【多彩课堂】2015-2016学年高中数学人教A版选修1-1课件:2.1.1《椭圆及其标准方程》课时1_图文

2.1 椭圆
2.1.1 椭圆及其标准方程(1)

本课件截取了“天宫一号”与“神八”成功对接的电 视新闻,亲切而具体,是本课的一大亮点。接着让学生列 举生活中常见的椭圆图形,体现了数学源于生活,又服务 于生活的数学应用思想,培养学生善于观察,热爱生活的

优良品质。通过模拟实验,学生合作探究,自己动手画出
椭圆,同时,又运用了flash动画、几何画版等多种媒体手 段探索了椭圆形成的条件,归纳出椭圆的定义. 例1根据椭圆标准方程判断焦点的位置及求焦点坐标; 例 2 是灵活运用椭圆的定义求椭圆的标准方程。本节课的

难点是椭圆标准方程的证明.

天宫一号与神八将实现两次成 功对接。北京航天飞行控制中心最 新消息:从对接机构接触开始,经

过捕获、缓冲、拉近、锁紧4个步骤,
“神舟八号”飞船与“天宫一号” 目标飞器3日凌晨实现刚性连接,形 成组合体,中国载人航天首次空间 交会对接试验获得成功。

通过视频我们看到天宫一号与神 八的运行轨迹是什么?

“天宫一号”与“神八” 将实现两次对接

压扁

椭圆的定义

自己动手试试看 : 取出课前准备好的一条定长为 6cm 的
细绳,把它的两端固定在画板上的F 1 和F 2 两点,用铅

笔尖把细绳拉紧,使铅笔尖在图板上缓慢移动,仔细观察,
你画出的是一个什么样的图形呢?

怎样画椭圆呢?

M

F

1

F

2

椭圆的产生

绘图纸上的三个问题:
1.视笔尖为动点,两个图钉为定点,动点到两定点距
离之和符合什么条件,其轨迹是椭圆? 2.改变两图钉之间的距离,使其与绳长相等,画出的 图形还是椭圆吗?

3.绳长能小于两图钉之间的距离吗?

(1)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距离和为 10,则M点的轨迹是什么? 椭圆

(2)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距 离和为 6,则M点的轨迹是什么? 线段AB 思考:椭圆是满足什么条件的点的 轨迹呢?
(3)已知 A(-3,0),B(3,0),M 点到A,B两点的距 阅读教材第 38页. 离和为5,则M点的轨迹是什么? 不存在

结论: (1)若|MF1|+|MF2|>|F1F2|,M点轨迹为椭圆.

(2)若|MF1|+|MF2|=|F1F2|,M点轨迹为线段.
(3)若|MF1|+|MF2|<|F1F2|,M点轨迹不存在.

椭圆定义:
的轨迹叫做椭圆。

椭圆的定义

平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点

这两个定点叫做椭圆的焦点,
两焦点间的距离叫做椭圆的焦距(一般用2c表示)。
M

注意:椭圆定义中容易遗漏的四处地方 (1) 必须在平面内; (2)两个定点---两点间距离确定; (3)定长---轨迹上任意点到两定点距离和确定;
F1 F2

(4)|MF1|+|MF2|>|F1F2|.

求椭圆的方程
复习:求曲线方程的方法步骤是什么?

建系: 建立适当的直角坐标系;
设点:

设M(x,y)是曲线上任意一点;

列式: 建立关于x,y的方程 f(x,y)=0; 化简: 化简方程f(x,y)=0. 证明: 说明曲线上的点都符合条件,(纯粹性);符合 条件的点都在曲线上(完备性)。

(证明一般省略不写,如有特殊情况,可以适当予以说明)

2.如何求椭圆的方程?
? 探讨建立平面直角坐标系的方案
y y F1
O

y

y

y F2
O

M
M
O
O O F2

xx x
F1

x

x

方案一

方案二

建立平面直角坐标系通常遵循的原则:“对称”、“简洁”

解:取过焦点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平 分线为y轴,建立平面直角坐标系(如图). 设M(x, y)是椭圆上任意一点,椭圆的焦距 2c(c>0),M与F1和F2的距离的和等于正常数 2a (2a>2c) ,则F1、F2的坐标分别 是(?c,0)、(c,0) . y

M

由椭圆的定义得: | MF 1 | ? | MF2
代入坐标

|? 2a

F1

0

F2

x

?| MF1 |? ( x ? c) 2 ? y 2 , | MF2 |? ( x ? c) 2 ? y 2

? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? 2a
(问题:下面怎样化简?)

? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? 2a
移项,再平方

( x ? c ) 2 ? y 2 ? 4a 2 ? 4a ( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2

即: a 2 ? cx ? a
两边再平方,得

( x ? c) 2 ? y 2

a 4 ? 2a 2cx ? c 2 x 2 ? a 2 x 2 ? 2a 2cx ? a 2c 2 ? a 2 y 2

整理得: ( a 2 ? c 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (a 2 ? c 2 )
由椭圆定义可知 2 a ? 2 c , 即 a ? c , ? a
2

? c ? 0,
2

设 a 2 ? c 2 ? b 2 ( b ? 0 ),
则上式变为 b2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b2

椭圆的标准方程

两 边 同 除 以 a b 得 :

2

2

x2 y2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ). 2 a b

焦点在x轴上的椭圆的标准方程:

y M

x y ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 a b
它表示:

2

2

F1

0

F2

x

① 椭圆的焦点在x轴
② 焦点坐标为F1(-C,0)、F2(C,0)

③ c2= a2 - b2

思考:当椭圆的焦点在y轴上时,它的标准方程是怎样 的呢

焦点在y轴上的椭圆的标准方程

y x ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 a b
它表示: ① 椭圆的焦点在y轴 ② 焦点是F1(0,-c)、 F2(0,c) ③ c2= a2 - b2

2

2

y F2 M O F1 x

根据所学知识完成下表:
定 义 平面内到两个定点F1,F2的距离的和等 于常数(大于F1F2)的点的轨迹 系数为正加相连
y P F2

椭圆方程有特点
y

分母较大焦点定
F2 P 右边数“1”记心间

不 同 点




F1
O

x

O

x

F1

标准方程 焦点坐标 相 a、b、c 的关系 同 点 焦点位置的判断

x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 a b
F1 ? -c , 0 ?,F2 ? c , 0 ?

x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 b a
F1 ? 0?,?- c ?,F2 ? 0?,?c ?

a2-c2=b2 分母哪个大,焦点就在哪个轴上

典例展示
例1、判定下列椭圆的标准方程在哪个轴上,并写出焦点坐标。

x2 y2 (1) ? ?1 25 16

答:在x轴。(-3,0)和(3,0) 答:在y轴。(0,-5)和(0,5)

x2 y2 ( 2) ? ?1 144 169
2 2

x y (3) 2 ? 2 ? 1 答:在y轴。(0,-1)和(0,1) m m ?1
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则:
焦点在分母大的那个轴上

x2 y2 对椭圆 ? ? 1 ,各个小组仿照例题或习题 25 16
的形式自己设计一个题目,两个小组交换审查,
并尝试作答.

例2.椭圆的两个焦点的坐标分别是(-4,0)(4,0),椭 圆上一点M 到两焦点距离之和等于10,求椭圆的标准方程。 y 解: ∵椭圆的焦点在x轴上
M F1

x2 y2 (a ? b ? 0) ∴设它的标准方程为: 2 ? 2 ? 1 a b
∵ 2a=10, 2c=8 ∴ a=5, c=4 ∴ b2=a2-c2=52-42=9

o

F2

x

求椭圆标准方程的解题步骤: (1)一定焦点位置
(2)二设椭圆方程;

x2 y2 ∴所求椭圆的标准方程为 ? ? 1 (3)三求a、b的值.(待定系数法) 25 9 (4)写出椭圆的标准方程.

闯关竞技场
★题:
1 2 2

★★题:

3 3

1、若动点 P 到两定点 F1 (-4,0), F2 (4,0)的距离之和为 8, 则动点 P 的轨迹为( D )
A B C D 退出

不存在
椭圆 答案

x2 y2 2、已知椭圆 25 ? 16 ? 1 上一点P到椭圆的

一个焦点的距离为3,则P到另一个焦

点的距离为
A B C

(A )
7

5
3 2 答案
退出

D

3、求适合下列条件的椭圆的标准方程 (1)a= 6 ,b=1,焦点在x轴上,

x

2

6
y
2

? y ?1
2

(2)焦点为F1(0,-3),F2(0,3),且a=5.
25 ? x
2

16

?1
退出

答案

一个定义
椭圆定义:平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于
常数2a (大于│ F1F2│,)的点的轨迹,叫做椭圆.

两个方程
椭圆标准方程: x2 y2 (1). 椭圆焦点在x轴上 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0).
a b

y2 x2 (2). 椭圆焦点在y轴上 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0). a b

两种方法
待定系数法、数形结合思想方法

课后练习

课后习题

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