上海市奉贤区2013届高三上学期期末教学质量调研数学试题

2012 学年第一学期奉贤区高三期末数学调研试卷
2013、1、17(一模) 1、关于 x 的方程 x 2 ? mx ? n ? 0?m, n ? R? 的一个根是 ? 3? 2i ,则 m ? _________. 2、函数 y ? sin 2 x ? sin 2x 的最小正周期为
2

一、填空题(56 分)



3、集合 M ? {x | lg x ? 0} , N ? {x | x ? 4},则 M ? N ? _________. 4、 设直线 l1 :ax ? 2 y ? 0 的方向向量是 d 1 , 直线 l 2 :x ? ?a ? 1?y ? 4 ? 0 的法向量是 n 2 , 若 d 1 与 n 2 平行,则 a ? _________. 5、 已知 x ? 0, y ? 0, 且

1 1 ? ? 1, 若 x ? y ? m 恒成立, 则实数 m 的取值范围是_________. x y
n ??

6、设无穷等比数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn,首项是 a1 ,若 limSn= 公比 q 的取值范围是 7、设函数 f ? x ? ? .

? 2? 1 ? , a1 ? ? 0, ? 2 ? ,则 a1 ? ?


x 为奇函数,则 a ? ?x ? 1??x ? sin a ?

?2 x ? my ? 5 8、关于 x 、 y 的二元线性方程组 ? 的增广矩阵经过变换,最后得到的矩阵为 ? nx ? y ? 2

2 m ? 1 0 3? ? . ? 0 1 1 ? ,则二阶行列式 n ? 1 = ? ? ? ? sin ?x, x ? 0, 5 9、 (理)已知函数 f ( x ) ? ? 那么 f ( ) 的值为 6 ? f ( x ? 1), x ? 0,
9、 (文)已知函数 f ( x) ? ?



?log2 x, x ? 0,
x

x ? 0. ?2 , ?? ? ?? ? 10、(理)函数 y ? sin ? ? x ? cos? ? x ? 的最大值为_________. ?2 ? ?6 ? ? ? ? ? 10、 (文)已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ), b ? ( 3,1), 则 | a ? b | 的最大值为_________.
11、 (理)设函数 f ? x ? 的反函数是 f 点 .
?1

若 f (a) ?

1 ,则 a ? _________. 2

? x ? ,且 f ?1 ?x ?1? 过点 ?1,2? ,则 y ? f ? x ? 1? 经过
?1 ? ? ?

11、文) ( 若函数 f ( x) ? log 2 ( x ? ) ? a 在区间 ? ,2 ? 内有零点, 则实数 a 的取值范围是___. 2 x 12 、 已 知 函 数 f ( x ) 是 (??, ??) 上 的 偶 函 数 , g ? x ? 是 (??, ??) 上 的 奇 函 数 ,

1

g ?x? ? f ?x ? 1? , g ?3? ? 2013 ,则 f ?2014 ? 的值为_________.

13、 (理)在平面直角坐标系 xOy 中,对于任意两点 P ( x1 ,y1 ) 与 P2 ( x2 ,y2 ) 的“非常距离” 1 给出如下定义:若 | x1 ? x2 |≥| y1 ? y2 | ,则点 P1 与点 P2 的“非常距离”为 | x1 ? x2 | , 若 | x1 ? x2 |?| y1 ? y2 | ,则点 P1 与点 P2 的“非常距离”为 | y1 ? y2 | . 3 已知 C 是直线 y ? x ? 3 上的一个动点,点 D 的坐标是(0,1) ,则点 C 与点 D 的“非常距 4 离”的最小值是_________.

13、文) ( 等轴双曲线 C 的中心在原点, 焦点在 x 轴上, 与抛物线 y 2 ? 16x 的准线交于 A, B C 两点, AB ? 4 3 ;则 C 的实轴长为____________. 14 、( 理 ) 设 函 数 f ( x)?

2? x

c o , {an } 是 公 差 为 x s

? 的 等 差 数 列 , 8


2 f (a1) ? f (a2 ) ????? f (a5 ) ? 5? ,则 [ f ( a3 )] ? a1a5 ?

14、 (文)椭圆

x2 y2 ? 2 ? 1?a ? 0? 的左焦点为 F ,直线 x ? m 与椭圆相交于点 A 、 B , 4a 2 3a 当 ?FAB 的周长最大时, ?FAB 的面积是____________.
)

二、选择题(20 分) 15、设 x ? R ,则“ | x ? 1 |? 1 ”是“ x ? 3 ”的 ( A.充分而不必要条件; B.必要而不充分条件; C.充分必要条件 ; D.既不充分也不必要条件;

16、已知函数 y ? sin ax ? b (a ? 0) 的图像如左图所示,则函数 y ? loga ( x ? b) 的图像可能 是( )

A.

B.

C.

D.

* 17、 (理)已知 S n 是等差数列 {an }( n ? N ) 的前 n 项和,且 S6 ? S7 ? S5 ,有下列四个命题,

假命题的是( ... A.公差 d ? 0 ;

) B.在所有 S n ? 0 中, S13 最大; D. a6 ? a7 ;

C.满足 S n ? 0 的 n 的个数有 11 个;

* 17、 (文)已知 S n 是等差数列 {an }( n ? N ) 的前 n 项和,且 S5 ? S6 , S6 ? S7 ? S8 ,则下

列结论错误的是 ( ) A. S 6 和 S 7 均为 S n 的最大值. C.公差 d ? 0 ;

B. a7 ? 0 ; D. S9 ? S5 ;

18、定义域是一切实数的函数 y ? f ?x ? ,其图像是连续不断的,且存在常数 ? ( ? ? R )使得

f ( x ? ? ) ? ? f ( x) ? 0 对任意实数 x 都成立,则称 f ( x ) 是一个“ ? —伴随函数” 有下 . 列关于“ ? —伴随函数”的结论:①f ( x ) ? 0 是常数函数中唯一一个“ ? —伴随函数” ; 1 ② “ —伴随函数”至少有一个零点. f ( x) ? x2 是一个“ ? —伴随函数” ;③ ;其中正确结 2
论的个数是 ( A.1 个; ) B.2 个; C.3 个; D.0 个;

三 、解答题(12+14+14+16+18=74 分)

19、已知集合 A ? x z ? ?x ? 2? ? 4i, x ? R, i是虚数单位 z ? 5 , ,

?

?

? ?3 x 2 ? ? ? x x ? 3, x ? R ? , a ? A? B , 集合 B ? ? x 2 ? 1 0 0 ? ? ? 求实数 a 的取值范围. (12 分)
2 ? cos(2 x ? ) ? sin 2 x 。 2 4

20、 (理) 设函数 f ( x) ?

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; 分) (7 ( 2 ) 设 函 数 g ( x) 对 任 意 x ? R , 有 g ( x?

?

, )? g ( x) 且 当 x ? [0, ] 时 , 2 2

?

g ( x) ?

1 (7 ? f ( x) ,求函数 g ( x) 在 [ ?? , 0] 上的解析式. 分) 2

20、 (文)设函数 f ( x) ?

3 sin 2? x ? cos 2 ? x ,其中 0 ? ? ? 2 ; 2 (1)若 f ( x ) 的最小正周期为 ? ,求 f ( x ) 的单调增区间; 分) (7
(2)若函数 f ( x ) 的图象的一条对称轴为 x ?

?
3

,求 ? 的值. 分) (7

21、某海域有 A 、 B 两个岛屿, B 岛在 A 岛正东 4 海里处。经多年观察研究发现,某种 鱼群洄游的路线是曲线 C ,曾有渔船在距 A 岛、 B 岛距离和为 8 海里处发现过鱼群。以

A 、 B 所在直线为 x 轴, AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系。
(1)求曲线 C 的标准方程; 分) (6 (2)某日,研究人员在 A 、 B 两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速 度相同) A 、 B 两岛收到鱼群在 P 处反射信号的时间比为 5 : 3 ,问你能否确定 P 处 , 的位置(即点 P 的坐标)?(8 分)

y

? A

O

? B

x

22、 (理)定义数列 An : a1, a2 ,?, an , (例如 n ? 3 时, A3 : a1 , a 2 , a 3 )满足 a1 ? an ? 0 ,
2 * 且当 2 ? k ? n ( k ? N )时, ( a k ? a k ?1 ) ? 1.令 S ( An ) ? a1 ? a2 ????? an .

(1) 写出数列 A5 的所有可能的情况; 分) (5 (2) 设 ak ? ak ?1 ? ck ?1 ,求 S ( Am ) (用 m, c1, ? , c m 的代数式来表示)(5 分) ; (3) 求 S ( Am ) 的最大值.(6 分)

n ?1 * 22、 (文)等比数列 ?c n ?满足 c n ?1 ? c n ? 10 ? 4 , n ? N ,数列 ?an ?满足 c n ? 2 ....

an

(1)求 ?an ?的通项公式; 分) (5 (2)数列 ?bn ? 满足 bn ?

(3)是否存在正整数 m, n ?1 ? m ? n ? ,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在, 求出所有 m, n 的值;若不存在,请说明理由. 分) (6

1 , Tn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和.求 limTn ; 分) (5 n ?? an ? an ?1

23、 (理)设函数 f ( x) ? x ?

(1)写出 f ?x? 的单调递减区间(不必证明)(4 分) ;

设点 P 是函数图像上的任意一点,过点 P 分别作直线 y ? x 和 y 轴的垂线,垂足分别为 M 、 . N

5 a 定义域为 ( 0, ? ?) ,且 f (2) ? . 2 x

(2)问: PM ? PN 是否为定值?若是,则求出该定值, 若不是,则说明理由; 分) (7 (3)设 O 为坐标原点,求四边形 OMPN 面积的最小值.(7 分)

23、 (文)设函数 f ( x) ? x ?

(1)写出 f ?x? 的单调递减区间(不必证明)(4 分) ;

设点 P 是函数图像上的任意一点,过点 P 分别作直线 y ? x 和 y 轴的垂线,垂足分别为 M 、 . N

5 a 定义域为 ( 0, ? ?) ,且 f (2) ? . 2 x

(2)设点 P 的横坐标 x 0 ,求 M 点的坐标(用 x 0 的代数式表示)(7 分) ; (3)设 O 为坐标原点,求四边形 OMPN 面积的最小值.(7 分)

2012 学年第一学期奉贤区高三期末数学调研试卷
参考答案 一、填空题(56 分) 1. m ? 6; 4. ? 2. ? 5. m ? 4 3. ?1,2?

2 3

?1 ? 6. ? ,1? ?2 ?
9.理 ?

7. 2k? ?

?
2

,k ?Z

8. ? 1

1 2

文 a ? ?1或 2 10.理

2? 3 4

11.理 ?3,0 ?
5 文 ?1, log 2 2 ? ? ? ? ?

12. 2013

文3 13. 理

8 7

14.理

13 2 ? 16

文4 二、选择题(20 分) 15.B 16. C

文 3a 2

17. 理 C

文D

18.A

三 、解答题(74 分)
2 19、解: ? x ? 2 ? ? 4 ? 25 2

1分

? 5 ? x ? 1,
?3 x 2 q: 2 x x ? 3 , ? x2 ? 2x ? 3 ? 0 ? 1 0 0 ? ?1 ? x ? 3 B ? ?? 1,3? A ? B ? ?? 1,1?

A ? ?? 5,1?

4分 6分

8分 10 分 12 分

?a ? 1 或 a ? ?1

20、 (理) f ?x ? ?
f ?x ? ?

? 1 ? cos2 x 2? 2 2 ? ?? ? 2 ? cos 2 x ? 2 ? sin 2 x ? 2 2 ? ?

2 分(1+1) 4分 5分 7分 9分

1 1 1 ? cos2 x cos2 x ? sin2 x ? 2 2 2 1 1 ? ? sin 2 x 2 2

(1)函数 f ( x ) 的最小正周期 T ? (2)当 x ? [0, 当 x ? [?

?
2

2? ?? 2

] 时, g ( x) ?

,0] 时, ( x ? ) ? [0, ] 2 2 2 ? 1 ? 1 g ( x) ? g ( x ? ) ? sin 2( x ? ) ? ? sin 2 x 2 2 2 2

?

?

1 1 ? f ( x) ? sin 2 x 2 2

?

11 分

当 x ? [?? , ?

) 时, ( x ? ? ) ?[0, ) 2 2 1 1 g ( x) ? g ( x ? ? ) ? sin 2( x ? ? ) ? sin 2 x 2 2

?

?

13 分

? 1 ? ? ? ?? 2 sin2 x ? ? 2 ? x ? 0 ? ? ? ? 得函数 g ( x) 在 [ ?? , 0] 上的解析式为 g ?x ? ? ? ? 1 sin2 x ? ? ? ? x ? ? ? ? ? ? ?2 2? ? ?
20、 (文) (1) f ( x) ?

14 分

令?

?
2

3 1 ? cos 2?x sin 2?x ? 2 2 ?? 1 ? ? sin ? 2?x ? ? ? . 6? 2 ? 2? ?T ? ? , ? ? 0,? ? ? ,?? ? 1. 2?

1分 3分 5分

? 2k? ? 2 x ?

?

6

?

?

2

? 2k? , k ? Z , 得, ?

?
3

? k? ? x ?

?
6

? k? , k ? z,
8分

所以, f (x ) 的单调增区间为: ?? (2)? f ( x) ? sin ? 2?x ?

? ? ? ? ? k? , ? k? ?, k ? Z . 6 ? 3 ?

? k? , k ? z. 3 6 2 3 1 ?? ? k ? . 2 2 1 1 又 0 ? ? ? 2 ,? ? ? k ? 1. ? k ? 0,?? ? . 3 2 ? ?

? 2? ?

?

? ?

?? 1

?

? ? 的一条对称轴方程为 . 6? 2 3

?

?

10 分 12 分 14 分

若学生直接这样做:? f ( x) ? sin ? 2?x ?

1 则得分为 11 分 . ?? ? . 3 6 2 2 21、解(1)由题意知曲线 C 是以 A 、 B 为焦点且长轴长为 8 的椭圆 3分 ? 2? ? ? ?
又 2c ? 4 ,则 c ? 2, a ? 4 ,故 b ? 2 3 5分

?

?

?

? ?

?? 1

? ? 的一条对称轴方程为 . 6? 2 3

?

所以曲线 C 的方程是

x2 y2 ? ?1 16 12

6分

(2)由于 A 、 B 两岛收到鱼群发射信号的时间比为 5 : 3 , 因此设此时距 A 、 B 两岛的距离分别比为 5 : 3 即鱼群分别距 A 、 B 两岛的距离为 5 海里和 3 海里。 设 P ( x, y ) , B ( 2,0) ,由 PB ? 3 ? 7分 8分 10 分

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 3 ,

?? x ? 2 ?2 ? y 2 ? 9 ? 2 y2 ?x , ? ?1 ? 16 12 ? ?? 4 ? x ? 4 ?
? x ? 2, y ? ?3 ? 点 P 的坐标为 ?2,3? 或 ?2,?3?
14 分

12 分

13 分

22(理)解:(1)由题设,满足条件的数列 A5 的所有可能情况有: (1) 0,1,2,1,0. ; (3) 0,1,0,?1,0. ; (5) 0,?1,0,1,0. ; (2) 0,1,0,1,0. ; (4) 0,?1,?2,?1,0.; (6) 0,?1,0,?1,0.;

2 个起评,对 2 个 1 分,3 个 2 分,4 个 3 分,5 个 4 分,6 个 5 分
2 (2) ak ? ak ?1 ? ck ?1 ,由 ( a k ? a k ?1 ) ? 1,

则 ck ?1 ? 1 或 ck ?1 ? ?1 ( 2 ? k ? n , k ? N ) ,
*

6分

a2 ? a1 ? c1 , a3 ? a2 ? c2 ,

?

an ? an?1 ? cn?1 ,
所以 an ? a1 ? c1 ? c2 ??? cn?1 . 因为 a1 ? an ? 0 ,所以 c1 ? c2 ??? cn?1 ? 0 ,且 n 为奇数, 7分 8分 9分

c1, c2 ,?, cn?1 是由

n ?1 n ?1 个1和 个 ? 1 构成的数列. 2 2

所以 S ?Am ? ? c1 ? ?c1 ? c2 ? ? ?? ?c1 ? c2 ? ?? cm?1 ?

? (m ?1)c1 ? (m ? 2)c2 ? ?? 2cm?2 ? cm?1 .
(3) 则当 c1 , c2 ,?, cm?1 的前

10 分

m ?1 m ?1 项取 1 ,后 项取 ? 1 时 S ? Am ? 最大, 12 分 2 2
2

m ?1 ? m ?1 ? ?m ? 1? ?? ?? ? 2 ? 1? ? 此时 S ? Am ? ? ?m ? 1? ? ?m ? 2 ? ? ? ? 14 分 2 4 ? 2 ?
证明如下: 假设 c1 , c2 ,?, cm?1 的前

m ?1 项中恰有 t 项 cm1 , cm2 ,? , cmt 取 ? 1 ,则 2 m ?1 m ?1 项中恰有 t 项 cn1 , cn2 ,? cnt 取 1 ,其中 1 ? t ? , c1 , c2 ,?, cm?1 的后 2 2 m ?1 n ?1 , 1 ? mi ? ? ni ? m ? 1 , i ? 1, 2,?, t . 2 2

所以

S?Am ? ? (m ?1)c1 ? (m ? 2)c2 ? ?? 2cm?2 ? cm?1 .
m ?1 m ?1 c m?1 ? c m?1 ? ? ? 2cm?2 ? cm?1 2 2 2 2

? ?m ? 1?c1 ? ?m ? 2?c2 ? ? ?
? ?m ? 1? ? ?m ? 2? ? ? ?

m ?1 ? m ?1 ? ?? ?? ? 2 ? 1? 2 ? 2 ?

? 2?(m ? m1 ) ? (m ? m2 ) ? ?? (m ? mt ? ? 2?(m ? n1 ) ? (m ? n2 ) ? ?? (m ? nt )?
?

?m ? 1?2
4

? 2?(n1 ? m1 ) ? ?n2 ? m2 ? ? ? ? ?nt ? mt ?? ?

?m ? 1?2 .
4

16 分

所以 S ( Am

?m ? 1?2 ) 的最大值为
4



22、解: (1)解: c1 ? c2 ? 10, c2 ? c3 ? 40 ,所以公比 q ? 4

2分 3分 4分 5分

c1 ? 4c1 ? 10 计算出 c1 ? 2
c n ? 2 ? 4 n ?1 ? 2 2 n ?1

? an ? 2n ? 1
(2) bn ?

1? 1 1 ? 6分 ? ? ? 2 ? 2n ? 1 2 n ? 1 ? 1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? n ? 1 ? 于是 Tn ? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8分 ?? ? 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ? 2n ? 1 1 10 分 limTn = n ?? 2 (3)假设否存在正整数 m, n ?1 ? m ? n ? ,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列,则
? m ? 1 n , ? ? ? ? ? 2m ? 1 ? 3 2n ? 1 3 ?2m 2 ? 4m ? 1 ? 0, 可得 ? n m2 6 6 由分子为正,解得 1 ? , ? m ? 1? 2 2 由 m ? N ? , m ? 1,得 m ? 2 ,此时 n ? 12 , 当且仅当 m ? 2 , n ? 12 时, T1 , Tm , Tn 成等比数列。
2

12 分

16 分

说明:只有结论, m ? 2 , n ? 12 时, T1 , Tm , Tn 成等比数列。若学生没有说明理由, 则只能得 13 分 23、解: (1) 、因为函数 f ( x) ? x ? 所以

a 5 的图象过点 A(2, ) , x 2
2分 4分 5分

5 a ? 2? ? a ?1 2 2 函数 f ( x ) 在 ( 0,1) 上是减函数.
(2)(理)设 P? x0 , x0 ? 、 ? 直线 PM 的斜率 ? 1

? ?

1? ? x0 ? ?

则 PM 的方程 y ? ? x0 ? ?

? ?

1? ? ? ??x ? x0 ? x0 ? ?

6分

?y ? x ? 联立 ? ? 1 ? ? ??x ? x0 ? ? y ? ? x0 ? x ? ? ? 0 ? ? ? ? 1 1 ? ? M ? x0 ? , x0 ? ? 2 x0 2 x0 ? ? ?

9分

? 1? N ? 0, x0 ? ? ? x0 ? ? ? ?1 1? 1 PA ? ? ,? ?, PB ? ?? x0 ,0? ,? PA? PB ? ? ?x ? 2 ? 0 x0 ?
(2)(文)设 P? x0 , x0 ? 、 ? 直线 PM 的斜率为 ? 1 则 PM 的方程 y ? ? x0 ? ?

11 分 5分 6分

? ?

1? ? x0 ? ?

? ?

1? ? ? ??x ? x0 ? x0 ? ?

7分

?y ? x ? 联立 ? ? 1 ? ? ??x ? x0 ? ? y ? ? x0 ? x ? ? ? 0 ? ? ?

8分

? 1 1 ? ? M ? x0 ? , x0 ? ? 2 x0 2 x0 ? ? ?
3、

11 分

PM ?

x0 ? y 0 2

?

1 2 x0

12 分 13 分

? 1 ? ? OM ? 2 ? x0 ? ? 2 x0 ? ? ? ? ? 1 1 ? 1 1? 1 ? ? ?? ∴ S ?OPM ? ? 2 ? ? x0 ? ? ? 2 x ? 2 ? 2 x 2 ? 1? , 2 2 x0 ? ? 0 ? 0 ? ? 1? N ? 0, x0 ? ? ? x0 ? ? ?

14 分

S ?OPN ?

1 ? 1? 1 2 1 ? ? x0 ? ? ? x0 ? x0 ? , 2 ? x0 ? 2 2 ? ? 1 2 1 ) ? 1, ∴ S OMPN ? S ?OPM ? S ?OPN ? ( x0 ? 2 2 2 x0
S O M P N 1? ? 2 2
17 分

15 分 16 分

当且仅当 x0 ? 4

1 时,等号成立. 2
2 . 2
18 分

∴此时四边形 OMPN 面积有最小值 1?


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