初升高衔接教材数与式的运算


第二讲 因式分解
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形, 它与整式乘法是相反方向的变形. 在分式运 算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用.是一种重要的基本技能. 因式分解的方法较多,除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完 全平方公式)外,还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等.

一、公式法(立方和、立方差公式)
在第一讲里,我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式:

(a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ? a3 ? b3 (立方和公式) (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ? a3 ? b3 (立方差公式)
由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形,所以把整式乘法公式反过来写,就得到:

a3 ? b3 ? (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) a3 ? b3 ? (a ? b)(a2 ? ab ? b2 )
这就是说,两个数的立方和(差),等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的 差(和). 运用这两个公式,可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解. 【例 1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式: (1) 8 ? x
3

(2) 0.125 ? 27b

3

【例 2】分解因式: (1) 3a b ? 81b
3 4

(2) a ? ab
7

6

1

二、分组分解法
从前面可以看出,能够直接运用公式法分解的多项式,主要是二项式和三项式.而对于 四项以上的多项式, 如 ma ? mb ? na ? nb 既没有公式可用, 也没有公因式可以提取. 因此, 可以先将多项式分组处理. 这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法. 分组分解法的 关键在于如何分组. 1.分组后能提取公因式 【例 3】把 2ax ? 10ay ? 5by ? bx 分解因式.

【例 4】把 ab(c ? d ) ? (a ? b )cd 分解因式.
2 2 2 2

2.分组后能直接运用公式 【例 5】把 x ? y ? ax ? ay 分解因式.
2 2

【例 6】把 2x ? 4xy ? 2 y ? 8z 分解因式.
2 2 2

2

三、十字相乘法
1. x2 ? ( p ? q) x ? pq 型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现,其特点是: (1) 二次项系数是 1;(2) 常数项是两个数之积;(3) 一次项系数是常数项的两个因数 之和.

x2 ? ( p ? q) x ? pq ? x2 ? px ? qx ? pq ? x( x ? p) ? q( x ? p) ? ( x ? p)( x ? q)
因此, x2 ? ( p ? q) x ? pq ? ( x ? p)( x ? q) 运用这个公式,可以把某些二次项系数为 1 的二次三项式分解因式. 【例 7】把下列各式因式分解: (1) x ? 7 x ? 6
2

(2) x ? 13x ? 36
2

【例 8】把下列各式因式分解: (1) x ? 5 x ? 24
2

(2) x ? 2 x ? 15
2

【例 9】把下列各式因式分解: (1) x ? xy ? 6 y
2 2

(2) ( x ? x) ? 8( x ? x) ? 12
2 2 2

3

2.一般二次三项式 ax ? bx ? c 型的因式分解
2

大家知道, (a1 x ? c1 )(a2 x ? c2 ) ? a1a2 x2 ? (a1c2 ? a2 c1 ) x ? c1c2 . 反过来,就得到: a1a2 x 2 ? (a1c2 ? a2c1 )x ? c1c2 ? (a1x ? c1 )(a2 x ? c2 ) 【例 10】把下列各式因式分解: (1) 12 x ? 5x ? 2
2

(2) 5x2 ? 6 xy ? 8 y 2



四、其它因式分解的方法
1.配方法 【例 11】分解因式 x ? 6 x ? 16
2

2.拆、添项法 【例 12】分解因式 x ? 3x ? 4
3 2

4

练 A
1.把下列各式分解因式: (1) a ? 27
3

习 组

(2) 8 ? m

3

(3) ?27 x ? 8
3

(4) ?

1 3 1 3 p ? q 8 64

(5) 8 x y ?
3 3

1 125

(6)

1 3 3 1 3 x y ? c 216 27

2.把下列各式分解因式: (1) xy ? x
3 4

(2) x

n ?3

? xn y3

(3) a (m ? n) ? a b
2 3

2 3

(4) y ( x ? 2 x) ? y
2 2 3

2

3.把下列各式分解因式: (1) x ? 3x ? 2
2

(2) x ? 37 x ? 36
2

(3) x ? 11x ? 26
2

5

(4) x ? 6 x ? 27
2

(5) m ? 4mn ? 5n
2

2

(6) (a ? b)2 ? 11(a ? b) ? 28

4.把下列各式分解因式: (1) ax ? 10ax ? 16ax
5 4 3

(2) a

n?2

? a n?1b ? 6a n b2 (3) ( x2 ? 2 x)2 ? 9

(4) x ? 7 x ? 18
4 2

(5) 6 x ? 7 x ? 3
2

(6) 8x2 ? 26 xy ? 15 y 2

(7) 7(a ? b) ? 5(a ? b) ? 2
2

(8) (6x ? 7 x) ? 25
2 2

5.把下列各式分解因式: (1) 3ax ? 3ay ? xy ? y
2 2 (2) 8 x ? 4 x ? 2 x ? 1 (3) 5x ? 15x ? 2 xy ? 6 y
3 2

6

(4) 4a ? 20ab ? 25b ? 36
2 2

(5) 4 xy ? 1 ? 4 x2 ? y 2

(6) a b ? a b ? a b ? ab
4 3 2 2 2

4

(7) x6 ? y 6 ? 2x3 ? 1

(8) x2 ( x ? 1) ? y( xy ? x)

B
1.把下列各式分解因式: (1) ab(c2 ? d 2 ) ? cd (a2 ? b2 )



(2) x ? 4mx ? 8mn ? 4n
2

2

(3) x ? 64
4

(4) x ? 11x ? 31x ? 21
3 2

(5) x ? 4 xy ? 2 x y ? 8 y
3 2 2

3

2.已知 a ? b ?

2 , ab ? 2 ,求代数式 a 2 b ? 2a 2 b2 ? ab2 的值. 3

7

3.证明:当 n 为大于 2 的整数时, n ? 5n ? 4n 能被 120 整除.
5 3

3 2 2 3 4.已知 a ? b ? c ? 0 ,求证: a ? a c ? b c ? abc ? b ? 0 .

8


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