2017优化方案高考总复习·数学理(新课标)第四章第1讲知能训练轻松闯关

1.把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上,那么它们的终点所构成的图形是 ) A.一条线段 B.一段圆弧 C.两个孤立点 D.一个圆 解析:选 D.由单位向量的定义可知,如果把平面上所有的单位向量平移到相同的起点 上,则所有的终点到这个起点的距离都等于 1,所有的终点构成的图形是一个圆. 2.(2014· 高考课标全国卷Ⅰ)设 D,E,F 分别为△ABC 的三边 BC,CA,AB 的中点, → → 则EB+FC=( ) 1→ → A.BC B. AD 2 1→ → C.AD D. BC 2 解析:选 C. ( → → → → → → → → 1 → → 1 → → 如图,EB+FC=EC+CB+FB+BC=EC+FB= (AC+AB)= ·2AD=AD. 2 2 3. → → → → → → 如图,已知AB=a,AC=b,BD=3 DC,用 a,b 表示AD,则AD=( 3 A.a+ b 4 1 3 B. a+ b 4 4 1 1 C. a+ b 4 4 3 1 D. a+ b 4 4 → → → → → 解析:选 B.因为CB=AB-AC=a-b,又BD=3 DC, → 1→ 1 所以CD= CB= (a-b), 4 4 1 1 3 → → → 所以AD=AC+CD=b+ (a-b)= a+ b. 4 4 4 ) → → 4.如图,已知 AB 是圆 O 的直径,点 C,D 是半圆弧的两个三等分点,AB=a,AC=b, → 则AD=( ) 1 A.a- b 2 1 C.a+ b 2 1 B. a-b 2 1 D. a+b 2 → 1→ 1 解析:选 D.连接 CD,由点 C,D 是半圆弧的三等分点,得 CD∥AB 且CD= AB= a, 2 2 1 → → → 所以AD=AC+CD=b+ a. 2 5.(2016· 济南模拟)如图,在△ABC 中,∠A=60°,∠A 的平分线交 BC 于点 D,若 → 1→ → AB=4,且AD= AC+λAB(λ∈R),则 AD 的长为( ) 4 A.2 3 C.4 3 解析:选 B.3 3 D.5 3 1 3 B.因为 B,D,C 三点共线,所以有 +λ=1,解得 λ= ,如图,过点 D 分别作 AC, 4 4 AB 的平行线交 AB,AC 于点 M,N, → 1 → → 3→ 则AN= AC,AM= AB, 4 4 经计算得 AN=AM=3,AD=3 3. 6.若 A,B,C,D 是平面内任意四点,给出下列式子: → → → → → → → → → → → → ①AB+CD=BC+DA;②AC+BD=BC+AD;③AC-BD=DC+AB.其中正确的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 → → → → → → → → 解析:选 C.①式的等价式是AB-BC=DA-CD,左边=AB+CB,右边=DA+DC,不 → → → → → → → → → 一定相等;②式的等价式是AC-BC=AD-BD,AC+CB=AD+DB=AB成立;③式的等价 → → → → → → 式是AC-DC=AB+BD,AD=AD成立. 7.(2016· 唐山统考)已知 a 与-b 是两个不共线向量,且向量 a+λb 与-(b-3a)共线, 则 λ 的值为________. 解析:因为 a+λb 与-(b-3a)共线, 所以存在实数 μ,使 a+λb=μ(3a-b), 1 μ=3, ? 1 = 3 μ , ? 即? 所以 1 ?λ=-μ, ? λ=-3. 1 答案:- 3 → → → → → 8.在?ABCD 中,AB=a,AD=b,AN=3 NC,M 为 BC 的中点,则MN=________(用 a,b 表示). → → → → 解析:由AN=3 NC,得 4AN=3AC=3(a+b), 1 → AM=a+ b, 2 ? ? ? 1 ? 1 1 → 3 所以MN= (a+b)-? ?a+2b?=-4a+4b. 4 1 1 答案:- a+ b 4 4 → → → → → 9.已知 O 为四边形 ABCD 所在平面内一点,且向量OA,OB,OC,OD满足等式 OA+ → → → OC=OB+OD,则四边形 ABCD 的形状为________. → → → → 解析:因为OA+OC=OB+OD, → → → → 所以OA-OB=OD-OC, → → 所以BA=CD,BA CD, 所以四边形 ABCD 为平行四边形. 答案:平行四边形 10.(2015· 高考全国卷Ⅱ)设向量 a,b 不平行,向量 λa+b 与 a+2b 平行,则实数λ = ________. 解析:因为 λa+b 与 a+2b 平行,所以 λa+b=t(a+2b), 1 λ= , ? 2 λ = t , ? 即 λa+b=ta+2tb,所以? 解得 1 ?1=2t, ? t= . 2 1 答案: 2 11.已知向量 a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中 e1、e2 不共线,向量 c=2e1-9e2.问是否 存在这样的实数 λ、μ,使向量 d=λa+μb 与 c 共线? 解:因为 d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2) =(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2, 要使 d 与 c 共线,则应有实数 k,使 d=kc, 即(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2, ?2λ+2μ=2k, ? 即? 得 λ=-2μ. ?-3λ+3μ=-9k, ? 故存在这样的实数 λ、μ,只要 λ=-2μ,就能使 d 与 c 共线. 12. ? ? ? → 在△ABC 中,D、E 分别为 BC、AC 边上的中点,G 为 BE 上一点,且 GB=2GE,设AB → → → =a,AC=b,试用 a,b 表示AD,AG. → 1 → → 1 1 解:AD= (AB+AC)= a+ b. 2 2 2 → → → → 2→ → 1 → → 2→ 1 → → 1→ 1 → 1 1 AG=AB

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