2],

当 x> 时,f(x)=2(x- )+2(x+ )=-2.

综上 f(x)∈[-2,2],即函数的最大值为 2,即 t=2.

(2)由 n+m= mn 得 = + = ,

即 = - >0 得 0< <



=( - )2 =3- + =3( - )2+2,

∵0< < ,∴当 = 时,

取得最小值 2,即

≥2 恒成立.

【点睛】本题主要考查分段函数的应用以及不等式的证明,利用绝对值的意义进行转化求解,结合一元二次 函数的性质是解决本题的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.


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