安徽省高考押题卷数学试题文科

2011 年安徽省高考押题卷数学试题(文)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分. 共 150 分,测试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 注意事项: 1.答第 1 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上. 2.每小题选出答案后,用 HB 或者 2B 铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.不能答在试题卷上. 参考公式: 1.若事件 A、B 互斥,则 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 2.若事件 A、B 相互独立,则 P( AB) ? P( A) ? P( B) 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题, ,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,选出一个符 合题目要求的选项) 1.已知全集 U ? R, 集合A ? {x | lg x ? 0}, B ? {x | 2 x ? 1 }, 则CU ( A ? B) ? A. (??,1) C. (??,1] B. (1,??) D. [1,??)
开始





k=1

2.如果执行的程序框图(右图所示) ,那么输出的 S ? A.2450 C.2550 B.2500 D.2652

S ?0
k ? 50?


3.已知关于 x 的二项式 ( x ?

a
3

x

) n 展开式的二项式系数之



S ? S ? 2k
k ? k ?1

输出S
结束

和为 32,常数项为 80,则 a 的值为 A.1 B. ? 1 C.2 D. ? 2 4.若 sin(





1 2? ? ? ) ? , 则 cos( ? 2? ) 的值为 6 3 3 1 1 7 A. B. ? C. 3 3 9
2

?

( D. ?



7 9


5. 已知抛物线 y ? 8x 的焦点与双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的一个焦点重合, 则该双曲线的离心率为 ( a2
C. 3 D.3

A.

4 15 5
2

B.

2 3 3

6.若曲线 y ? 2 x 的一条切线 lL 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则切线 l 的方程为、

A、 4 x ? y ? 2 ? 0

B、 x ? 4 y ? 9 ? 0 C、 4 x ? y ? 3 ? 0

D、 x ? 4 y ? 3 ? 0

7.已知函数 f ( x) ? ( x ? a)(x ? b)(其中a ? b) 的图像 如图所示,则函数 g ( x) ? a x ? b x 的图像是 ( )

8.已知直线 l , m, 平面? , ? , 且l ? ? , m ? ? ,给出下列四个命题 ①若 ? // ? , 则l ? m ;②若 l ? m, 则? // ? ;③若 ? ? ? , 则l // m ;④若 l // m, 则? ? ? 其中正确命题的个数是 A.0 B.1 9 .已知函数, f(X)= log2 x 的反函数为 f ( a4 )= 2 ,则 2 (A) 2
1004?2008 10 f ( a1 ) ? f ( a2 ) ?.......? f (2009)

( C.2
?1


?1 ?1

D.3 ( a2 )· f

(x) ,等比数列 { an } 的公比为 2 ,若 f

= (D) 2
1004?2009

(B) 2

1005?2009

(c) 2

1005?2008

?x ? 2 ? 且目标函数z ? 3x ? y 的最小值是 5,则 z 的最大值是( 10.已知 x, y满足? x ? y ? 4, ?? 2 x ? y ? c ? 0 ?



A.10 B.12 C.14 D.15 11.将 1,2,3,…,9 这 9 个数字填在如图的 9 个空格中,要求每一行从左到右,每一列从上到下 分别依次增大,当 3,4 固定在图中的位置时,填写空格的方法数为 ( ) A.6 种 B.12 种 C.18 种 D.24 种 12.已知函数,f(x)是定义在 R 上的奇函数 f(2)=0, 当 x>0 时,有

xf ?( x )? f ( x ) 2 <0 成立,则不等式 x f(x)>0 的解集是 x2
(B)(-∞,-2)u(0,2) (D)(-∞,-2)u(2,+∞)

(A)(-2,0)u(2,+∞) (c)(-2,0)u(0,2)

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 2 0 0 9

13.一个样本容量为 20 的样本数据,分组后,组距与频数如下: (10,20],2; (20,30],3; (30,40],

4; (40,50],5; (50,60],4; (60,70],2; 则样本在区间 (??,50]上的频率为



14. 在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y, 若不等式 则实 ( x ? a) ? ( x ? a) ? 1对一切实数 x 都成立, 数 a 的取值范围是 。 15.若 a 是从区间[0,3]内任取一个实数,b 是从区间[0,2]内任取一个实数,则关于 x 的一元二 次方程 x ? 2ax ? b ? 0 有实根的概率为
2 2



16.下列说法正确的是

。 (写出所有正确说法的序号)

①若 p是q的充分不必要条件 , 则?p是?q 的必要不充分条件; ②命题 " ?x ? R, x 2 ? 1 ? 3x"的否定是 "?x ? R, x 2 ? 1 ? 3x" ; ③设 x, y ? R, 命题"若xy ? 0, 上x 2 ? y 2 ? 0"的否命题是真命题; ④若 z ?

4i ? (1 ? 3i ) 2 , 则z ? z 1? i

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.在 ?ABC中, a, b, c 分别是角 A、B、C 的对边, m ? (b,2a ? c), n ? (cosB, cosC ) ,且 m // n. (1)求角 B 的大小; ( 2)设 f ( x) ? cos( ?x ? 的最大值和最小值。

B ? ) ? sin x(? ? 0), 且f ( x) 的最小正周期为 ? , 求f ( x)在区间[0, ] 上 2 2

18.某商场举行购物抽奖促销活动,规定每位顾客从装有编号为 0,1,2,3 四个相同小球的抽奖箱 中,每次取出一球记下编号后放回,连续取两次,若取出的两个小球号码相加之和等于 6,则 中一等奖,等于 5 中二等奖,等于 4 或 3 中三等奖。 (1)求中三等奖的概率; (2)求 中奖的概率。

19.如图所示的多面体,它的正视图为直角三角形,侧视图为矩形,俯视图为直角梯形(尺寸如图 所示)

(1)求证:AE//平面 DCF; (2)当 AB 的长为

9 , ?CEF ? 90? 时,求二面角 A—EF—C 的大小。 2

20.在数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an?1 ? an ? 2n ? 1 (n ? N? ) .(Ⅰ)求证:数列 {an ? 2n } 为等差数列; (Ⅱ)设数列 ?bn ? 满足 bn ? log2 (an ? 1 ? n) ,若 (1 ?

1 1 1 )(1 ? )(1 ? ) b2 b3 b4

(1 ?

1 ) bn

? k n ? 1 对一切 n ? N? 且 n ? 2 恒成立,求实数 k 的取值范围.

21.已知椭圆的一个顶点为 A(0, ? 1) ,焦点在 x 轴上.若右焦点到直线 x ? y ? 2 2 ? 0 的距离 为 3. (1)求椭圆的方程, (2) 设椭圆与直线 y ? kx ? m (k ? 0) 相交于不同的两点 M、 N. 当 AM ? AN 时,求 m 的取值范围.

22.已知常数 a 、 b 、 c 都是实数,函数 f ( x) ?

x3 a 2 ? x ? bx ? c 的导函数为 f ?( x ) 3 2

(Ⅰ)设 a ? f ?(2), b ? f ?(1), c ? f ?(0) ,求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)如果方程 f ?( x) ? 0 的两个实数根分别为 ? 、 ? ,并且 1 ? ? ? ? ? 2 问:是否存在正整数 n0 ,使得 | f ?(n0 ) ?

1 ?请说明理由. 4

参考答案 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分。 1—6BCCDBA 7—12ACDAAB 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分。 13. 0.7 三、解答题: 17.解: (1)由 m // n ,得 b cosC ? (2a ? c) cos B, ? b cos C ? c cos B ? 2a cos B. 由正弦定得,得 sin B cosC ? sin C cos B ? 2 sin A cos B, 14. ?

1 3 ?a? 2 2

15.

2 3

16.①③

? sin(B ? C ) ? 2 sin A cos B. 又 B ? C ? ? ? A,
? sin A ? 2 sin A cos B. 又 sin A ? 0,? cos B ?
(2) f ( x) ? cos(?x ? 由已知

1 ? . 又 B ? (0, ? ),? B ? . 2 3

6分

?
6

) ? sin ?x ?

3 2 ? cos?x ? sin ?x ? 3 sin(?x ? ) 2 3 6

2?

当 x ? [0,

? ?
2

? ? ,? ? ? 2. f ( x) ? 3 sin( 2 x ? ]时,2 x ?

?
6

),

9分

?

因此,当 2 x ? 当 2x ?

?
6

?

?

? 7? ? 1 ? [ , ], sin( 2 x ? ) ? [? ,1] 6 6 6 6 2
, 即x ?

?

2

6

时, f ( x)取得最大值 3;

?
6

?

7? ? 3 ,即x ? 时 , f ( x)取得最小值 ? 6 2 2

12 分

18.解:设“中三等奖”为事件 A, “中奖”为事件 B,从四个小球中有放回的取两个共有(0,0) , (0,1) , (0,2) , (0,3) , (1,0) , (1,1) (1,2) , (1,3) , (2,0) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (3,0) , (3,1) , (3,2) , (3,3)16 种不同的结果 3分 (1)两个小球号码相加之和等于 4 的取法有 3 种: (1,3) , (2,2) , (3,1) 两个小球号相加之和等于 3 的取法有 4 种: (0,3) , (1,2) , (2,1) , (3,0) 4 分 由互斥事件的加法公式得 P ( A) ?

3 4 7 7 ? ? 即中三等奖的概率为 . 16 16 16 16

6分

(2)两个小球号码相加之和等于 3 的取法有 4 种;两个小球相加之和等于 4 的取法有 3 种; 两个小球号码相加之和等于 5 的取法有 2 种: (2,3) , (3,2) 两个小球号码相加之和等于 6 的取法有 1 种: (3,3) 9 分 由互斥事件的加法公式得 P( B) ?

1 2 3 4 5 5 ? ? ? ? . 即中奖的概率为 . 16 16 16 16 8 8 19.解法一(1)过点 E 作 EG ? CF 交 CF 于 G,

12 分

连结 DG,可得四边形 BCGE 为矩形, 又四边形 ABCD 为矩形, //

所以 AD=EG,从而四边形 ADGE 为平行四边形 故 AE//DG 4分 因为 AE ? 平面 DCF, DG ? 平面 DCF, 所以 AE//平面 DCF 6 分 (2)过点 B 作 BH ? EF 交 FE 的延长线于 H, 连结 AH,BH。 由平面 ABCD ? 平面BEFC, AB ? BC , 得 AB ? 平面 BEFC,从而 AH ? EF。 所以 ? AHB 为二面角 A—EF—C 的平面角 在 Rt?EFG中 ,因为EG ? AD ? 3, EF ? 2.

? ?GFE ? 60?, FG ? 1.
又因为? ?GEF ? 90?, 所以 CF=4,从而 BE=CG=3。

于是 BH ? BE ? sin ?BEH ? 在 RT ?AHB 中, AB ?

3 3 . 2

10 分

9 AB , 则 tan AHB ? ? 3, 2 BH

因为 0? ? ?AHB ? 180?, 所以 ?AHB ? 60?, 所以二面角 A ? EF ? C的大小为 60?. 解法二: (1)如图,以点 C 为坐标原点, 建立空间直角坐标系 C ? xyz 设 AB ? a, BE ? b, CF ? c, 则 C(0,0,0) A( 3,0, a), B( 3,0,0), E( 3, b,0) 12 分

F (0, c,0)

于是 AE ? (0, b,?a)

20. (Ⅰ)由 an?1 ? an ? 2 n ? 1 变形得: (an?1 ? 2n?1 ) ? (an ? 2n ? 2n?1 ) ? 1 即 (an ?1 ? 2
n ?1 n n?1 n )?? ? an ? 2 (2 ? 1) ? ? ? 1 所以 (an?1 ? 2 ) ? (an ? 2 ) ? 1 ………4 分

故数列 an ? 2 n 是以 a1 ? 2 ? 0 为首项, 1 为公差的等差数列………5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 an ? 2 ? n ? 1 ………6 分所以 bn ? log2 (an ? 1 ? n) ? n ……7 分
n

?

?

设 f ( n) ? ? ?1 ?

? ?

? 1 ?? 1 ?? 1? 1 ? ? ? 1? ? 1? ? ??? 1? ? ? ? ? ? ? b2 ?? b3 ?? b4 ? ? bn

? 1 ? ? ? n ? 1 ………………8 分 ?

则 f (n ? 1) ? ? ?1 ?

? ?

? 1 ?? 1 ?? 1? 1 ? ? ? 1? ? 1? ? ??? 1? ? ? ? ? ? ? b2 ?? b3 ?? b4 ? ? bn

?? 1 ? 1 ? ?? ?1 ? b ? ?? n ? 2 n ?1 ? ??

两式相除得:

f (n ? 1) ? 1 ? n ?1 n ? 2 n ?1 n?2 ? ?? 1? ? ? ? ? ? 1 ……10 分 ? ? f ( n) n ? 2 n ?1 n?2 n ?1 ? bn?1 ?
3 1 3 ? ? 2 2 3

所以 f ? n ? 是关于 n 的单调递增函数,则 f (n) min ? f (2) ?

故实数 k 的取值范围是 ? ? ?,

? ? ?

3? ? ………………12 分 2 ? ?

21.解: (1)依题意可设椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1 ,则右焦点 F( a 2 ? 1,0 )由题设 2 a
2

a2 ?1 ? 2 2 2

?3

解得 a ? 3

故所求椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 3

? y ? kx ? m ? 2 2 2 (2)设 P 为弦 MN 的中点,由 ? x 2 得 (3k ? 1) x ? 6mkx? 3(m ? 1) ? 0 2 ? ? y ?1 ?3
由于直线与椭圆有两个交点,? ? ? 0, 即 m ? 3k ? 1
2 2



? xp ?

xM ? x N 3m k ?? 2 2 3k ? 1

从而 y p ? kx p ? m ?

m 3k 2 ? 1

? k Ap ?

yp ?1 xp

??

m ? 3k 2 ? 1 3mk

又 AM ? AN ,? AP ? MN ,则

?

m ? 3k 2 ? 1 1 ?? 3m k k
2

即 2m ? 3k ? 1
2



把②代入①得 2m ? m

解得 0 ? m ? 2

由②得

k2 ?

2m ? 1 ? 0 解得 3

m?

1 1 .故所求 m 的取范围是( ,2 ) 2 2
2

22.解: (Ⅰ)解: f ?( x) ? x ? ax ? b .

?4 ? 2 a ? b ? a ?a ? ?1 x3 1 2 ? ? ?1 ? a ? b ? b ,解得: ? ? f ( x) ? ? x ? 3x ? 3 .…………6 分 3 2 ?b ? c ? ?3 ?b ? c ?
(Ⅱ)? f ?( x) ? 0 的两根为 ?、? ,? f ?( x) ? ( x ? y)(x ? ? ) .

?1 ? ? ? ? ? 2,? f ?(1) ? (1 ? ? )(1 ? ? ) ? 0, f ?(2) ? (2 ? ? )(2 ? ? ) ? 0 .

? f ?(1) ? f ?(2) ? (1 ? ? )(1 ? ? )(2 ? ? )(2 ? ? ) ? ?(? ? 1)(2 ? ? )?? ?( ? ? 1)(2 ? ? )?
y ?1? 2 ? y 2 ? ?1? 2 ? ? 2 1 ) ?( ) ? …………10 分 2 2 16 1 ? 0 ? f ?(1) ? f ?(2) ? .? f ?(1) ? 0, f ?(2) ? 0 , 16 1 1 ? 0 ? f ?(1) ? 或 0 ? f ?(2) ? . 4 4 1 ? 存在 n0 ? 1 或 n0 ? 2 使 f ?(n 0 ) ? 成立.……………14 分 4 ?(


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