高三正余弦定理综合大题

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17.本小题满分 12 分) ( 在△ABC 中, b、 分别是角 A、、 的对边, a、 c B C 且

cos B b , ?? cos C 2a ? c

(1)求角 B 的大小; (2)若 b ? 13 , a ? c ? 4 ,求△ABC 的面积. 【答案】解: (1)?

cos B b cos B sin B 由正弦定理知 ?? ?? cosC 2a ? c cosC 2 sin A ? sin C 2 sin A cos B ? sin C cos B ? cosC sin B ? 0

? 2 sin A cos B ? sin?B ? C ? ? 0

?B ? C ? ? ? A ? 2 sin A cos B ? sin A ? 0
? sin A ? 0
? cos B ? ? 1 2

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

? B ? ?0, ? ? ? B ?

(2)将 b= 13, a ? c ? 4, B ?
2

2? 代入 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B 3
? ? 1? ? 2?

2? 3

即 b 2 ? ?a ? c ? ? 2ac ? 2ac cos B ?13 ? 16 ? 2ac?1 ?

?ac ? 3

? S ?ABC ?

1 1 3 3 3 = ac sin B ? ? 3 ? 4 2 2 2

【解析】略 18 . 在 △ABC 中 , A, B, C 为 三 个 内 角 a, b, c 为 三 条 边 ,

?
3

?C ?

?
2



b sin 2C ? . a ? b sin A ? sin 2C
(I)判断△ABC 的形状; (II)若 | BA ? BC |? 2 ,求 BA ? BC 的取值范围. 【答案】 (1) ?ABC 是等腰三角形。 (2) BA.? BC. ? ( ,1) 【解析】本题主要考查正余弦定理及向量运算 第一问利用正弦定理可知,边化为角得到
? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

2 3

b sin 2C ? . sin B ? sin 2C. a ? b sin A ? sin 2C

所以得到 B=2C,然后利用内角和定理得到三角形的形状。 第二问中,

| BA.? BC. |? 2,? a ? c
2

?

?

2

而 cos B ? ? cos 2C ,?
得到。

1 2

2 ? a2 ? 2ac cos B ? 4,? cos B ? (? a ? c) a2 ? ? 4 2 ? cos B ? 1?1 ? a 2 ? ? BA.? BC. ? ( ,1) 3 3

b sin 2C ? . (1)解:由 a ? b sin A ? sin 2C 及正弦定理有: sin B ? sin 2C.
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?
∴B=2C,或 B+2C ? ? . ,若 B=2C,且 3

?C ?

?

2 ? ? B ?? 2 ,∴ 3 , B ? C ? ? (舍) ;

∴B+2C ? ? . ,则 A=C,∴ ?ABC 是等腰三角形。 (2)

| BA.? BC. |? 2,? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 4,? cos B ?

2 ? a2 (? a ? c) a2 ? ? 1 4 2 而 cos B ? ? cos 2C ,? ? cos B ? 1?1 ? a 2 ? ? BA.? BC. ? ( ,1) 2 3 3
? ?

19. 已知函数 f(x)= 3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ), (0<φ<π, ω>0)为偶函数, 且函数 y=f(x) π 图象的两相邻对称轴间的距离为 . 2 π (1)求 f?8?的值; ? ? π (2)将函数 y=f(x)的图象向右平移6个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原 来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)的解析式及其单调递减区间 【答案】(1)f(x)= 3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ) =2? 3 1 ?=2sin?ωx+φ-π?. 6? ? ? 2 sin?ωx+φ?-2cos?ωx+φ??

因为 f(x)为偶函数,所以对 x∈R,f(-x)=f(x)恒成立, π π 因此 sin?-ωx+φ-6?=sin?ωx+φ-6?. ? ? ? ? π π 即-sin ωxcos?φ-6?+cos ωxsin?φ-6? ? ? ? ? π π =sin ωxcos?φ-6?+cos ωxsin?φ-6?, ? ? ? ? π 整理得 sin ωxcos?φ-6?=0. ? ? π 因为 ω>0,且 x∈R,所以 cos?φ-6?=0. ? ? π π 又因为 0<φ<π,故 φ- = . 6 2 π 所以 f(x)=2sin?ωx+2?=2cos ωx. ? ? 2π π 由题意得 =2·,所以 ω=2.故 f(x)=2cos 2x. ω 2 π π 因此 f?8?=2cos = 2. ? ? 4 π π (2)将 f(x)的图象向右平移 个单位后,得到 f?x-6?的图象,再将所得图象横坐标伸长到 ? ? 6 原来的 4 倍,纵坐标不变,得到 x π f?4-6?的图象. ? ? x π x π 所以 g(x)=f?4-6?=2cos?2?4-6?? ? ? ? ? ??

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

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x π =2cos?2-3?. ? ? x π 当 2kπ≤ - ≤2kπ+π(k∈Z), 2 3 2π 8π 即 4kπ+ ≤x≤4kπ+ (k∈Z)时,g(x)单调递减, 3 3 2π 8π? ? 因此 g(x)的单调递减区间为 4kπ+ 3 ,4kπ+ 3 (k∈Z) ? ? 【解析】略 20. 在 ?ABC 中 a, b, c 分别为角 A, B, C 所对的边的边长, (1)试叙述正弦或余弦定理并证明之; (2)设 a ? b ? c ? 1,求证: a 2 ? b2 ? c 2 ? 【答案】见解析. 【解析】(I)要熟记正余定理的内容. (II)由 a ? b ? c ? 1, 可得 (a ? b ? c) ? 1,? a ? b ? c ? 2ab ? 2ac ? 2bc ? 1,
2 2 2 2

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

1 . 3

然后再利用 a ? b ? 2ab, c ? b ? 2cb, a ? c ? 2ac ,
2 2 2 2 2 2

即可证明结论. 解 :( Ⅰ ) 正 弦 定 理 : 在 ?ABC 中 a, b, c 分 别 为 角 A, B, C , 则 满 足 :

a b c ? ? sin A sin B sin C

(? 2R) 可 不 写 , 正 弦 定 理 : 在 ?ABC 中 a, b, c 分 别 为 角
证 明 略

A, B, C , 则 满 足 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab cos A , 另 两 个 略 .
6分 (ⅠⅠ)? a ? b ? 2ab, b ? c ? 2bc, c ? a ? 2ca
2 2 2 2 2 2

? 2 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ca ? 3 a 2 ? b 2 ? c 2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ca ? (a ? b ? c) 2 ? 1
即 a2 ? b2 ? c2 ?

?

?

?

?

1 3

12 分

21. ?ABC 中, A, B, C 对应的边分别为 a, b, c且a ? c ? 10, C ? 2 A, cos A ? 在 角

3 4

c 的值 a 3 【答案】 (1) (2)5 2

(1)求

(2)求 b 的值

【解析】 (1)?C ? 2 A ?sin C ? 2 sin A cos A

?

sin C 3 c 3 ? 2 cos A ? ? ? sin A 2 a 2

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(2)? a ? c ? 10,

c 3 ? ? a ? 4, c ? 6 a 2 3 4

由 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A得16 ? b 2 ? 36 ? 12b ? 即 b 2 ? 9b ? 20 ? 0 ?b ? 4或b ? 5 当 b ? 4时A ? B ? A ? B ? C ? 4 A ? 180 ?
?b ? 5
22. (本小题满分 12 分)

A ? 45?与 cos A ?

3 矛盾 4

已知向量 a ? (m,1) , b ? (sin x, cos x) ,函数 f ( x) ? a ? b 且满足 f ? (1)求函数 y=f(x)的解析式,并求它的最小正周期; (2)在 ?ABC 中,若 f ? 【答案】 解:(1)? a ? ?m,1?, b ? ?sin x, cos x ? 且 f ?x ? ? a ? b

?? ? ? ? 1. ?2?

?? ? ? ? 2 sin A ,且 AC ? 2 , BC ? 3 ,求角 B 的大小. ? 12 ?

? ? ?? ? ? f ?x? ? m sin x ? cos x ,又 f ? ? ? 1 ? m sin ? cos ? 1 2 2 ?2?
? f ?x? ? sin x ? cos x ? 2 sin(x ?

∴m=1

?
4

)

∴函数的最正周期 T ? 2? ? ?? ? ?? ? (2)因为 f ? ? ? 2 sin A 即 f ? ? ? 2 sin ? 2 sin A 12 ? 12 ? 3 ? ? sinA= sin

?
3

?

3 2

AC= 2 ,BC= 3 由正弦定理得:
2 AC BC ? ,即 ? sin B sin B sin A 3 3 2

? sin B ?

2 2

∵AC<BC, ∴∠B 为锐角,故 B ? 【解析】 略

?
4

23.在 ?ABC 中, a、 c 分别为角 A、、 的对边,且满足 b2 ? c2 ? a 2 ? bc . BC b、 (Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若 a ? 3 ,设角 B 的大小为 x, ?ABC 的周长为 y ,求 y ? f ( x) 的最大值.
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【答案】 (Ⅰ) A ?

?
3

(Ⅱ) x ?

?
3

时, ymax ? 3 3 。

【解析】 (Ⅰ) ?ABC 中, b ? c ? a ? bc 及余弦定理得 cos A ? 在 由
2 2 2

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? 2bc 2

而 0 ? A ? ? ,则 A ?

?
3



(Ⅱ)由 a ?

3, A ?

?
3

及正弦定理得

b c a ? ? ? sin B sin C sin A

3 ? 2, 3 2

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

而 B ? x, C ?

2? 2? 2? ? x ,则 b ? 2sin x, c ? 2sin( ? x)(0 ? x ? ) 3 3 3 2? ? ? x) ? 2 3 sin( x ? ) ? 3 , 3 6

于是 y ? a ? b ? c ? 3 ? 2sin x ? 2sin(

由0 ? x ?

2? ? ? 5? ? ? ? 得 ? x? ? ,当 x ? ? 即 x ? 时, ymax ? 3 3 。 3 6 6 6 6 2 3

24.在△ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 a ? 2 , c ? 3 ,

cos B ?

1 . 4

(1)求 b 的值; (2)求 sin C 的值. 【答案】 (1) b ? 10 (2) sin C ?
2 2

3 6 8
2

【解析】 (1)由余弦定理, b ? a ? c ? 2ac cos B , 得 b ? 2 ? 3 ? 2 ? 2 ? 3?
2 2 2

1 ? 10 ,? b ? 10 . 4
4 ? 10 ? 9 10 a 2 ? b2 ? c 2 ? ? , 8 2ab 2 ? 2 ? 10
2

(2)方法 1:由余弦定理,得 cos C ?

∵ C 是 ?ABC 的内角,∴ sin C ? 1 ? cos C ?

3 6 . 8

方法 2:∵ cos B ?

1 ,且 B 是 ?ABC 的内角, 4
2

∴ sin B ? 1 ? cos B ?

15 . 4

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15 b c c sin B 3 ? 4 3 6 ? ? ? 根据正弦定理, ,得 sin C ? . b 8 sin B sin C 10
25. (本小题满分 12 分) 如图 2,渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60 方向的 B 处,且与岛屿 A 相距 12 海里,渔船 乙以 10 海里/小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行, 若渔船甲同时从 B 处出发沿北 偏东 ? 的方向追赶渔船乙,刚好用 2 小时追上. (1)求渔船甲的速度; (2)求 sin ? 的值. 北 C
?

西

?
B

60?

A



南 【答案】 (本小题满分 12 分) (本小题主要考查方位角、正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力等. ) 解 :( 1 ) 依 题 意 , ?BAC ? 120
?

, AB ? 12 , AC ? 10 ? 2 ? 20 , 北 C

西

?
B

60

?

A



?BCA ? ? .………………………2 分 在△ ABC 中,由余弦定理,得



BC 2 ? AB2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC ? cos ?BAC ……………………4 分 ? 122 ? 202 ? 2 ?12 ? 20 ? cos120? ? 784 .
解得 BC ? 28 . ………………………………………………………6 分 所以渔船甲的速度为

BC ? 14 海里/小时. 2
?

答:渔船甲的速度为 14 海里/小时.…………………………………7 分 (2)方法 1:在△ ABC 中,因为 AB ? 12 , ?BAC ? 120 , BC ? 28 ,

?BCA ? ? ,
由 正 弦 定
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

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AB BC .……………………………………………………………………9 分 ? sin ? sin120?
AB sin120? 即 sin ? ? ? BC
答 :

12 ?

3 2 ?3 3. 28 14

s ?

i



n





3 3 .………………………………………………………………………………12 分 14
方法 2:在△ ABC 中,因为 AB ? 12 , AC ? 20 , BC ? 28 , ?BCA ? ? , 由 余 弦 定 理 , 得

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

c ??

A

2

2 2 ? ?C B C A B .…………………………………………………………9 分 o s 2A ? C B C

即 cos ? ?

202 ? 282 ? 122 13 . ? 2 ? 20 ? 28 14
2 2

3 3 ? 13 ? 因为 ? 为锐角,所以 sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? ? ? ? . 14 ? 14 ?
答 :

s ?

i



n





3 3 .………………………………………………………………………………12 分 14
【解析】略 26. (本小题满分 12 分) 如图 1,渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60? 方向的 B 处,且与岛屿 A 相距 12 海里,渔船 乙以 10 海里/小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从 B 处出发沿 北偏东 ? 的方向追赶渔船乙,刚好用 2 小时追上. (1)求渔船甲的速度; (2)求 sin ? 的值. 北 C

西

?
B

60?

A





【答案】 (本小题主要考查方位角、正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能 图 1 力等. )
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解 :( 1 ) 依 题 意 , ?BAC ? 120? , AB ? 12 , AC ? 10 ? 2 ? 20 ,

?BCA ? ? .………………………2 分 在△ ABC 中,由余弦定理,得
BC 2 ? AB2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC ? cos ?BAC ……………………4 分 ? 122 ? 202 ? 2 ?12 ? 20 ? cos120? ? 784 .
解得 BC ? 28 .………………………………………………………6 分

BC ? 14 海里/小时. 2 答 : 渔 船 甲 的 速 度 为 14 海 里 / 小 时 . … … … … … … … … … … … … … 7 分
所以渔船甲的速度为 北 C

西

?
B

60?

A



南 (2)方法 1:在△ ABC 中,因为 AB ? 12 , ?BAC ? 120? , BC ? 28 ,

?BCA ? ? ,资料来源:广东高考吧 www.gaokao8.net
由 正 弦 定 理 , 得

A s ?

?

B i
?

.……………………………………………………………………9 分

B

C

n

s

i

n

1

2

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

0

即 sin ? ? 答

AB sin120 ? BC


?

12 ?

3 2 ?3 3. 28 14

s ?

i



n





3 3 .………………………………………………………………………………12 分 14
方法 2:在△ ABC 中,因为 AB ? 12 , AC ? 20 , BC ? 28 , ?BCA ? ? , 由 余 弦 定 理 , 得

c ??

A

2

2 2 ? ?C B C A B o s .…………………………………………………………9 分 2A ? C B C

202 ? 282 ? 122 13 ? . 即 cos ? ? 2 ? 20 ? 28 14
2 因为 ? 为锐角,所以 sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? ?

3 3 ? 13 ? . ? ? 14 ? 14 ?


2





s ?

i

n





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3 3 .………………………………………………………………………………12 分 14
【解析】略 27.在 ?ABC 中, A B、C 是三角形的三内角, a、b、c 是三内角对应的三边,已知 、

b2 ? c 2 ? a 2 ? bc .
(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,求角 B 的大小 【答案】 (Ⅰ) A ?

?
3

(Ⅱ) B ?

?
6

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

【解析】

? cos A ?

1 ,……………………………….5 分 2

又 A ? (0, ? ) ………………………………….6 分 所以 A ?

?
3

……………………………………..7 分

(Ⅱ)由正弦定理,又 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,故

a2 b2 c2 ? ? 2 2 4R 4R 4R2

即: a 2 ? b2 ? c 2

…………………………………..10 分

故 ?ABC 是以 ?C 为直角的直角三角形 又∵ A ? ? , ∴ B ?
3

?
6

………………………………………12 分

28.在△ABC 中,BC=2 5 , AC ? 6 , sin C ? 2sin A . (Ⅰ)求 AB 的值;
w.w.w.k.s.5.u.(C)o.m

(Ⅱ)求 cos A 的值. 【答案】

? AC 2 ? BC 2 BC 5) 2 ? 6 2 ? (2 5) 2 2 5 (4 ? AB ? sin C ? ? ? (Ⅰ) 4 5 (Ⅱ) 2 BC ? 2 AB ? AC 5 sin A 2 ? 4 5 ? 6
【解析】)(I) 解:在 ?ABC 中,根据正弦定理得

AB BC , ? sin C sin A
…………………6

于是 AB ? sin C ? 分

BC ? 2BC ? 4 5 . sin A
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… … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …

(II)解:在 ?ABC 中,根据余弦定理,得

cos A ?


AB 2 ? AC 2 ? BC 2 (4 5) 2 ? 62 ? (2 5) 2 2 5 ? ? . 2 AB ? AC 5 2? 4 5 ? 6

…………………12

29.如图,在山顶上有一塔,为了测量塔高,测量人员在山脚下 A 点处测得塔底 C 的仰 0 0 角为 60 ,移动 100m 后到达 B 点,又测得塔底 C 点得仰角为 30 ,测得塔尖 D 的仰角为 0 45 ,求塔高 CD. 【 答 案 】 由
2







?ACB ? 300


0 B C 2 ? 11



AC ? AB ? 100m BC 2 ?
由 正

1?


0 ? 2? 0

? 1 ? 0


0 ?


00


3 0m

1

0

B s ?C

?

C i ? D

?

10 3 CD C 1 C ? ? 0 0 s sinn45 sin15 B

D ? D s s D
0

0

0 ? ? i i

i

B

3 n n n C

4

【解析】本试题主要是考查了解三角形中正弦定理的运用以及余弦定理的综合运用。 30.在锐角△ABC 中, a, b, c 分别为角 A,B,C 所对的边,且 3a ? 2c sin A 。 ①求角 C 的大小。 ②若 C= 7 ,且△ABC 的面积为 【答案】① C ? 60?

3 3 ,求 a ? b 的值。 2

②a ?b ? ?

【解析】 (1)先根据正弦定理可把 3a ? 2c sin A ? sin C ? 可得 C ? 60? 。 (2)在(1)的基础上再根据 S ?

3 ,然后再根据 C 为锐角 2

1 3 3 ab sin C ? ,? ab ? 6 ,然后根据余弦定理 2 2

c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C ? (a ? b)2 ? 3ab ,可求出 a+b 的值。
解: (1)? 3a ? 2c sin A

? 3 ? 2 R sin A ? 2 ? 2 R sin C ? sin A
?C ?

sin C ?

3 2

?△ ABC 为锐角三角形

?
3
(7 分 )

(5 分)

2)? S ?

1 3 3 ab sin C ? 2 2

?ab ? 6

由余弦定理得到

C 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cosC ? (a ? b)2 ? 2ab ? 2ab cosC
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(9

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

a1

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… … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …

分)

? 7 ? (a ? b) 2 ? 18

(a ? b)2 ? 25

?a ? b ? 5

31.在△ABC 中,内角 A、B、C 所对边的边长分别是 a、b、c,已知 c=2,C= (Ⅰ)若△ABC 的面积等于 3 ,求 a、b; (Ⅱ)若 sin C + sin( B - A) = 2sin 2 A ,求△ABC 的面积.

? . 3

【答案】 (Ⅰ) a = 2, b = 2 .

(Ⅱ) SD ABC =

2 3 3

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

【解析】第一问中利用余弦定理及已知条件得 a 2 + b2 - ab = 4 又因为△ABC 的面积等 于 3 ,所以

1 ab sin C = 2

3 ,得 ab = 4 联立方程,解方程组得 a = 2, b = 2 .

第二问中。由于 sin C + sin( B - A) = 2sin 2 A 即为即 sin B cos A = 2sin A cos A .

当 cos A = 0 时 ,

A=

p , 2

B=

p , 6

b=

2 3 , 3

a=

4 3 所 以 3

SD ABC =

1 2 3 当 cos A ? 0 时 , 得 s i n = 2 s i n , 由 正 弦 定 理 得 B A ab s i C = n 2 3

b = 2a , 联 立 方 程 组 a 2 + b2 - ab = 4 , 解 得 a =
1 ab s iCn = 2 2 3 。 3

2 3 , 得 到 3

SD ABC =

解: (Ⅰ) (Ⅰ)由余弦定理及已知条件得 a 2 + b2 - ab = 4 ,………1 分 又因为△ABC 的面积等于 3 ,所以

1 ab sin C = 2

3 ,得 ab = 4 ,………1 分
……………2 分

联立方程,解方程组得 a = 2, b = 2 .

(Ⅱ)由题意得 sin( B + A) + sin( B - A) = 4sin A cos A , 即 sin B cos A = 2sin A cos A . 当 cos A = 0 时, A = …………2 分

p p , B= , 2 6

b=

2 3 , 3

a=

4 3 3

……1 分

所以 SD ABC =

1 2 3 ab sin C = 2 3

………………1 分

当 cos A ? 0 时,得 sin B = 2sin A ,由正弦定理得 b = 2a ,联立方程组

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a 2 + b2 - ab = 4 ,解得 a =

2 3 4 3 ,b = ; 3 3

所以 SD ABC =

1 2 3 ab sin C = 2 3

32. 在锐角△ABC 中, b、 分别为角 A、 C 所对的边, a、 c B、 且 3a ? 2c sin A (Ⅰ)确定角 C 的大小:
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

(Ⅱ)若 c= 7 ,且△ABC 的面积为 【答案】(Ⅰ)

3 3 2

,求 a+b 的值。

? (Ⅱ)5 3
a 2sin A sin A ? ? c sin C 3

【解析】 (1)由 3a ? 2c sin A 及正弦定理得,

Q sin A ? 0,? sin C ?

3 2

Q ?ABC 是锐角三角形,? C ?
(2)解法 1: Q c ?

?
3

7, C ?

?
3

. 由面积公式得

1 ? 3 3 ab sin ? ,即ab ? 6        ① 2 3 2
由余弦定理得

a 2 ? b2 ? 2ab cos

?
3
2

? 7,即a 2 ? b2 ? ab ? 7     ②

(a+b) ? 25, 故a ? b ? 5 由②变形得
解法 2:前同解法 1,联立①、②得

? a 2 ? b 2 ? ab ? 7 ?a 2 ? b 2=13   ? ? ? ? ab ? 6 ?ab ? 6
消去 b 并整理得 a 4 ? 13a 2 ? 36 ? 0 解得 a 2 ? 4或a 2 ? 9 所以 ?

?a ? 2 ?a ? 3 或? 故a ?b ? 5 ?b ? 3 ?b ? 2

33.在 ?ABC 中, a, b, c 分别为 ?A, ?B, ?C 的对边,已知 a, b, c 成等比数列,且

a 2 ? c 2 ? ac ? bc .
求:(1)A 的大小; 【答案】 (1) (2)

bsin B 的值. c

A ? 60?

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? 2?

?

b sin B b 2 sin 60? 3 ? ? c ac 2
2 2 2

2 c 【解析】a, b, c 成等比数列,b ? ac , 又因为 a 2 ? c 2 ? ac ? bc , a ?b ?c ?b 得

,

用余弦定理解得角;

bsin B 化为角或边, c

?

b sin B b 2 sin 60? 3 ? ? c ac 2
2 2 2

2 2 2 解析:由已知得 b ? ac ,因此 a ? c ? ac ? bc 可化为 a ? b ? c ? bc, ……3 分

?1? ? cos A ?

1 , 2

A ? 60? ………………………5 分

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

? 2 ? 法一:在 ?ABC 中,由正弦定理得 sin B ?
? b2 ? ac, A ? 60?

b sin A , a ……………7 分

b sin B b 2 sin 60? 3 ? ? ? c ac 2 .……………………10 分

1 1 bc sin A ? ac sin B 2 法二:在 ?ABC 中,由面积公式得 2 .
? b sin B 3 ? sin A ? c 2
3 . 5

? b2 ? ac, A ? 60? ,

?bc sin A ? b sin B
2

34.在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边长.已知 a=2, cos B ?

(1)若 b ? 4 ,求 sin A 的值; (2)若 ?ABC 的面积 S?ABC ? 4 ,求 b , c 的值.

asinB 【答案】(1) sinA ? ? b
(2) c=5.

2?

4 5 ? 2. 4 5
3 ? 17 . 5

b ? a 2 + c2 ? 2accosB ? 22 + 52 ? 2 ? 2 ? 5 ?

【解析】(1)本小题是已知两边及一边对角,解三角形的问题.可使用正弦定理. (2)根据面积公式可先求出 c,然后再利用余弦定理求出 b.

3 4 >0,且 0<B<π ,∴sinB= 1 ? cos 2 B ? . …………2 分 5 5 4 2? asinB a b 5 ? 2 . ………………6 分 由正弦定理得 , sinA ? ? ? sinA sinB b 4 5 1 (2) ∵S△ABC= acsinB=4, ……………………………………………………8 分 2 1 4 ∴ ? 2 ? c ? ? 4 , ∴c=5. …………………………………………………10 分 2 5
(1) ∵cosB=
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由余弦定理得 b =a +c -2accosB, ∴b ?

2

2

2

a 2 + c2 ? 2accosB ? 22 + 52 ? 2 ? 2 ? 5 ?

3 ? 17 . 5

35.在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, B ? 45 0 , b ? 10 ,

cosC ?

2 5 . 5

(1)求 a 边长; (2)设 AB 中点为 D ,求中线 CD 长. 【答案】 (1) a ? 3 2 ; (2) CD ? 13 【解析】由 B ? 45 0 可解得 s in B ?

2 2 2 5 ,再利用 cosC ? 可求得 , co sB ? 5 2 2

sin C ?

5 然后利用两角和的正弦公式和正弦定理得解;因为 AB 中点为 D ,可以求 5

得 BD,再用余弦定理求解。 解 :( 1 ) B ? 45 0 , sin B ?

2 2 2 5 , cosC ? ,C 是 锐 角 , cos B ? 5 2 2

sin C ?

5 5
2 2 5 2 5 3 10 , ? ? ? ? 2 5 2 5 10
--------5 分

sin A ? sin?B ? C ? ? sin B cos C ? cos B sin C ?
根据正弦定理

a b ,解得 a ? 3 2 ; ? sin A sin B
A

D

B

C

(2)根据正弦定理

a c ,解得 c ? 2 , AB 中点为 D ,所以 BD=1, ? sin A sin C

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CD 2 ? BD 2 ? BC 2 ? 2 BD?BC cos B
在△BCD 中,运用余弦定理:

? 1 ? 18 ? 6 2 ? ? 13

2 2

.

? CD ? 13
CD ? 13
36.已知 ?ABC 周长为 2 ? 1 ,且 sin B ? sin C ? (1)求边 BC 的长;

2 sin A
1 6

(2)若 ?ABC 的面积为 sin A ,求角 A 的度数。

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

【答案】 (1)由正弦定理得 AC ? AB ?

2 BC

? AB ? BC ? AC ? 2 ? 1,? 2 BC ? BC ? 2 ? 1 , BC ? 1
(2) ?ABC 的面积 S ? 又 AC ? AB ?

1 1 1 AC ? AB ? sin A ? sin A ,? AC ? AB ? 2 6 3

2 ,由余弦定理得:
2? 2 ?1 1 3 ? , 2 2 3

AC 2 ? AB 2 ? BC 2 ( AC ? AB) 2 ? 2 AC ? AB ? BC 2 cos A ? ? ? 2 AC ? AB 2 AC ? AB
? ?A ? 60 0 。

【解析】略 37. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,已知 B=45°,D 是 BC 边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,求 AB 的长.

【答案】AB= 5 6 【解析】本题主要考查利用正余弦定理求解三角形问题,试题比较基础,入手比较容 易.是一道立足基础,灵活运用正余弦定理来求三角形中的边角问题的综合性试题. 在△ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得 cos ?

AD 2 ? DC 2 ? AC 2 100 ? 36 ? 196 1 = ?? , 2 AD?DC 2 ?10 ? 6 2

? ? ADC=120°, ? ADB=60° 在△ABD 中,AD=10, ? B=45°, ? ADB=60°, AB AD 由正弦定理得 , ? sin ?ADB sin B

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AD? ?ADB 10sin 60? sin ? ? ?AB= sin B sin 45?

10 ? 2 2

3 2 ?5 6

点评:本题针对的是大多数考生,试题比较好理解,入题相对容易些,加上正余弦定理 在我们平时学习中学生也常用到。所以做这一类题比较上手很容易得满分. 38. (本小题满分 12 分)已知 a 、 b 、 c 分别是△ ABC 中角 A 、 B 、 C 的对边,且 (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 c ? 3a ,求 tan A 的值. a2 ? c2 ? b2 ? ac.

【答案】(Ⅰ)

B?

?
3

(Ⅱ)

3 5

【解析】 (Ⅰ)解:由余弦定理,得 cos B ? ∴ B?

a 2 ? c 2 ? b2 1 = 2ac 2

(2 分) ∵ 0 ? B ? ? ,

?
3

.(4 分)

(Ⅱ)解法一:将 c ? 3a 代入 a 2 ? c2 ? b2 ? ac ,得 b ? 由余弦定理,得 cos A ?

7a .

……6 分

b2 ? c2 ? a 2 5 7 . ? 2bc 14

……8 分

∵ 0 ? A ? ? ,∴ sin A ? 1 ? cos 2 A ? 分)

21 sin A 3 . (10 分)∴ tan A ? . (12 ? 14 cos A 5

解法二:将 c ? 3a 代入 a 2 ? c2 ? b2 ? ac ,得 b ? 由 正 弦 定 理 , 得 s i nB ?

7a .

……6 分 ∵ B?

7 s iA . n

(8 分 )

?
3

,∴

sin A ?

21 . (10 分) 14
, 则 B ? A , ∴ cos A ? 1 ? sin 2 A ?

又 b ? 7a ? a

5 7 14





tan A ?

sin A 3 . (12 分) ? cos A 5
由正弦定理, sin C ? 3sin A . 得 ……

解法三: c ? 3a , ∵ 6分 ∵

B?

?
3

, ∴ C ??

? ?

2? A ? B ? ? 3

. ? A



? 2? ? sin ? ? A ? ? 3sin A . ? 3 ?

……8 分

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sin

2? 2? cos A ? cos sin A ? 3sin A 3 3
……10 分





3 1 cos A ? sin A ? 3sin A 2 2
∴ tan A ?

sin A 3 . ……12 分 ? cos A 5

39.在 △ABC 中, ?A 最大, ?C 最小,且 ?A ? 2?C,a ? c ? 2b ,求此三角形三 边之比. 【答案】6:5:4 【解析】∵ A ? 2C ,∴sin A ? sin 2C ? 2sin C cos C . 由正、余弦定理得,∴ a 2b ? a 2c ? b2c ? c3 .∴ a (b ? c) ? c (b ? c ) .
2 2 2 2

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

∴(b ? c)(a 2 ? bc ? c 2 ) ? 0 .∴b ? c (舍)或 a 2 ? bc ? c 2 ? 0 .
又∵a ? c ? 2b ,∴ (2b ? c) ? bc ? c ? 0 .∴ b ?
2 2

5 3 c , a ? 2b ? c ? c . 4 2

3 5 ∴ a∶∶ ? c∶ c∶ ? 6 5 4 . b c c ∶∶ 2 4
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