高中数学1.3三角函数的图象与性质.3.3已知三角函数值求角课后导练

1.3.3 已知三角函数值求角
课后导练 基础达标 1.满足 sinx=cosx 的角 x 的集合是( )

? +2kπ ,k∈Z} 4 ? B.{x|x= +kπ ,k∈Z} 4 ? C.{x|x=- +2kπ ,k∈Z} 4 ? D.{x|x=- +kπ ,k∈Z} 4
A.{x|x= 解析:∵sinx=cosx,∴tanx=1.当 x∈(性,得 x= 答案:B 2.已知 α 是三角形的内角,且 sinα = A.

? +kπ ,k∈Z. 4

? ? ? , )时,x=arctan1= ,根据正切函数的周期 2 2 4

3 ,则 α 等于( 2



? ? ? 5? ? 2? B. C. 或 D. 或 6 3 6 3 6 3
2 ,π <x<2π ,则角 x 等于…( 2
B.

答案:D 3.已知 cosx= ? A. )

3? 4

5? 4? 7? C. D. 4 3 4

解析:令 cosx=

? 2 ,得锐角 x= . 4 2

∵cosx= ? ∴x∈(π , 答案:B

2 ,x∈(π ,2π ), 2
3? ? 5? ).∴x=π + = . 2 4 4

1 ? ,x∈( ,π ) ,则 x 等于( ) 3 2 1 1 ? 1 1 A.arcsin B.π -arcsin C. +arcsin D.-arcsin 3 3 2 3 3
4.若 sinx= 答案:B 5.适合关系式 2sinx·cosx=cosx 且在(0,2π )内的角 x 的个数是( )

A.1B.2C.3D.4 答案:D 6.arccos( ? 答案:

2 )=_________. 2

3? 4 1 3 )+arctan =__________. 2 3

7.arcsin(答案:0

8.适合条件 cot2x=

3 的最大负角是__________,最小正角是________. 3

答案:-

? ? 3 6
1 ,试求符合下列条件的角 α . 2

9.已知 cosα =-

(1)α 是三角形的内角; (2)0≤α ≤2π ; (3)α 是第三象限角; (4)α ∈R. 解:∵cosα =-

1 1 ? ,∴满足 cosα = 的锐角 α = . 2 2 3

(1)∵α 是三角形的内角,

1 ? <0,∴ <α <π . 2 2 ? 2? 1 ∴α =π - = .(2)∵cosα =- , 2 3 3
∴0<α <π .又∵cosα =∴α 是第二或第三象限角.

? ? 2? 4? 或 π + .∴α = 或 . 3 3 3 3 4? 4? (3)∵α 是第三象限角,∴α 与 的终边相同.∴α = +2kπ ,k∈Z. 3 3 2? 4? (4)∵α ∈R,∴α 与 或 终边相同. 3 3 2? 4? ∴α = +2kπ 或 α = +2kπ ,k∈Z. 3 3
又∵α ∈[0,2π ],∴α =π 10.已知集合 A={x|sinx=

1 3 },集合 B={x|tanx= ? },求集合 A∩B. 2 3

解:∵A={x|sinx=

1 }, 2

∴A={x|x=2kπ +

? 5? 或 x=2kπ + ,k∈Z}. 6 6
5? 3 },∴B={x|x=kπ + ,k∈Z} 6 3

∵B={x|tanx= ? ={x|x=2kπ +

5? 11? 或 x=2kπ + ,k∈Z}. 6 6 5? ∴A∩B={x|x=2kπ + ,k∈Z}. 6
综合运用

arcsin
11.

3 1 ? ar cos(? ) 2 2 的值等于( arctan( ? 3)

)

A.

1 1 B.0C.1D.2 2 1 2? 3 ? = ,arccos(- )= , 2 3 2 3

解析:∵arcsin

? 2? ? ? 3 =1. arctan( ? 3 )=- ,∴原式的值为 3 ? 3 ? 3
答案:C 12.已知直线 2x+y+1=0,则直线的倾斜角是( ) A.-arctan(-2)B.-arctan2C.π -arctan2D.π +arctan2 解 析 : 直 线 的 斜 率 为 -2, 又 因 为 直 线 的 倾 斜 角 的 范 围 为 [ 0,π ), 故 倾 斜 角 可 表 示 为 π -arctan2. 答案:C 13.函数 y=cos(sinx+2.2)的值域是( ) A.[-1,1]B.[-1,cos1.2] C.[cos1.2,cos3.2]D.[cos3.2,cos1.2]

解析:设 μ =sinx+2.2,则 μ ∈[1.2,3.2] ,y=cosμ 在[1.2,3.2]上的简图如右图.由图 象可知,当 μ ∈[1.2,3.2]时,值域 y∈[-1,cos1.2].故答案选 B. 答案:B 14.若 sinx=

1? m ? ? ,且 x∈[- , ] ,求 m 的取值范围. 2m ? 3 6 6

解:∵x∈[-

? ? 1 1? m 1 , ],∴|sinx|≤ .∴| |≤ . 2 2m ? 3 2 6 6
2 2

∴2|1-m|≤|2m+3|.∴4(1-m) ≤(2m+3) . ∴m≥ ?

1 1 .∴m 的取值范围是{m|m≥ ? }. 4 4

拓展探究 15.函数 y=sinx+arcsinx 的值域是__________. 解析:函数 f(x)=sinx+arcsinx 的定义域为[-1,1]. 由于函数 y1=sinx,y2=arcsinx 在[-1,1]上均单调递增, 所以函数 f(x)在[-1,1]上单调递增.由 f(-1)=-sin1-

? ? ,sin1+ ]. 2 2 ? ? 答案:[-sin1- ,sin1+ ] 2 2
[-sin12

? ? ,f(1)=sin1+ ,知 f(x)的值域为 2 2

16.若 f(arcsinx)=x +4x,求 f(x)的最小值,并求 f(x)取得最小值时的 x 的值.

? ? 2 , ].则 sint=x,sint∈[-1,1].于是 f(t)=sin t+4sint,即 2 2 ? ? 2 f(x)=(sinx+2) -4,x∈[- , ].∵-1≤sinx≤1, 2 2 ? 2 ∴当 sinx=-1,即 x=- 时,f(x)取得最小值(-1+2) -4=-3. 2
解:令 t=arcsinx,t∈[-


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