高中数学一轮复习立体几何填空题_图文

一轮复习立体几何填空题
一.填空题(共 23 小题) 1. 已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上, 且 AB=6, BC=2

, 则棱锥 O﹣ABCD 的体积为



2. 已知正四棱锥 O﹣ABCD 的体积为

, 底面边长为

, 则以 O 为球心, OA 为半径的球的表面积为



3.已知 OA 为球 O 的半径,过 OA 的中点 M 且垂直于 OA 的平面截球面得到圆 M.若圆 M 的面积为 3π,则球 O 的 表面积等于 .

4.如图,在三棱柱 A1B1C1﹣ABC 中,D,E,F 分别是 AB,AC,AA1 的中点,设三棱锥 F﹣ADE 的体积为 V1,三 棱柱 A1B1C1﹣ABC 的体积为 V2,则 V1:V2= .

5.已知圆柱 M 的底面圆的半径与球 O 的半径相同,若圆柱 M 与球 O 的表面积相等,则它们的体积之比 V 圆柱:V 球= (用数值作答) . 6.如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,若 E、F 分别为 AB、AC 的中点,平面 EB1C1F 将三棱柱分成体积为 V1、V2 的两 部分,那么 V1:V2= .

7.如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分别为线段 AA1,B1C 上的点,则三棱锥 D1﹣EDF 的体积 为 .

8.在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=2,AA1=3,点 M,N 在棱 CC1,BB1 上,且 CM=B1N,则四棱锥 A﹣BCMN 的体积为 .

10.若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为 ,则这个圆锥的侧面积是 . 12.一个水平放置的四边形的斜二侧直观图是一个底角是 45°,腰和上底的长均为 1 的等腰梯形,那么原四边形的面积 是 . 13.在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠BAD=60°,侧棱 PA⊥底面 ABCD,PA=2,E 为 AB 的 中点,则四面体 P﹣BCE 的体积为 .

15.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为



16.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形 ABCD,如图所示,∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,这 个平面图形的面积为 .

17.某空间几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则其体积是

cm ,表面积是

3

cm .

2

19.一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为



20. 如图, 已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的内切球, 则平面 ACD1 截球 O 的截面面积为



21.将某个圆锥沿着母线和底面圆周剪开后展开,所得的平面图是一个圆和扇形,己知该扇形的半径为 24cm,圆心角 为 ,则圆锥的体积是 cm .
3

22.若一个底面边长为

,棱长为

的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上,则此球的体积为



23.一平面截一球得到直径是 6cm 的圆面,球心到这个平面的距离是 4cm,则该球的体积是

cm .

3

一轮复习立体几何填空题
参考答案与试题解析

一.填空题(共 23 小题) 1. (2011?河北)已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB=6,BC=2 积为 8 .

,则棱锥 O﹣ABCD 的体

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 由题意求出矩形的对角线的长,结合球的半径,球心到矩形的距离,满足勾股定理,求出棱锥的高,即可求出 棱锥的体积. 解答: 解:矩形的对角线的长为: ,所以球心到矩形的距离为: =2(矩形
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的对角线为矩形所在截面圆的直径), 所以棱锥 O﹣ABCD 的体积为: =8 .

故答案为:8 点评: 本题是基础题,考查球内几何体的体积的计算,考查计算能力,空间想象能力,常考题型.

2. (2013?黑龙江)已知正四棱锥 O﹣ABCD 的体积为 积为 24π .

,底面边长为

,则以 O 为球心,OA 为半径的球的表面

考点: 球的体积和表面积;棱锥的结构特征. 专题: 压轴题;空间位置关系与距离. 分析: 先直接利用锥体的体积公式即可求得正四棱锥 O﹣ABCD 的高, 再利用直角三角形求出正四棱锥 O﹣ABCD 的 侧棱长 OA,最后根据球的表面积公式计算即得. 解答: 解:如图,正四棱锥 O﹣ABCD 的体积 V= sh= ( × )×OH= ,
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∴OH=



在直角三角形 OAH 中,OA= 所以表面积为 4πr =24π; 故答案为:24π.
2

=

=

点评: 本题考查锥体的体积、球的表面积计算,考查学生的运算能力,属基础题. 3. (2015?文昌校级模拟)已知 OA 为球 O 的半径,过 OA 的中点 M 且垂直于 OA 的平面截球面得到圆 M.若圆 M 的 面积为 3π,则球 O 的表面积等于 16π .

考点: 专题: 分析: 解答:

球的体积和表面积. 计算题;压轴题. 由题意求出圆 M 的半径,设出球的半径,二者与 OM 构成直角三角形,求出球的半径,然后可求球的表面积.
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解:∵圆 M 的面积为 3π,∴圆 M 的半径 r= 设球的半径为 R, 由图可知,R = R +3,∴ R =3,∴R =4.
2 2 2 2



∴S 球=4πR =16π. 故答案为:16π 点评: 本题是基础题,考查球的体积、表面积的计算,理解并能够应用小圆的半径、球的半径、以及球心与圆心的连 线的关系,是本题的突破口,解题重点所在,仔细体会. 4. (2013?江苏)如图,在三棱柱 A1B1C1﹣ABC 中,D,E,F 分别是 AB,AC,AA1 的中点,设三棱锥 F﹣ADE 的体 积为 V1,三棱柱 A1B1C1﹣ABC 的体积为 V2,则 V1:V2= 1:24 .

2

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 立体几何. 分析: 由三角形的相似比等于面积比的平方得到棱锥和棱柱的底面积的比值,由题意棱柱的高是棱锥的高的 2 倍,然 后直接由体积公式可得比值. 解答: 解:因为 D,E,分别是 AB,AC 的中点,所以 S△ ADE:S△ ABC=1:4, 又 F 是 AA1 的中点,所以 A1 到底面的距离 H 为 F 到底面距离 h 的 2 倍. 即三棱柱 A1B1C1﹣ABC 的高是三棱锥 F﹣ADE 高的 2 倍.
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所以 V1:V2=

=1:24.

故答案为 1:24. 点评: 本题考查了棱柱和棱锥的体积公式,考查了相似多边形的面积的比等于相似比的平方,是基础的计算题. 5. (2015?上海模拟)已知圆柱 M 的底面圆的半径与球 O 的半径相同,若圆柱 M 与球 O 的表面积相等,则它们的体积 之比 V 圆柱:V 球= (用数值作答) .

考点: 球的体积和表面积. 分析: 由已知中圆柱 M 的底面圆的半径与球 O 的半径相同,若圆柱 M 与球 O 的表面积相等,我们易求出圆柱的高
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与圆柱底面半径的关系,进而求出圆柱和球的体积后,即可得到 V 圆柱:V 球的值. 解答: 解:∵设圆柱 M 的底面圆的半径与球 O 的半径均为 R,M 的高为 h 则球的表面积 S 球=4πR 又∵圆柱 M 与球 O 的表面积相等 即 4πR =2πR +2πR?h 解得 h=R 则 V 圆柱=πR ,V 球= ∴V 圆柱:V 球= 故答案为: 点评: 本题考查的知识点是球的体积和表面积,圆柱的体积和表面积,其中根据已知求出圆柱的高,是解答本题的关 键. 6. (2014 春?龙海市校级期末)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,若 E、F 分别为 AB、AC 的中点,平面 EB1C1F 将三 棱柱分成体积为 V1、V2 的两部分,那么 V1:V2= .
3 2 2 2

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 设 AEF 面积为 s1,ABC 和 A1B1C1 的面积为 s,三棱柱高位 h;VAEF﹣A1B1C1=V1;VBCFE﹣B1C1=V2;总体积为: V,根据棱台体积公式求 V1;V2=V﹣V1 以及面积关系,求出体积之比. 解答: 解:由题:设 AEF 面积为 s1,ABC 和 A1B1C1 的面积为 s,三棱柱高位 h;VAEF﹣A1B1C1=V1; VBCFE﹣B1C1=V2;总体积为:V 计算体积:
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V1= h(s1+s+ V=sh ② V2=V﹣V1③

)①

由题意可知,s1= ④

根据①②③④解方程可得:V1= 故答案为:

sh,V2=

sh;则

点评: 本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积,考查计算能力,转化思想,考查空间想象能力,是基础题. 7. (2012?山东)如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分别为线段 AA1,B1C 上的点,则三棱锥 D1﹣EDF 的体积为 .

考点: 专题: 分析: 解答:

棱柱、棱锥、棱台的体积;棱柱的结构特征. 空间位置关系与距离;立体几何.

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将三棱锥 D1﹣EDF 选择△ D1ED 为底面,F 为顶点,进行等体积转化 V D1﹣EDF=V F﹣D1ED 后体积易求. 解:将三棱锥 D1﹣EDF 选择△ D1ED 为底面,F 为顶点,则 其(1/2 底乘以高) 所以 故答案为: = × ×1= S = = ,

= ,F 到底面 D1ED 的距离等于棱长 1,

点评: 本题考查了三棱柱体积的计算,等体积转化法是常常需要优先考虑的策略. 8. (2014?常州模拟)在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=2,AA1=3,点 M,N 在棱 CC1,BB1 上,且 CM=B1N,则四 棱锥 A﹣BCMN 的体积为 .

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据几何体得出 解答: 解:∵CM=B1N,

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,运用体积公式求解即可.

∴ ∴

, .

故答案为: . 点评: 本题考查了空间几何体的体积的计算,属于中档题,运用好公式,计算仔细即可. 9. (2015?淮北一模) 已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 2, M、 N 分别为 AD、 CC1 的中点, O 为上底面 A1B1C1D1 的中心,则三棱锥 O﹣MNB 的体积是 .

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 以 D 为原点, DA 为 x 轴, DC 为 y 轴, DD1 为 z 轴, 建立空间直角坐标系, 利用向量法能求出三棱锥 O﹣MNB 的体积. 解答: 解:以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴, 建立空间直角坐标系, 则由题意得 O(1,1,2) ,M(1,0,0) , B(2,2,0) ,N(0,2,1) ,
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=(0,1,2) , | |= = ,| >= >=

=(1,2,0) , |= = = , = ,

=(﹣1,2,1) ,

cos< sin< ∴S△ MNB= =



=



设平面 MNB 的法向量 =(x,y,z) , 则 ,取 x=2,得 =(2,﹣1,4) ,

∴点 O 到平面 MNB 的距离 d=

=

=



∴三棱锥 O﹣MNB 的体积 V=

=

= .

故答案为: .

点评: 本题考查三棱锥的体积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用. 10. (2013 春?宝安区期末)若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为 2π . ,则这个圆锥的侧面积是

考点: 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积;旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 专题: 计算题. 分析: 本题考查的是圆锥的侧面积求解问题.在解答的时候,应先结合:圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为 分析圆锥的母线长和底面半径长,结合圆锥的侧面积公式即可获得问题的解答. 解答: 解:由题意:圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为 ,
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∴对于轴截面有:
2



∴a =4,∴a=2, 所以圆锥的侧面积为:π?1?2=2π. 故答案为:2π. 点评: 本题考查的是圆锥的侧面积求解问题.在解答的过程当中充分体现了三角形面积公式的应用、圆锥侧面积公式 的应用以及转化思想的应用.值得同学们体会反思. 11. (2015?南宁一模)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1⊥平面 A1B1C1,A1B1⊥A1C1,B1C⊥AC1,AB=2,AC=1 则该三棱柱的体积为 1 .

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 连结 A1C,由已知条件推导出四边形 AA1C1C 是正方形,AA1=AC=1,由此能求出三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体 积. 解答: 解:连结 A1C, ∵A1B1⊥A1C1,∴A1B1⊥平面 A1C, ∵B1C⊥AC1,∴A1C⊥AC1, ∴四边形 AA1C1C 是正方形, ∴AA1=AC=1,
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∴三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积 V= 故答案为:1.

=1.

点评: 本题考查三棱柱的体积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养. 12. (2014?埇桥区校级学业考试)一个水平放置的四边形的斜二侧直观图是一个底角是 45°,腰和上底的长均为 1 的等 腰梯形,那么原四边形的面积是 . 考点: 平面图形的直观图. 专题: 计算题;作图题. 分析: 由斜二测画法中原图和直观图面积的关系直接求解即可. 解答: 解:直观图中梯形的高为 1×sin45°= ,底边长为 1+ ,故其面积为:
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因为

,所以原四边形的面积是

故答案为: 点评: 本题考查平面图形的直观图和原图面积之间的关系,属基本运算的考查. 13. (2014?盐城一模)在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠BAD=60°,侧棱 PA⊥底面 ABCD, PA=2,E 为 AB 的中点,则四面体 P﹣BCE 的体积为 .

考点: 专题: 分析: 解答:

棱柱、棱锥、棱台的体积. 计算题. 根据四棱锥的特点求出三角形 BCE 的面积,即可根据锥体的体积公式计算体积. 解:∵侧棱 PA⊥底面 ABCD, ∴PA 是四面体 P﹣BCE 的高, ∵底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠BAD=60°, ∴AB=BC=2,∠EBC=120°, ∵E 为 AB 的中点, ∴BE=1,
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∴三角形 BCE 的面积 S= ∴四面体 P﹣BCE 的体积为 故答案为: . ,



点评: 本题主要考查三棱锥的体积的计算,利用条件求出三棱锥的底面积和高是解决本题的关键,要求熟练掌握锥体 的体积公式. 14. (2005?江西)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=BC= 的中点,沿棱柱的表面从 E 到 F 两点的最短路径的长度为 ,BB1=2,∠ABC=90°,E、F 分别为 AA1、C1B1 .

考点: 多面体和旋转体表面上的最短距离问题. 专题: 分类讨论;空间位置关系与距离. 分析: 分类讨论,若把面 ABA1B1 和面 B1C1BC 展开在同一个平面内,构造直角三角形,由勾股定理得 EF 的长度. 若把把面 ABA1B1 和面 A1B1C1 展开在同一个平面内,构造直角三角形,由勾股定理得 EF 的长度. 若把把面 ACC1A1 和面 A1B1C1 展开在同一个面内,构造直角三角形,由勾股定理得 EF 的长度. 以上求出的 EF 的长度的最小值即为所求. 解答: 解:直三棱柱底面为等腰直角三角形,①若把面 ABA1B1 和面 B1C1CB 展开在同一个平面内,
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线段 EF 就在直角三角形 A1EF 中,由勾股定理得 EF=

=

=



②若把把面 ABA1B1 和面 A1B1C1 展开在同一个平面内,设 BB1 的中点为 G,在直角三角形 EFG 中, 由勾股定理得 EF= = = .

③若把把面 ACC1A1 和面 A1B1C1 展开在同一个面内,过 F 作与 CC1 行的直线,过 E 作与 AC 平行的直线, 所作的两线交与点 H,则 EF 就在直角三角形 EFH 中, 由勾股定理得 EF= = = ,

综上,从 E 到 F 两点的最短路径的长度为 故答案为: .



点评: 本题考查把两个平面展开在同一个平面内的方法,利用勾股定理求线段的长度,体现了分类讨论的数学思想, 属于中档题. 15. (2015?肇庆二模)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 3π .

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由三视图可知,两个这样的几何体能构成底面直径为 2,高为 2+4=6 的圆柱,进而可得答案.
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解答: 解:由三视图可知,该几何体由底面直径为 2,即半径为 1, 高为 2+4=6 的圆柱, 故该几何体的体积 V= π×1 ×6=3π, 故答案为:3π. 点评: 本题考查的知识点是由三视图,求体积,其中根据已知分析出几何体的形状是解答的关键.
2

16. (2014 秋?银川校级期末)一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形 ABCD,如图所示,∠ABC=45°, AB=AD=1,DC⊥BC,这个平面图形的面积为 .

考点: 专题: 分析: 解答:

平面图形的直观图. 计算题. 先确定直观图中的线段长,再确定平面图形中的线段长,即可求得图形的面积. 解:在直观图中,∵∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC
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∴AD=1,BC=1+ ∴原来的平面图形上底长为 1,下底为 1+ ∴平面图形的面积为 故答案为: 点评: 本题考查斜二测画法,直观图与平面图形的面积的比例关系的应用,考查计算能力.
3 2

,高为 2

17. (2015?浙江模拟)某空间几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则其体积是

cm ,表面积是 2

cm .

→主视图

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由三视图可得该几何体是正方体的内接正四棱锥,由三视图中的数据和间接法求出几何体的体积,再由三角形 的面积公式求出表面积. 解答: 解:由三视图可得,该几何体是棱长为 1 的正方体的内接正四棱锥,
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所以此正四棱锥的体积 V=1﹣4× 由图可得正四面体的棱长是 所以表面积 S=4× × 故答案为: ;2 . , =2 cm .
2

= cm ,

3

点评: 本题考查了正方体的内接正四棱锥的体积、表面积,解题的关键是由三视图正确还原几何体,并求出几何体中 几何元素的长度,考查空间想象能力.

18. (2015?淮安校级四模)正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两个动点 E,F,且 锥 B﹣AEF 的体积为是 .

,则三棱

考点: 专题: 分析: 解答:

棱柱、棱锥、棱台的体积. 空间位置关系与距离. 计算三角形 BEF 的面积和 A 到平面 BEF 的距离,即可求出所求几何体的体积.
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解:∵B1D1∥平面 ABCD,又 E、F 在直线 D1B1 上运动, ∴EF∥平面 ABCD. ∴点 B 到直线 B1D1 的距离不变,故△ BEF 的面积为 × ∵点 A 到平面 BEF 的距离为 ∴VA﹣BEF= × 故答案为: . × = . , ×1= .

点评: 本题考查几何体的体积的求法,考查计算能力,解题时要认真审题,注意体积中的不变量. 19. (2014?天津三模)一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为 .

考点: 专题: 分析: 解答:

由三视图求面积、体积. 图表型. 由已知中的三视图,我们可以判断出该几何体的形状,及关键数据,代入棱锥体积公式,即可求出答案. 解:由已知中的三视图可得,该几何体有一个半圆锥和一个四棱维组合而成, 其中半圆锥的底面半径为 1,四棱锥的底面是一个边长为 2 为正方形,他们的高均为
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则 V=



+4)?

=

故答案为: 点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积,其中根据已知中的三视图判断出几何体的形状是解答本题的关键. 20. (2012?桂林二模)如图,已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的内切球,则平面 ACD1 截球 O 的截 面面积为 .

考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 根据正方体和球的结构特征, 判断出平面 ACD1 是正三角形, 求出它的边长, 再通过图求出它的内切圆的半径, 最后求出内切圆的面积 解答: 解:根据题意知,平面 ACD1 是边长为 的正三角形,且球与以点 D 为公共点的三个面的切点恰为三角形
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ACD1 三边的中点, 故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积, 则由图得,△ ACD1 内切圆的半径是 则所求的截面圆的面积是 π× 故答案为: . × = ×tan30°= ,

. (截面为内切球)

点评: 本题考查了正方体和它的内接球的几何结构特征,关键是想象出截面图的形状,考查了空间想象能力,数形结 合的思想

21. (2014?黄浦区一模)将某个圆锥沿着母线和底面圆周剪开后展开,所得的平面图是一个圆和扇形,己知该扇形的 半径为 24cm,圆心角为 ,则圆锥的体积是 cm .
3

考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据圆锥侧面展开扇形的中心角,列式算出底面半径 r=16cm,再由勾股定理算出圆角的高 h═ 锥的体积公式即可算出答案. 解答: 解:设圆锥的底面半径为 r,高为 h,母线为 l,
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,利用圆

根据侧面展开扇形的圆心角为 得 因此,h= 故答案为: ,可得 r= =



=16cm. ,可得圆锥的体积 V= = cm .
3

点评: 本题给出圆锥侧面展开扇形的形状,求它的体积.着重考查了圆锥的性质、扇形的弧长与面积、勾股定理与圆 锥的体积公式等知识,属于中档题.

22. (2007?辽宁) 若一个底面边长为

, 棱长为

的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上, 则此球的体积为

4

π .

考点: 专题: 分析: 解答:

球的体积和表面积. 计算题;综合题;压轴题. 正六棱柱的体对角线就是外接球的直径,求出即可求其体积. 解:根据条件正六棱柱的最长的对角线为球的直径,
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由;

得 R=

,球体积为

故答案为:4 点评: 本题考查球的体积,棱柱的体对角线问题,考查空间想象能力,是基础题.

23. (2014?江西校级二模)一平面截一球得到直径是 6cm 的圆面,球心到这个平面的距离是 4cm,则该球的体积是 cm .
3

考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题. 分析: 由勾股定理求出球的半径,再利用球的体积公式求球的体积. 解答: 3 解:球的半径为 =5(cm) ,球的体积为 ×5 =
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(cm )

3

故答案为



点评: 本题考查球的体积公式,注意球心距,圆的半径,球的半径,三条线段构成直角三角形,可用勾股定理.


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