2013届高三数学复习随堂训练(理科)湖南专版第55讲《变量的相关性与统计案例》人教A版必修3

课时作业(五十五) [第 55 讲 变量的相关性与统计案例]

[时间:45 分钟 分值:100 分]

基础热身 1.[2011·广东六校联考] 有五组变量: ①汽车的重量和汽车每消耗 1 升汽油所行驶的平均路程; ②平均日学习时间和平均学习成绩; ③某人每日吸烟量和身体健康情况; ④圆的半径与面积; ⑤汽车的重量和每千米耗油量. 其中两个变量成正相关的是( ) A.①③ B.②④ C.②⑤ D.④⑤ 2.[2011·丰台二模] 已知 x,y 的取值如下表,从散点图可以看出 y 与 x 线性相关, 且回归方程为^y=0.95x+a,则 a=( )

x0 1 3 4

y

2 .2

4 .3

4 .8

6 .7

A.3.25 B.2.6 C.2.2 D.0

3.[2011·大连双基检测] 为了考察两个变量 x、y 之间的线性相关关系,甲、乙两同

学各自独立地做 10 次和 15 次试验,并利用最小二乘法求得回归直线分别为 l1 和 l2.已知在 两人的试验中发现变量 x 的观测数据的平均值恰好都为 s,变量 y 的观测数据的平均值恰

好都为 t,那么下列说法中正确的是( )

A.直线 l1,l2 有公共点(s,t) B.直线 l1,l2 相交,但是公共点未必是(s,t) C.由于斜率相等,所以直线 l1,l2 必定平行 D.直线 l1,l2 必定重合 4.[2011·新余二模] 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对该班 50 名学

生进行了问卷调查,得到了如下的 2×2 列联表:

喜爱打

不喜爱打



篮球

篮球







20

5

25





10

15

25





30

20

50

则至少有________的把握认为喜爱打篮球与性别有关.(请用百分数表示) 附:K2=?a+b??cn+?add-??ab+c?c2??b+d?

P(K2>k)

0.1 0

0.0

0.0

0.0

0.0

5

25

10

05

0.001

k

2.7

3.8

5.0

6.6

7.8

06

41

24

35

79

10.828

能力提升

5.观察下列散点图,则①正相关;②负相关;③不相关,它们的排列顺序与图形相 对应的是( )

图 K55-1 A.a—①,b-②,c-③ B.a-②,b-③,c-① C.a-②,b-①,c-③ D.a-①,b-③,c-② 6.对于给定的两个变量的统计数据,下列说法正确的是( ) A.都可以分析出两个变量的关系 B.都可以用一条直线近似地表示两者的关系 C.都可以作出散点图 D.都可以用确定的表达式表示两者的关系 7.[2011·江西卷] 为了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取 5 对父子身高数 据如下

父亲身高 x(cm)

1 74

1 76

1 76

1 76

1 78

儿子身高 y(cm)

1 75

1 75

1 76

1 77

1 77

则 y 对 x 的线性回归方程为( )

A.y=x-1 B.y=x+1

C.y=88+12x D.y=176

8.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,下列说法正确的是( )

A.若 K2 的观测值为 k=6.635,我们有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系,那么

在 100 个吸烟的人中必有 99 人患有肺病

B.从独立性检验可知,有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关时,我们说某人吸烟,

那么他有 99%的可能患有肺病

C.若从统计量中求出有 95%的把握认为吸烟与患肺病有关系,是指有 5%的可能性

使得推断出现错误

D.以上三种说法都不正确

9.[2011·枣庄二模] 某单位为了了解用电量 y(kW·h)与气温 x(℃)之间的关系,随机

统计了某 4 天的用电量与当天气温,并制作了对照表.由表中数据得线性回归方程^y=-

2x+a,预测当气温为-4℃时,用电量约为( )

气温 x(℃)

111- 830 1

用电量 y(kW·h)

233 448

6 4

A.68 kW·h B.67 kW·h

C.66 kW·h D.65 kW·h

10.[2010·广东卷] 市居民 2005~2009 年家庭年平均收入 x(单位:万元)与年平均支

出 y(单位:万元)的统计资料如下表所示:



20

20

20

20

20



05

06

07

08

09

收 入x

11

12

.5

.1

13

13 .3

15

支 出y

6.

8.

9.

8

8

8

10

12

根据统计资料,居民家庭平均收入的中位数是________,家庭年平均收入与年平均

支出有________线性相关关系.

11.[2011·辽宁卷] 调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位:万元)和年饮食支出 y(单

位:万元),调查显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系,并由调查数据得到 y

对 x 的回归直线方程:y^=0.254x+0.321.由回归直线方程可知,家庭年收入每增加 1 万

元,年饮食支出平均增加________万元.

12.[2011·九江六校三联] 假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y(万

元),有如下的统计资料:

x2 3 4 5 6

y

2 .2

3 .8

5 .5

6 .5

7 .0

若由资料可知 y 对 x 呈线性相关关系,且线性回归方程为y^=a+bx,其中已知 b=

1.23,请估计使用年限为 20 年时,维修费用约为________.

13.某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用,把 500 名使用血清的人与另 外 500 名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较,提出假设 H0:“这种血清不能起到 预防感冒的作用”,利用 2×2 列联表计算得 K2≈3.918,经查临界值表知 P(K2≥3.841)≈0.05.则下列结论中,正确结论的序号是________.
①有 95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”; ②若某人未使用该血清,那么他在一年中有 95%的可能性得感冒; ③这种血清预防感冒的有效率为 95%; ④这种血清预防感冒的有效率为 5%.

14.(10 分)某种产品的广告费用支出 x 万元与销售额 y 万元之间有如下的对应数据:

x2 4 5 6 8

y

2 0

3 0

5 0

5 0

7 0

(1)画出上表数据的散点图;

(2)根据上表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程;

(3)据此估计广告费用为 10 万元时,所得的销售收入.

5

5

(参考数值:?x2i =145,?xiyi=1270)

i=1

i=1

15.(13 分)[2011·巢湖质检] 地震、海啸、洪水、森林大火等自然灾害频繁出现, 紧急避险常识越来越引起人们的重视.某校为了了解学生对紧急避险常识的了解情况, 从七年级和八年级各选取 100 名同学进行紧急避险常识知识竞赛.图 K55-2(1)和图 K55

-2(2)分别是对七年级和八年级参加竞赛的学生成绩按[40,50),[50,60),[60,70),[70,80] 分组,得到的频率分布直方图.

图 K55-2

(1)分别计算参加这次知识竞赛的两个年级学生的平均成绩;(注:统计方法中,同一

组数据常用该组区间的中点值作为代表)

(2)完成下面 2×2 列联表,并回答是否有 99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险

常识的了解有差异”?

成绩小于 60 分人

成绩不小于 60 分人









七年



八年



合计

附:K2=?a+b??cn+?add-??ab+c?c2??b+d?.临界值表:

P(K2≥k)

0.1 0

0.0

0.0

5

10

k

2.7

3.8

6.6

06

41

35

难点突破
16.(12 分)[2011·揭阳一模] 某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情 况,随即在这两条流水线上各抽取 40 件产品作为样本称出它们的重量(单位:g),重量值 落在(495,510]的产品为合格品,否则为不合格品.下表是甲流水线样本频数分布表,图 K55-3 是乙流水线样本的频率分布直方图.

产品重量(g)

频 数

[490,495]

6

(495,500]

8

(500,505]

14

(505,510]

8

(510,515]

4

图 K55-3 (1)根据上表数据作出甲流水线样本的频率分布直方图; (2)若以频率作为概率,试估计从甲、乙两条流水线分别任取 1 件产品,该产品恰好 是合格品的概率分别是多少?

(3)由以上统计数据完成下面 2×2 列联表,并回答有多大的把握认为“产品的包装质 量与两条自动包装流水线的选择有关”.

甲流水

乙流水



线

线



合格品

不合格



合计

附:下面的临界值表供参考:

P(K2≥k)

0.1

0.1

0.0

0.0

0.0

0.0

5

0

5

25

10

05

0.00 1

k

2.0

2.7

3.8

5.0

6.6

7.8

72

06

41

24

35

79

参考公式:K2=?a+b??cn+?add-??ab+c?c2??b+d?,其中 n=a+b+c+d

10.8 28

课时作业(五十五) 【基础热身】 1.C [解析] 由变量的相关关系的概念知,②⑤是正相关,①③是负相关,④为函 数关系,故选 C.
2.B [解析] x =2, y =4.5,因为回归方程经过点( x , y ),所以 a=4.5-
0.95×2=2.6,故选 B. 3.A [解析] 因为甲、乙两组观测数据的平均值都是(s,t),则由最小二乘法知线
性回归直线方程为^y=bx+a,而 a= y -b x ,(s,t)在直线 l1,l2 上,故选 A.
4.99.5% [解析] K2=?a+b??cn+?add-??ab+c?c2??b+d?=502?52×0×251×5-305××2100?2= 8.333>7.879,则至少有 99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关.
【能力提升】 5.D [解析] 变量的相关性的图形表示法,在相关变量中,图 a 从左下角到右上角 是正相关,图 c 从左上角到右下角是负相关,图 b 的点分布不规则是不相关,故选 D. 6.C [解析] 给出一组样本数据,总可以作出相应的散点图,但不一定能分析出两 个变量的关系,更不一定符合线性相关或函数关系,故选 C.
7.C [解析] 由表中数据知回归直线是上升的,首先排除 D. x =176, y =176,
由线性回归性质知:点( x , y )=(176,176)一定在回归直线上,代入各选项检验,只有
C 符合,故选 C. 8.C [解析] 根据独立性检验的思想知,某人吸烟,只能说其患肺病的可能性较
大,有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系,但并没有理由认为吸烟者有 99%的可能患 肺病,故选 C.
9.A [解析] 由表中数据,得 x =14(18+13+10-1)=10, y =14(24+34+38+64) =40,
因为点( x , y )在回归直线上,则 40=-2×10+a,a=60,
当 x=-4 时,^y=-2×(-4)+60=68,故选 A. 10.13 正 [解析] 本题考查了统计中的线性相关关系、中位数等知识点,该知识 点在高考考纲中是 A 级要求. 11.0.254 [解析] 由题意得^y2-^y1=[0.254(x+1)+0.321]-[0.254x+0.321]=0.254, 即家庭年收入每增加 1 万元,年饮食支出平均增加 0.254 万元.
12.24.68 万元 [解析] 易求得( x , y )=(4,5),所以 a= y -b x =5-1.23×4=
0.08, 所以y^=0.08+1.23x, 当 x=20 时,维修费用约为 0.08+1.23×20=24.68. 13.① [解析] K2≈3.918>3.841,而 P(K2≥3.841)≈0.05,所以有 95%的把握认为
“这种血清能起到预防感冒的作用”;但检验的是假设是否成立和该血清预防感冒的有 效率是没有关系的,不是同一个问题,不要混淆,正确序号为①.
14.[解答] (1)散点图如图所示:

(2) x =2+4+55+6+8=5, y =20+30+550+50+70=44,
5
?xi2 = 22 + 42 + 52 + 62 + 82 = 145,
i=1

5
?xiyi=2×20+4×30+5×50+6×50+8×70=1 270,
i=1

5
?xi yi -5 x y
i=1
b=
5
?x2i -5 x 2
i=1



1270-5×5×44 145-5×25



8.5,

a=-y -b x =44-8.5×5=1.5,
因此回归直线方程为 y=8.5x+1.5. (3)当 x=10 时,y=8.5×10+1.5=86.5. 15.[解答] (1)七年级学生竞赛平均成绩为 (45×30+55×40+65×20+75×10)÷100=56(分), 八年级学生竞赛平均成绩为 (45×15+55×35+65×35+75×15)÷100=60(分). (2)2×2 列联表如下:

成绩小于 60 分人 数

成绩不小于 60 分人数

合 计

七年



70

30

10 0

八年



50

50

10 0

合计

120

80

20 0

∴K2=20100×0×?501×003×0-12500××8700?2≈8.333>6.635,

∴有 99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异”.

【难点突破】

16.[解答] (1)甲流水线样本的频率分布直方图如下:

(2)由表知甲样本中合格品数为 8+14+8=30,由题中图知乙样本中合格品数为 (0.06+0.09+0.03)×5×40=36, 故甲样本合格品的频率为3400=0.75,
乙样本合格品的频率为3460=0.9, 据此可估计从甲流水线任取 1 件产品,该产品恰好是合格品的概率为 0.75, 从乙流水线任取 1 件产品,该产品恰好是合格品的概率为 0.9. (3)2×2 列联表如下:

甲流水

乙流水



线

线



合格品

30

36

66

不合格



10

4

14

合计

40

40

80

∵K2=?a+b??cn+?add-??ab+c?c2??b+d?=6860××1?142×0-403×604?02≈3.117>2.706.

∴有 90%的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关.


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