高中数学 对数函数图像与性质_图文

对数函数及其性质

复习对数的概念

定义: 一般地,如果 a?a ? 0, a ? 1?

的b次幂等于N, 就是

a ?N
b

,那么数 b叫做

以a为底 N的对数,记作 loga N ? b a叫做对数的底数,N叫做真数。

由前面的学习我们知道:有一种细胞分裂时,由1 个分裂成2个,2个分裂成4个,··1个这样的细胞分 · 裂x次会得到多少个细胞?

y?2

x

如果知道了细胞的个数y如何确定分裂的次数x 呢 由对数式与指数式的互化可知:

x ? log2 y
上式可以看作以y自变量的函数表达式吗

对于每一个给定的y值都有惟一的x 的值与之对应,把y看作自变量,x 就是y的函数,但习惯上仍用x表示 自变量,y表示它的函数:即

y ? log2 x
这就是本节课要学习的:

对数函数
定义:函数 y ? loga x(a ? 0,且 a ? 1) 叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定 义域是(0,+∞)。


判断:以下函数是对数函数的是 ( ) D A. y=log2(3x-2) C. y=log1/3x2 B. y=log(x-1)x D.y=lnx

y ? 3log 2 x ? 5 E.

二.对数函数的图象:

1.描点画图.
注意只要把指数函数y=ax (a>0,且a≠1) 的变量x,y的对应值对调即可得到

y=logax(a>0,且a≠1)
1/ 2

我们取函数

y=log2 x 和y=log x 作图

x
Y=log2x

… 1/8 1/4 1/2 1

2
1

4
2

8
3





-3 -2

-1 0



… 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 … … Y=log1/2x … 3 2 1 0 -1 -2 -3 x

3
2 1

y Y=log2x

o -1 -2
-3

1

2

3 4 5 6 7

8

x

3
2 1

y

o -1 -2
-3

1

2 3 4 5 6 7

8

x

Y=log1/2x

探索研究:
y 在同一坐标系中画出下列对数函数的图象; (1) y ? log x

..........

2

(2)y (3) y (4) y

? log 1 x

y ? log3 x

y ? log2 x

? log3 x
2

? log1 x
3

...........
o

x

y ? log1 x
2

y ? log1 x
3

2.利用对称性画图. 因为指数函数y=ax (0<a≠1)与对数函数 y=logax(0<a≠1)的图象关于直线y=x

对称.

Y 5

Y=
● ●

2

x

Y=X

4
3 2 ● ● 1●




Y=log2x

-1 O -1

● ● ● 1 2

3

4

5

6

7 X

-2

函数 :

y ? log a , y ? log b ,
x x

y ? log c , y ? log d
x

x

的图象如下,则a,b,c,d的大小关系为 ___________

Y

b>a>d>c

Y=logax Y=logb x

O

1

y ? logc X
Y=logdx 规律:在第一象限内,底数越 大,图像按顺时针方向旋转。

X

一、对数函数的图象与性质:
函数 底数
y

y = log a x ( a>0 且 a≠1 ) a>1
y

0<a<1
1

图象

o

1

x

o

x

定义域 奇偶性 值域
定点 单调性 函数值 符号

( 0 , + ∞ ) 非奇非偶函数 R 非奇非偶函数

( 1 , 0 ) 即 x = 1 时,y = 0 在 ( 0 , + ∞ ) 上是增函数 在 ( 0 , + ∞ ) 上是减函数
当 x>1 时,y>0 当 0<x <1 时, y<0 当 x>1 时,y<0 当 0<x<1 时,y>0

例1:求下列函数的定义域: (1) y=logax2 (2) y=loga(4-x)
(3) y=log(x-1)(3-x) (4) y=?log0.5(4x-3)
(1)因为x2>0,所以x≠?,即函数y=logax2的定义域为 解:

?-???? ? (0,+?? (-??4)

(2)因为 4-x>0,所以x<4,即函数y=loga(4-x)的定义域为

(3)
因为

3-x>0 x-1>0 x-1≠?

所以 1<x<3,x≠2即函数 y=log(x-1)(3-x)的定义域 为: (1,2)??????

(4)因为

4x-3>0

x>3/4
4x-3≤?

log0.5(4x-3)?0 定义域为 (3/4,1]

例2:比较大小
1、log4 5和log4 8

log 2、 0.5 0.4和log0.5 0.7
4、 a 0.4和loga 0.7 log

3、 0.5 0.4和log2 0.7 log

想一想:函数f(x)=log2 ( x2 ? ax ? 1)的定义域为R,
求a的取值范围?

小结
(1)本节要求掌握对数函数的概念、 图象和性质. (2)在理解对数函数的定义的基础 上,掌握对数函数的图象和性质的 应用是本小节的重点.


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