导数讲义练习

导数及其应用
一. 【知识梳理】
1.概念:函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x 0 处有增量 ?x ,那么函数 y 相应地有增量 ?y =f (x 0 + ?x )-f(x 0 ) ,比 值

?y 叫 做 函 数 y=f ( x ) 在 x ?x

0

到 x

0

+ ?x 之 间 的 平 均 变 化 率 , 即

? y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) = .如果当 ?x ? 0 ?x ?x
时,

?y 有极限,我们就说函数 y=f(x)在点 x 0 处可导,并把这个极限叫做 f(x) ?x
在点 x 0 处的导数,记作

f’ (x 0 )或 y’| x ? x0 .即 f(x 0 )= lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y = lim . ? x ? 0 ?x ?x

2. 几何意义:函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y=f(x)在点 p(x 0 ,f (x 0 ) )处的切线的斜率. 3.导数的运算: ●常见基本初等函数的导数公式:

C ? ? 0 ( C 为常数); ( xn )? ? nxn?1 ; (sin x)? ? cos x ; (cos x)? ? ? sin x ;

(e x )? ? e x ;(a x )? ? a x ln a( a ? 0 且 a ? 1) ;(ln x )? ?
且 a ? 1) . ●常用导数运算公式: 法则 1: ?u ( x) ? v( x)?? ? u?( x) ? v?( x) . 法则 2: ?u( x) ? v( x)?? ? u?( x) ? v( x) ? u ( x) ? v?( x) . 法则 3: ?

1 1 ;(log a x)? ? log a e( a ? 0 x x

? u ( x) ?? u?( x) ? v( x) ? u ( x) ? v?( x) (v( x) ? 0) . ? ? v 2 ( x) ? v( x) ?

4.导数的应用: ●导数与切线的关系; ●导数与函数的单调性的关系; ●用导数求极大值、极小值;

●用导数求最大值、最小值. 题型 1:定义 例 1. 已知曲线 y ? 点 Q 的坐标是 ( A. (1 ? ?x, (?x)2 )
1 (?x, (1 ? ?x)2 ) 4
1 2 1 x 和这条曲线上的一点 P (1, ) ,点 Q 是曲线上的点 P 附近的一点,则 4 4

)
1 B. (?x, (?x) 2 ) 4 1 C. (1 ? ?x, (1 ? ?x)2 ) 4

D.

例 2. 设函数 f ( x) 在点 x 0 处附近有定义,且 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? a?x ? b(?x)2 (ab 为常数) ,则

(

)
A. f ' ( x) ? a B. f ' ( x) ? b C. f ' ( x0 ) ? a D.

f ' ( x0 ) ? b

例 3. 设 f ( x) 在点 x 0 处可导,且 f ' ( x0 ) ? A ,求下列各值。 (1) lim
?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

(2) lim

?x ?0

f ( x0 ? 4?x) ? f ( x0 ? 5?x) ?x

练习 1. 设 f ( x) 在点 x 0 处可导,且 f ' ( x0 ) ? A ,求下列各值。 (1) lim
?x ?0

f ( x0 ? m?x) ? f ( x0 ) 2 ? ?x

(2) lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ? 3?x) ?x

练习 2. 设函数 f ( x) 在 x ? x0 处可导,且 lim

?x ?0

f ( x0 ? 3?x) ? f ( x0 ) ? 1, 则 f ' ( x0 ) = ?x
x ?a

练习 3. 已知函数 y ? f ( x) 在 x ? a 处可导,且 f ' (a) ? A .试求 lim 练习 4. 设函数 f ( x) 在 x ? a 处可导,且 f ' (a) ? A ,则 lim
h ?0

f (2 x ? a) ? f (2a ? x) = x?a

f (a ? h 2 ) ? f (a) = h

题型 2:导数的运算 1.求下列函数的导数:

( 1 ) y ? x3 ? sin x

( 2 ) y ? 2 x 3 ? 3x 2 ? 5 x ? 4

( 3)

y ? x2 cos x

( 4)

y?

sin x x

题型 2:导数与切线的关系 利用导数求曲线的切线方程的步骤: ①求出 y ? f ?x ? 在 x0 处的导数 f ??x0 ? ; ②利用直线方程的点斜式得切线方程为 y ? y0 ? f ??x0 ??x ? x0 ? 1 函数 f(x)在 R 上可导,且 f′(0)=2.?x,y∈R,若函数 f(x+y)=f(x)f(y)成立,则 f(0)= ________. 题型 3:导数与单调性的关系 利用导数确定函数的单调性的步骤: (1) 确定函数 f(x)的定义域; (2) 求出函数的导数; (3) 解不等式 f ?(x)>0, 得函数的单调递增区间; 解不等式 f ?(x)<0, 得函数的单调递减区间. 注: 若 f ?(x)>0,则函数单调递增;若 f ?(x)<0,则函数单调递减. 若函数单调递增,则 f ( x) ? 0 ;若函数单调递减,则 f ( x) ? 0 .
' '

1. 函数 f ( x) ? ? A. f (a) ? f (b) 能确定

x ( a ? b ? 1) ,则 ( ex
B. f (a) ? f (b)

) C. f (a) ? f (b) D. f (a), f (b) 大小关系不

2.设函数 y=f(x)在(a,b)上可导,则 f(x)在(a,b)上为增函数是 f′(x)>0 的( A.必要不充分条件 C.充分必要条件 题型 4:导数与极大(小)值 一般地,当函数 f(x)在点 x 0 处连续时,判别 f( x 0 )是极大(小)值的方法是: ⑴如果在 x0 附近的左侧 f '(x)>0,右侧 f '(x)<0,那么 f(x0)是极大值; ⑵如果在 x0 附近的左侧 f '(x)<0,右侧 f '(x)>0,那么 f(x0)是极小值; 注意:导数为 0 的点不一定是极值点. B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

)

1.函数 y ? f ( x) 在一点的导数值为 0 是函数 y ? f ( x) 在这点取极值的( A.充分条件 C.充要条件 B.必要条件 D.必要非充分条件 . )



2. 函数 f ?x ? ? ax3 ? x ? 1 有极值的充要条件是

3.已知函数 y ? x3 ? 3x ? c 的图像与 x 轴恰有两个公共点,则 c ? ( A. ?2 或 2
3 2

B. ? 9 或 3

C. ?1 或 1

D. ? 3 或 1

4.求函数 y = x - 3x - 9x (- 2 < x < 2)的极值. 4

5 若函数 f(x)=ax3-bx+4,当 x=2 时,函数 f(x)有极值-3.
(1)求函数的解析式. (2)若方程 f(x)=k 有 3 个不同的根,求实数 k 的取值范围.

题型 5:导数与最大(小)值 1.求函数 y ? x ? 4 x ? 3 在区间 ? ?2,3? 上的最大值和最小值.
4

导数解答题综合题(前两问多为以上题型,最后一问综合) 1.已知函数 f ( x) ?

1 2 1 x ? x ? ln( x ? a ) ,其中常数 a ? 0. 4 a

(I)若 f ( x)在x ? 1 处取得极值,求 a 的值; (II)求 f ( x) 的单调递增区间;

2.(2013 福建, 17)(本小题满分 13 分)已知函数 f(x)=x-aln x(a∈R). (1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1))处的切线方程; (2)求函数 f(x)的极值.

3.已知函数 f ( x) ?

ax 2 的图象在点(2,f(2))处的切线方程为 y = 2 . 2x ? b

( I )求 a,b 的值及 f(x)的单调区间; (II)是否存在平行于直线 y =

1 x 且与曲线 y=f(x)没有公共点的直线?证明你的结论; 2

4 已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 在 x=-1 与 x=2 处都取得极值. (1)求 a,b 的值及函数 f(x)的单调区间; 3 (2)若对 x∈[-2,3],不等式 f(x)+ c<c2 恒成立,求 c 的取值范围. 2

2 5 已知二次函数 h( x) ? ax ? bx ? c(c ? 3) ,其导函数 y ? h' ( x) 的图象如图,

f ( x) ? 6 ln x ? h( x) .
(1)求函数 f ( x)在x ? 3 处的切线斜率;

(2)若函数 f ( x)在区间 (n, m ? ) 上是单调函数,求实数 m 的取值范围; (3)若对任意 k ? [?1,1],函数y ? kx, x ? [0,6] 的图像总在函数 y ? f ( x) 图象的上方, 求 c 的取值范围.

1 2

导数强化
1.函数 f(x)在 R 上可导,且 f′(0)=2.?x,y∈R,若函数 f(x+y)=f(x)f(y)成立,则 f(0)= ________.

2.函数 y ? f ( x) 在一点的导数值为 0 是函数 y ? f ( x) 在这点取极值的( A.充分条件 C.充要条件 B.必要条件 D.必要非充分条件



3 若 a ? 0, b ? 0 , 且函数 f ( x) ? 4 x3 ? ax2 ? 2bx ? 2 在 x ? 1 处有极值, 则 ab 的最大值等于 A. 2

B. 3

C. 6

D. 9

.设 f(x),g(x)是定义在[a,b]上的可导函数,且 f′(x)>g′(x),令 F(x)=f(x)-g(x),则 F(x) 在[a,b]上的最大值为________. .已知 f(x)=x2+2xf′(1),则 f′(0)等于________.

4.(12 分)设函数 f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax(a∈R). (1)当 a=1 时,求证:f(x)为 R 上的单调递增函数; (2)当 x∈[1,3]时,若 f(x)的最小值为 4,求实数 a 的值.

a 5.设函数 f(x)= x3+bx2+cx+d(a>0),且方程 f′(x)-9x=0 的两根分别为 1,4. 3 (1)当 a=3,且曲线 y=f(x)过原点时,求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)在(-∞,+∞)内无极值点,求 a 的取值范围.

6.(12 分)已知函数 f(x)=ax3+bx2 的图像经过点 M(1,4),曲线在点 M 处的切线恰好与直线 x +9y=0 垂直. (1)求实数 a,b 的值; (2)若函数 f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,求 m 的取值范围.

7 易错题函数 f(x) =x +ax +bx ? a 在 x=1 处有极值 10,求 a,b
3 2

2

8 已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 在 x=-1 与 x=2 处都取得极值. (1)求 a,b 的值及函数 f(x)的单调区间; 3 (2)若对 x∈[-2,3],不等式 f(x)+ c<c2 恒成立,求 c 的取值范围. 2

9 若函数 y= f ( x) 在 R 上可导且满足不等式 x f ?( x) >- f ( x) 恒成立, 且常数 a, b 满足 a>b, 求证: .a f ( a ) >b


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