2016届高三数学一轮复习 第6篇 第4节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件 理_图文

第4节

二元一次不等式(组)与简单的
线性规划问题

最新考纲 1.会从实际情境中抽象出二元 一次不等式组. 2.了解二元一次不等式的几何 意义,能用平面区域表示二元一 次不等式组.

3.会从实际情境中抽象出一些 简单的二元线性规划问题,并 能加以解决.

编写意图

线性规划问题是高考考查的热点.常以选择题、填空题

形式出现,本节重点突出求线性目标函数的最值,由平面区域的面积 求参数,由最值或最优解求参数或参数取值范围以及数形结合思想 的运用;难点突破线性规划的实际应用及利用几何意义求非线性规 划问题,课时训练以考查基本题型、基本方法为主,在线性规划命题

中,逆向思维及向量与其他知识交汇趋势加强,应重视.

夯基固本

考点突破 多维审题

夯基固本
知识梳理
1.二元一次不等式(组)的解集

抓主干

固双基

满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的 有序数对(x,y) ,叫做 二元一次不等式(组)的解,所有这样的 有序数对(x,y) 构成的集合称 为二元一次不等式(组)的解集. 2.二元一次不等式(组)表示的平面区域 (1)在平面直角坐标系中二元一次不等式(组)表示的平面区域 不等式 Ax+By+C>0 表示区域 直线Ax+By+C=0某一侧的所有 点组成的平面区域(半平面) 不包括 边界 . 包括 边界 . .

Ax+By+C≥0
不等式组

各个不等式所表示平面区域的 公共部分

(2)平面区域的确定 对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点,把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得 的符号都 相同 ,所以只需在此直线的同一侧取某个特殊点(x0,y0)作为 测试点,由Ax0+By0+C的符号即可断定Ax+By+C>0表示的是直线Ax+By+C=0哪 一侧的平面区域. 3.线性规划的有关概念
名称 约束条件 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 意义 由变量x、y组成的 不等式(组) . 由x、y的 一次 不等式(或方程)组成的不等式组 欲求 最大值 或 最小值 的函数 关于x、y的 一次 解析式 满足 线性约束条件 的解(x,y) 所有 可行解 组成的集合 使目标函数取得 最大值 或 最小值 的可行解

可行解
可行域 最优解 线性规划问题

在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

质疑探究:最优解一定唯一吗?
(提示:不一定.当线性目标函数对应的直线与可行域多边形的一条 边平行时,最优解可能有多个甚至无数个)

基础自测
1.若点(m,1)在不等式 2x+3y-5>0 所表示的平面区域内,则 m 的取值范围 是(

D

) (B)(-∞,1] (D)(1,+∞)

(A)[1,+∞) (C)(-∞,1)

解析:由题意得2m+3-5>0,解得m>1.故选D.

? x ? y ? 2, ? 2.不等式组 ?2 x ? y ? 4, 所围成的平面区域的面积为( ?x ? y ? 0 ?

D

)

(A)3 2

(B)6 2

(C)6

(D)3

解析:不等式组表示的平面区域为图中 Rt△ABC,易求 B(4,4),A(1,1),C(2,0) ∴S△ABC=S△OBC-S△AOC= 选 D.
1 1 ×2×4- ×2×1=3.故 2 2

3.下列命题 ①二元一次不等式 Ax+By+C>0 表示的平面区域是直线 Ax+By+C=0 的上方区域. ②点(x1,y1),(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0 同侧的充要条件是 (Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)>0,异侧的充要条件是 (Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)<0. ③线性目标函数取得最值的点一定在区域的顶点或者边界上. ④第二、四象限表示的平面区域可以用不等式 xy<0 表示. C 其中正确的命题个数是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:当A>0,B<0时,Ax+By+C>0表示的平面区域是直线Ax+By+C=0的下 方区域,故①不正确,②、③、④均正确.故选C.

? x ? y ? 7 ? 0, ? 4.(2014 高考新课标全国卷Ⅱ)设 x,y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 1 ? 0, 则 ?3x ? y ? 5 ? 0 ?

z=2x-y 的最大值为( (A)10 (B)8

B

) (D)2

(C)3

解析: 画出可行域如图所示,目标函数 z=2x-y 斜率为 k=2,如图 当直线过点 A(5,2)时,z 最大, ∴zmax=2×5-2=8.故选 B.

5.某实验室需购买某种化工原料106千克,现有市场上该原料的两种包
装,一种是每袋35千克,价格为140元;另一种是每袋24千克,价格为120 元,在满足需要的条件下,最少需花费 元.

解析:把实际问题转化为数学问题,设需要 35 千克的 x 袋,24 千 克的 y 袋,最少需花费 z 元,
?35 x ? 24 y ? 106, ? 由题意,得 ? x ? N, 求 z=140x+120y 的最小值. ? y ? N. ?

当 x=0 时,则 y≥

53 , 12

则y=5时,z=600,
当x=1,y=3时,z=500, 当x=2,y=2时,z=520, 当x=3,y=1时z=540, 当x=4,y=0时z=560, 综上得当x=1,y=3时,花费最少. 答案:500

考点突破
考点一

剖典例

找规律

二元一次不等式(组)表示的平面区域
)

? x ? 0, ? 【例 1】 (1)不等式组 ? x ? 3 y ? 4, 所表示的平面区域的面积等于( ?3x ? y ? 4 ?

(A) (C)

3 2 4 3

(B) (D)

2 3 3 4

(2)不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表 示)大致是( )

? x ? 0, ? (3)(2014 山西忻州一模)不等式组 ? x ? y ? 3, 表示的平面区域为Ω ,直 ?y ? x ?1 ?

线 y=kx-1 与区域Ω 有公共点,则实数 k 的取值范围为( (A)(0,3] (C)(-∞,3] (B)[-1,1] (D)[3,+∞)

)

解析:(1)由题得不等式组表示的平面区域如图阴影部分,A(0, B(1,1),C(0,4),则△ABC 的面积为
1 8 4 ×1× = .故选 C. 2 3 3

4 ), 3

? x ? 2 y ? 1 ? 0, ? x ? 2 y ? 1 ? 0, (2)(x-2y+1)(x+y-3)≤0,即 ? 或? 与选项 C 符合. ? x ? y ? 3 ? 0, ? x ? y ? 3 ? 0,
故选 C. (3)直线 y=kx-1 过定点 M(0,-1),由图可知,当直线 y=kx-1 经过直线 y=x+1 与直线 x+y=3 的交点 C(1,2)时,k 最小,此时 kCM= ∈[3,+≦).故选 D.
2 ? ? ?1? 1? 0

=3,因此 k≥3,即 k

反思归纳

(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方

法是:“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点并代 入不等式(组).若满足不等式(组),则不等式(组)表示的平面区 域为直线与特殊点同侧的那部分区域;否则就对应于特殊点异侧 的平面区域. (2)当不等式中带等号时,边界为实线,不带等号时,边界应画为 虚线,特殊点常取原点.

考点二

目标函数的最值问题

? y ? 2 x, ? 【例 2】 (1)(2013 高考湖南卷)若变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则 x+2y 的最大 ? y ? ?1, ?

值是( (A)5 2

) (B)0 (C)
5 3

(D)

5 2

? x ? y ? a, (2)(2014 高考新课标全国卷Ⅰ)设 x,y 满足约束条件 ? 且 z=x+ay 的最小 ? x ? y ? ?1,
值为 7,则 a 等于( (A)-5 (B)3 ) (C)-5 或 3 (D)5 或-3

? x ? y ? 1 ? 0, (3)(2014 高考山东卷)已知 x,y 满足约束条件 ? 当目标函 ?2 x ? y ? 3 ? 0,
2 2 数 z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值 2 5 时, a +b 的最

小值为( (A)5

) (B)4 (C) 5 (D)2

? x ? 1, y ?1 ? (4)(2015 成都七中月考)实数 x,y 满足 ? y ? 0, 则 z= 的取值范 x ? x ? y ? 0, ?

围是(

) (B)(-∞,0] (D)[-1,1)

(A)[-1,0] (C)[-1,+∞)

解析:(1)根据不等式组作出可行域,如图中阴影部分, 令 z=x+2y, 平行移动直线 y=1 1 x+ z, 2 2

可知该直线经过 y=2x 与 x+y=1 的交
1 2 点 A( , )时,z 有最大值为 3 3 1 4 5 + = .故选 C. 3 3 3

a ?1 ? x ? , ? ? x ? y ? a, ? 2 (2)由 ? 得? ? x ? y ? ?1 ? y ? a ? 1 , ? 2 ?

将(

a ?1 a ? 1 a ?1 a ?1 , )代入 z=x+ay 有 7= +a· ,得 a=3 或 a=-5, 2 2 2 2

? x ? y ? ?5, 当 a=-5 时,不等式组 ? 表示的平面区域如图. ? x ? y ? ?1
1 z z=x-5y,5y=x-z,y= x- , 5 5 1 z 直线 y= x 向上平行移动,- 越来越大,z 越来越小,但没有最小值,舍去,a=3 合题意. 5 5

故选 B.

(3)不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,根据目标函数的 几何意义可知,目标函数在点 A(2,1)处取得最小值,故 2a+b=2 5 .
2 2 法一 将 2a+b=2 5 两边分别平方得 4a +b +4ab=20,

而 4ab=2×a×2b≤a2+4b2,当且仅当 a=2b,
4 2 即 a= ,b= 时取等号. 5 5

所以 20≤4a +b +a +4b =5(a +b ), 所以 a2+b2≥4, 即 a2+b2 的最小值为 4.故选 B.

2

2

2

2

2

2

2 2 法二 将 2a+b=2 5 看作平面直角坐标系 aOb 中的直线,则 a +b 的几

何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方,故其最小值为坐标原点 到直线 2a+b=2 5 距离的平方,即(
?2 5 5

)2=4.故选 B.

y ?1 (4)由 x,y 满足的约束条件画出可行域,如图所示.目标函数 z= x

表示区域内的动点(x,y)与定点 A(0,1)连线的斜率,由图可知 kAB=-1 是 z 的最小值,故 z 的取值范围是[-1,1).故选 D.

反思归纳

(1)利用线性规划求目标函数最值的步骤

①画出约束条件对应的可行域; ②将目标函数视为动直线,并将其平移经过可行域,找到最优解对应 的点;

③将最优解代入目标函数,求出最大值或最小值.
(2)对于已知目标函数的最值,求参数问题,把参数当作已知数,找出

最优解代入目标函数.由目标函数的最值求得参数的值.

(3)求解非线性规划问题的基本方法是利用目标函数的几何意义求解.常见非 线性目标函数类型及其几何意义: ① x 2 ? y 2 表示点(x,y)与原点(0,0)的距离,

? x ? a? ? ? y ? b? 表示点(x,y)与点(a,b)的距离;
2 2



y y ?b 表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率, 表示点(x,y)与点(a,b)连线 x x?a

的斜率; ③

Ax ? By ? C A ?B
2 2

表示点(x,y)到直线 Ax+By+C=0 的距离.

考点三 线性规划的实际应用

【例 3】 某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过 50 亩, 投入资金不超过 54 万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和 售价如表
年产量/ 亩 黄瓜 韭菜 4吨 6吨 年种植成本/ 亩 1.2 万元 0.9 万元 每吨售价 0.55 万元 0.3 万元

为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大, 那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为( ) (A)50,0 (B)30,20 (C)20,30 (D)0,50

解析:设黄瓜的种植面积为 x 亩,韭菜的种植面积为 y 亩,
? x ? y ? 50, ? x ? y ? 50, ?1.2 x ? 0.9 y ? 54, ? 4 x ? 3 y ? 180, ? ? 则由题意知 ? 即? ? x ? 0, ? x ? 0, ? ? ? y ? 0, ? y ? 0,

目标函数 z=0.55×4x+0.3×6y-1.2x-0.9y=x+ 作出可行域如图, 由图象可知当直线 l:y=-

9 y, 10

10 x 向上平移经过点 E 时,z 取得最大值, 9

? x ? y ? 50, ? x ? 30, 由? 解得 ? 故选 B. ?4 x ? 3 y ? 180, ? y ? 20,

反思归纳

解决线性规划应用题的一般步骤

(1)认真审题,设出未知数,写出线性约束条件和目标函数. (2)作出可行域. (3)作出目标函数值为零时对应的直线 l0. (4)在可行域内平行移动直线l0,从图中能判定问题有唯一最优解 或有无穷最优解或无最优解. (5)求出最优解,从而得到目标函数的最值.

【即时训练】 (2013高考湖北卷)某旅行社租用A、B两种型号的客车安 排900名客人旅行,A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别 为1600元/辆和2400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型车不 多于A型车7辆,则租金最少为( (A)31200元 (B)36000元 ) (C)36800元 (D)38400元

解析:设租用A型车x辆,B型车y辆(x,y∈N),租金为z,

?36 x ? 60 y ? 900, ? y ? x ? 7, ? ? 则 ? y ? x ? 21, ? x ? N, ? ? ? y ? N, ?3x ? 5 y ? 75, ? y ? x ? 7, ? ? 即 ? x ? y ? 21, ? x ? N, ? ? ? y ? N.

画出可行域,则目标函数 z=1600x+2400y=800(2x+3y)在点 A(5,12)处取得最小 值 36800,故选 C.

助学微博
1.考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形.

2.确定最优解:在可行域内平行移动目标函数变形后的直线,从而确
定最优解. 3.求最值:将最优解代入目标函数求最值.
4.求二元一次函数 z=ax+by(ab≠0)的最值,利用其几何意义,通过求 y=截距
a z x+ 的 b b

z z 的最值间接求出 z 的最值,要注意:当 b>0 时,截距 取最大值时,z 也取最大 b b z 取最小值时,z 也取最小值.当 b<0 时,结论与 b>0 的情形恰好相反. b

值;截距

多维审题
线性规划问题的最优解

拓思维

明思路

?2 x ? y ? 2 ? 0, ? 【典例】 (2014 高考辽宁卷)已知 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0, 则目标函 ?3x ? y ? 3 ? 0, ?

数 z=3x+4y 的最大值为

.

?审题?视角一:利用“平移法”即截距的大小与z的关系求解. 视角二:代点求解.

解析:法一 作出可行域,如图阴影部分,作直线 l0:3x+4y=0,平移直线 l0 经过点 A 时,直线 l:3x+4y=z 在 y 轴上的截距
z 最大,即 z 取最大值. 4

? x ? 2 y ? 4 ? 0, 由? 得 A(2,3), ?3x ? y ? 3 ? 0,
∴zmax=3×2+4×3=18.

法二 作出可行域,如图阴影部分

? x ? 2 y ? 4 ? 0, 由? 得 A(2,3), ?3x ? y ? 3 ? 0, ?2 x ? y ? 2 ? 0, 由? 得 C(0,2), ? x ? 2 y ? 4 ? 0, ?2 x ? y ? 2 ? 0, 由? 得 B(1,0), ?3x ? y ? 3 ? 0,
当 x=2,y=3 时,z=18, 当 x=0,y=2 时,z=8, 当 x=1,y=0 时,z=3, 比较知,z 的最大值为 18.

答案:18

点评

线性目标函数在封闭可行域的最值,只可能在边界线及边

界线交点处取得,因此,求线性目标函数的最值,常用“平移法”求
解,或求出边界线交点坐标,逐一代入目标函数,比较可得目标函数

的最值.

? x ? y ? 1 ? 0, ? 【即时训练】 (2015 洛阳月考)若 x,y 满足 ?2 x ? y ? 2 ? 0, 则 x+2y 的最大值 ? x ? y ? 4 ? 0, ?

为( (A)

)

13 (B)6 (C)11 (D)10 2 解析:法一 令 z=x+2y,作出可行域为如图所示的阴影部分,当 z=x+2y 经过

点 A(3,4)时取得最大值,所以 zmax=3+2×4=11.

法二

? x ? y ? 1 ? 0, 由? 得 A(3,4), ?2 x ? y ? 2 ? 0,

? x ? y ? 1 ? 0, 3 5 由? 得 B( , ) , 2 2 ? x ? y ? 4 ? 0, ?2 x ? y ? 2 ? 0, 由? 得 C(2,2) ? x ? y ? 4 ? 0,
当 x=3,y=4 时,z=11, 当 x=
3 13 5 ,y= 时,z= , 2 2 2

当 x=2,y=2 时,z=6, 比较知,z 的最大值为 11.故选 C.


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