惠州市2014-2015学年第一学期高二期末考试_数学_试题(文科)

惠州市 2014-2015 学年第一学期期末模拟考试 高二数学(文科)试题
说明:1、全卷满分 150 分,时间 120 分钟。 2、答卷前,考生将自己的学校、班级、姓名、试室号、座位号,填写在答题卷上。 3、考试结束后,考生将答题卷交回。 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的。 ) 1.双曲线 A.20

y2 x2 ? 1 的焦距等于( 36 64
B.16

) . C.12 D.8

2.某企业为了监控产品质量,从产品流转均匀的生产线上每间隔 30 分钟抽取 2 个产品作 为样本进行检测,这种抽样方法是( A.抽签法 B.随机数表法 ) . C.分层抽样法 ) . D.系统抽样法

x 3.已知函数 f ( x) ? 2 ? lnx ,则 f '( x) ? (

A. 2 x ? ln(2 ? x) ?

2x x

B. 2 x ? ln 2 x ?

2x x

2x C. ln 2 ? 2 ? ln x ? x
x

ln 2 ? 2 x D. x

4.已知点 F 是抛物线 y ? 8x 的焦点,点 P 在该抛物线上,且点 P 的横坐标是 2 ,
2

则 | PF | =( A.2

) . B.3 C.4 D.5

5.已知事件 A 与事件 B 发生的概率分别为 P ( A) 、 P ( B ) ,有下列命题: ①若 A 为不可能事件,则 P( A) ? 0 . ②若 A 与 B 对立,则 P( A) ? P( B) ? 1.

③若 A 与 B 互斥,则 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) . 其中真命题有( A.0 B.1 )个. C.2 D.3
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6. “ a ? 0 ”是“方程 y 2 ? ax 表示的曲线为抛物线”的( A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 ).

)条件. D.既不充分也不必要

7.命题“ ?x ? R, 2x2 ? 1 ? 0 ”的否定是( A. ?x ? R, 2x2 ? 1 ? 0 C. ?x0 ? R, 2x02 ? 1 ? 0

B. ?x0 ? R, 2x02 ? 1 ? 0 D. ?x0 ? R, 2x02 ? 1 ? 0 ) .
开始 输入 a

8.函数 y ? ? x3 ? x 2 ? x 的单调递减区间为(

? 1 ? A. ? ? , 1 ? 3 ? ? ? ? 1? ?

1? ? B. ? ??, ? ? 和?1 , +? ? 3? ?
D. ? ?1 ,?

p ? 10 , q ? 1 , n ? 1
p?q
是 否 输出 n 结束

C. ? ??, ? ? ? ?1 , +? ? 3

? ?

1? 3?

9.执行右边的程序框图,如果输入 a ? 5 , 那么输出 n ? ( A.2 10. 已知椭圆 B.3 ). C.4 D.5

p ? p?a
q ? q?a

n ? n?2

x2 y 2 ? ? 1 (0 ? b ? 4) , 左右焦点分别为 F 过F F2 , 1, 1 的直线交椭圆于 A, B 16 b2
) .

两点,若 | AF2 | ? | BF2 | 的最大值为 10,则 b 的值是( A. 2 3 B. 2 2 C. 3 D. 6

二、填空题:(本大题共 4 题,每小题 5 分,共 20 分.请将答案填写在答卷相应位置上.) 11.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程为 36 64

. .

12.样本 ?2 , ?1 , 0 , 1 , 2 的标准差为

? ? 0.8 x ? 0.2 (单位: 13.某城市近 10 年居民的年收入 x 与支出 y 之间的关系大致符合 y
亿元) ,预计今年该城市居民年收入为 20 亿元,则年支出估计是 14.函数 f ( x) ? x3 ? 3x2 ?1 在 x ? 1 处的切线方程是
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亿元. .
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三、解答题:(本大题 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15. (本小题满分 12 分) 某社团组织 20 名志愿者利用周末和节假日参加社会公益活动,志愿者中,年龄不超 过 18 岁的共青团员有 12 人,年龄大于 18 岁的党员有 8 人. (1)在志愿者中用分层抽样方法随机抽取 5 名,年龄大于 18 岁的党员应该抽取几名? (2)上述抽取的 5 名志愿者中任取 2 名,求取出的 2 人中恰有 1 人为共青团员的概率

16. (本小题满分 12 分) 已知 ?1 ? x ? 1 , ?1 ? y ? 1 ,点 P 的坐标为 ( x, y ) . (1)求当 x, y ? R 时,点 P 满足 ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 1 的概率; (2)求当 x, y ? Z 时,点 P 满足 ( x ?1) ? ( y ?1) ? 1 的概率.
2 2

17. (本小题满分 14 分)
2 2 设命题 p :实数 x 满足 x ? 3ax ? 2a ? 0 ,其中 a ? 0 ;

命题 q :实数 x 满足 x ? 5 x ? 6 ? 0 ;
2

(1)若 a ?

3 ,且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; 2

(2)若 p 是 q 成立的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.

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18. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 , 直 线 l : y ? ? x? 2 与 圆 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的 离 心 率 为 2 a b 3

x2 ? y 2 ? b 2相切.
(1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 C 的交点为 A, B ,求弦长 | AB | .

19. (本小题满分 14 分) 已知 f ( x) ? ax3 ? bx ? c 图象过点 (0, ?2) ,且在 x ? 1 处的切线方程是 y ? ?3x ? 1 . (1)求 y ? f ( x) 的解析式; (2)若 g ( x) ? f ( x) ? 3x ,求 g ( x) 在区间 ? ?2, 2? 上的最大值和最小值.

20. (本小题满分 14 分) 已知动直线 l 与椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 交于 P ? x1 , y1 ? 、 Q ? x2 , y2 ? 两个不同的点,且 2 3

△ OPQ 的面积 S?OPQ =
2 2

6 ,其中 O 为坐标原点. 2
2 2

(1)证明 x1 ? x2 和 y1 ? y2 均为定值; (2)设线段 PQ 的中点为 M ,求 | OM | ? | PQ | 的最大值;

(3)椭圆 C 上是否存在点 D, E, G ,使得 S?ODE ? S?ODG ? S?OEG ? 若存在,判断△ DEG 的形状;若不存在,请说明理由.

6 ? 2

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惠州市 2013-2014 学年第一学期期末考试 高二数学(文科)试题答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 A 2 D 3 C 4 C 5 D 6 C 7 B 8 B 9 D 10 A

1. 【解析】由 c ? a2 ? b2 ? 64 ? 36 ? 10 ,所以焦距为 20.∴选 A. 2. 【解析】因为间隔相同,所以是系统抽样法,∴选 D. 3. 【解析】 f ( x) ? 2x ? ln x ,则 f '( x) ? 2 ? ln 2 ? ln x ? 2 ?
x x

1 ,∴选 C. x

4. 【解析】抛物线 y 2 ? 8x 知

p p ? 2 , | PF |? xP ? ? 2 ? 2 ? 4 ,∴选 C. 2 2

5. 【解析】由概率的性质知①②③为真命题,∴选 D. 6. 【解析】当且仅当 a ? 0 时,方程 y 2 ? ax 表示的曲线为抛物线,∴选 C. 7. 【解析】 “ ?x ? R, 2x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x0 ? R, 2x02 ? 1 ? 0 ”,∴选 B.
2

8. 【解析】 y ? ? x3 ? x2 ? x ? y ' ? ?3x2 ? 2x ? 1, y ' ? 0 ? 3x2 ? 2 x ?1 ? 0

1 1? ? ? (3x ? 1)( x ? 1) ? 0 ? x ? ? 或x ? 1 ,单调递减区间为 ? ??, ? ? 和?1, +? ? , 3 3? ?
∴选 B. 9. 【解析】 a ? 5 ,进入循环后各参数对应值变化如下表:

p

15 5 3

20 25 5

结束

q

n
∴选 D.

10. 【解析】∵ |AF1|+|AF2|=8,|BF1|+|BF2|=8,∴ △ AF2B 的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=16; 若|AB|最小时,|BF2|+|AF2|的最大,又当 AB⊥ x 轴时,|AB|最小,
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此时|AB|=

2b 2 2b 2 2b 2 ? ? 10 ? b ? 2 3 .∴选 A. ,故 16 ? a 4 4

二、填空题:(本大题共 4 题,每小题 5 分,共 20 分.) 11. y ? ?

4 x 3

12.

2

13.16.2

14. y ? 9 x ? 6 ( 9 x ? y ? 6 ? 0 )

11. 【解析】

x2 y 2 x2 y 2 4 ? 0? y ? ? x. ? ? 1 的渐近线方程为 ? 36 64 3 36 64
2

12. 【解析】 s ?

(?2 ? 0)2 ? (?1 ? 0) 2 ? (0 ? 0) 2 ? (1 ? 0) 2 ? (2 ? 0) 2 ? 2 . s ? s2 ? 2 5

13. 【解析】

y ? 0.8 ? 20 ? 0.2 ? 16.2

14. 【解析】 f '( x) ? 3x2 ? 6x ,在 x ? 1 处的切线斜率 k ? 3 ? (1)2 ? 6 ? (1) ? 9 又∵ f (1) ? (1)3 ? 3 ? (1)2 ?1 ? 3 ,切点为 ?1,3? , 所以切线方程为 y ? 3 ? 9( x ? 1) 化简得 y ? 9 x ? 6,即9 x ? y ? 6 ? 0 三、解答题:(本大题共 6 题,满分 80.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15. (本小题满分 12 分) 解:解:(1)若在志愿者中随机抽取 5 名,则抽取比例为 ∴年龄大于 18 岁的党员应该抽取 8 ?

5 1 ? ?????????2 分 20 4
???????????4 分

1 ? 2 人. 4

(2)上述抽取的 5 名志愿者中,年龄不超过 18 岁的共青团员有 3 人,记为 1,2,3 年龄大于 18 岁的党员有 2 人,记为 4,5,?????????????????6 分 从中任取 2 名,所有可能的基本事件为:

(1, 2), (1,3),(1, 4),(1,5), (2,3),(2, 4),(2,5) (3, 4),(3,5),(4,5) ,共 10 种,?8 分
其中恰有 1 人为共青团员的事件有

(1, 4),(1,5), (2, 4),(2,5) (3, 4),(3,5) ,共 6 种,????????????10 分
∴恰有恰有 1 人为共青团员的概率 P ?

6 3 ? .?????????????12 分 10 5
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16. (本小题满分 12 分) 解: (1)点 P 所在的区域为正方形 ABCD 的内部(含边界) ,?????(1 分) 满足 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 的点的区域为以 (1,1) 为圆心, 1 为半径的圆面(含边界) . ????????(3 分) ??????????(5 分)

1 ? ? 12 ? 4 ? . ?所求的概率 P 1 ? 2? 2 16

(2)满足 x, y ? Z ,且 ?1 ? x ? 1 , ?1 ? y ? 1 的整点有 9 个 ????(8 分) 满足 x, y ? Z ,且 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 的整点有 3 个,?????(11 分)

1 ?所求的概率 P2 ? . 3
17. (本小题满分 14 分) 解
2 2

????????????(12 分)

(1)由 x ? 3ax ? 2a ? 0 得 ( x ? 2a) ? ( x ? a) ? 0 .???????????1 分 又 a ? 0 ,所以 a ? x ? 2a ,???2 分 当a ?

3 3 3 时, ? x ? 3 ,即 p 为真命题时,实数 x 的取值范围是 ? x ? 3 ??4 分 2 2 2

2 由 x ? 5x ? 6 ? 0 得 2 ? x ? 3 .

所以 q 为真时实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 .?????????????6 分 若 p ? q 为真,则 2 ? x ? 3 ,所以实数 x 的取值范围是 ? 2,3? .?????8 分 (2) 设 A ? ?x | a ? x ? 2a? , B ? ?x | 2 ? x ? 3? ?????????????10 分

p 是 q 的必要不充分条件,则 A × B ????????????????12 分
所以 ?

?0 ? a ? 2 3 3 ? ? a ? 2 ,所以实数 a 的取值范围是 ( , 2) .???14 分 2 2 ? 2a ? 3

18. (本小题满分 12 分) 解: (1)又由直线 l : y ? ? x ? 2 与圆 x2 ? y 2 ? b2 相切得 b ?

|0+0 ? 2| 12 ? 12

? 2 ,?2 分

由e ?

3 2 3 ? 1 ? 2 ? a ? 3 ,????????????? 4 分 得 3 3 a
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∴ 椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 ???????????????????6 分 3 2

? x2 y 2 ?1 ? ? (2) ? 3 ? 2 x 2 ? 3( x ? 2)2 ? 6 ? 0 ? 5x2 ? 12 x ? 6 ? 0 ????8 分 2 ? y ? ?x ? 2 ?
2 ?? (-12) ? 4 ? 5 ? 6 ? 24 ,设交点 A, B 坐标分别为 ? x1, y1 ? , ? x2 , y2 ? ???9 分

则 x1 ? x2 ?

12 6 , x1 ? x2 ? , ???????????????????11 分 5 5
2 2

6 4 3 ? 12 ? 从而 | AB |? 1 ? 1 ? ? ? ? 4 ? ? 5 5 ? 5?
所以弦长 | AB |?

4 3 ??????????????????????14 分 5

19. (本小题满分 14 分) 解: (1) f (0) ? ?2 ? c ? ?2 ,??????????????????1 分

f '( x) ? 3ax2 ? b ,∴ f '(1) ? 3a ?1? ? b ,∴ 3a ? b ? ?3 ????3 分
2

又∵切点为 (1, ?4) ,∴ f (1) ? a ? b ? 2 ? ?4 ?????????5 分

1 3 , b ? ? ??????????????????6 分 2 2 1 3 3 ∴ f ( x) ? ? x ? x ? 2 ??????????????????7 分 2 2 1 3 3 3 2 3 3 2 (2) g( x) ? ? x ? x ? 2 ? g '( x) ? ? x ? = ? ( x ? 1) ,???????8 分 2 2 2 2 2
联立可得 a ? ? 令 g'( x) ? 0 ? x2 ?1 ? 0 ? x ? ?1 , 令 g'( x) ? 0 ? x2 ?1 ? 0 ? ?1 ? x ? 1 , 令 g'( x) ? 0 ? x2 ?1 ? 0 ? x ? ?1 或 x ? 1 ,????????????10 分

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x
f ?( x) f ( x)

?2

? ?2, ?1?


?1
0

? ?1,1?
+ ↗

1 0

?1, 2?
- ↘

2

?1



?3

?1

?3
???12 分

由上表知,在区间 ? ?3,3? 上,当 x ? ?2 或 1 时, ymax ? f (?2) ? ?1 当 x ? 2 或 ?1 时, ymin ? f (2) ? ?3 ??????14 分 20. (本小题满分 14 分) 解: (1)当直线 l 的斜率不存在时,P,Q 两点关于 x 轴对称,所以 x2 ? x1 , y2 ? ? y1. 因为 P( x1 , y1 ) 在椭圆上,因此

x12 y12 ? ?1 2 3



又因为 S ?OPQ ?

6 6 , 所以 | x1 | ? | y1 |? . 2 2



由①、②得 | x1 |? 1,| y1 |?

6 2 2 . 此时 x12 ? x2 ? 2, y12 ? y2 ? 3, ????? 2 分 2

当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m, 由题意知 m ? 0 ,将其代入

x2 y 2 ? ? 1 ,得 (3 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2(m2 ? 3) ? 0 , 2 3
2 2

2 2 2 2 其中 ? ? 16k m ? 8(3 ? 2k )(m ? 3) ? 0, 即 2k ? 3 ? m ?(*)

又 x1 ? x2 ? ?

4km 2(m2 ? 3) , x x ? , 1 2 3 ? 2k 2 3 ? 2k 2
2 2 2

所以 | PQ |? 1 ? k ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? 1 ? k ? 因为点 O 到直线 l 的距离为 d ?

2 6 2k 2 ? 3 ? m2 , 3 ? 2k 2

|m| 1? k 2 ,
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所以 S ?OPQ ?

1 1 2 6 2k 2 ? 3 ? m2 | m | | PQ | ?d ? 1? k 2 ? ? 2 2 3 ? 2k 2 1? k 2

?

6 | m | 2k 2 ? 3 ? m2 3 ? 2k 2

又 S ?OPQ ?

6 , 整理得 2k 2 ? 3 ? 2m2 , 且符合(*)式, 2
2 2

此时 x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? (?
2
2 y12 ? y2 ?

4km 2 2(m2 ? 3) ) ? 2 ? ? 2, 3 ? 2k 2 3 ? 2k 2

3 3 3 2 2 (2 ? x12 ) ? (2 ? x2 ) ? 6 ? ( x12 ? x2 )?3 2 2 2

2 2 2 综上所述, x1 ? x2 ? 3; y12 ? y2 ? 2, 结论成立。????????? 5 分

(2)解法一: (1)当直线 l 的斜率不存在时,由(I)知 | OM |?| x1 |? 1,| PQ |? 2 | y1 |? 2 ? 因此 | OM | ? | PQ |? 6 ?1 ? 6. ??????????????? 6 分 (2)当直线 l 的斜率存在时,由(I)知

6 = 6, 2

x1 ? x2 k ?? , 2 m

y1 ? y2 x1 ? x2 k2 ?k 2 ? m 2 3 ? k( )?m ? ? ?m ? ? , 2 2 m m 2m x ?x y ?y k2 9 4k 2 ? 9 3 3 4 1 | OM |2 ? ( 1 2 ) 2 ? ( 1 2 ) 2 ? 2 ? ? ? 1? ? ( ? 2 ), 2 2 2 2 2 m 4m 4m 4m 4 3 m 2 2 2 24(2k ? 3 ? m ) 3(m ? 1) 1 | PQ |2 ? (1 ? k 2 ) ? ? 3(2 ? 2 ), 2 2 2 (3 ? 2k ) m m
所以 | OM | ? | PQ | ?
2 2

3 4 1 1 ( ? 2 ) ? 3(2 ? 2 ) 4 3 m m

4 1 1 ? ?2? 2 9 4 1 1 9 3 m2 m )2 ? 25 . ? ( ? 2 ) ? (1 ? 2 ) ? ( 4 3 m m 4 2 4 5 4 1 1 所以 | OM | ? | PQ |? ,当且仅当 ? 2 ? 2 ? 2 , 即m ? ? 3 时,等号成立. 2 3 m m 5 综合(1) (2)得 | OM | ? | PQ | 的最大值为 . ????????????? 9 分 2
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解法二:因为 4 | OM |2 ? | PQ |2 ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2
2 2 ? 2[( x12 ? x2 ) ? ( y12 ? y2 )]

? 10.
4 | OM |2 ? | PQ |2 10 ? ? 5. 所以 2 | OM | ? | PQ |? 2 2
5 , 当且仅当 2 | OM |?| PQ |? 5 时等号成立。 2 5 因此 | OM | ? | PQ | 的最大值为 . ??????????????????? 9 分 2
即 | OM | ? | PQ |? (3)椭圆 C 上不存在三点 D,E,G,使得 S?ODE ? S?ODG ? S?OEG ?

6 . ? 10 分 2 6 , 2

证明:假设存在 D(u, v), E( x1 , y1 ), G( x2 , y2 ) 满足 S?ODE ? S?ODG ? S?OEG ?
2 2 2 由(I)得 u 2 ? x1 ? 2, u2 ? x2 ? 2, x12 ? x2 ? 2; 2 2 v2 ? y12 ? 3, v2 ? y2 ? 3, y12 ? y2 ? 3,

解得 u ? x1 ? x2 ? 1; v ? y1 ? y2 ?
2 2 2 2 2 2

3 . 2

所以 u, x1 , x2 只能从中 ?1 选取, v, y1 , y2 只能从 ?

6 中选取, 2

因此 D,E,G 只能在 ( ?

6 , ?1) 这四点中选取三个不同点, 2

而这三点的两两连线中必有一条过原点, 与 S?ODE ? S?ODG ? S?OEG ?

6 矛盾, 2

所以椭圆 C 上不存在满足条件的三点 D,E,G. ??????? 14 分

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