高三数学二轮专题复习教案:极限导数和复数_图文

高三数学二轮专题复习教案:极限导数和复数 一、本章知识结构:

复数与复数分类 复数的概念 复数相等的充要条件 共轭复数 复数的模 复数 复数的加法法则 复数加法的几何意义 复数的运算 复数的减法法则 (a+bi)-(c+di)=(a-c) (b-d)i 复数减法的几何意义 复平面上两点间的距离 d=|z1-z2| 复数的乘法法则 (a+bi) (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i a+bi ac+bd bc-ab = + i c+di c2+d2 c2+d2 (a+bi)+(c+di)=(a+c) (b+d)i

复数的除法法则

二、重点知识回顾 (一)极限 1、数学归纳法是一种用递归方法来证明与正整数有关命题的重要方法,它是完全归纳法中的 一种。论证问题分为两步: 证明当 n 取第一个值
*

n0 时结论正确; n0 )时结论正确,证明当 n=k+1 时结论也正确。 n0 开始的一切正整数都成立。

假设当 n=k(k∈ N 且 k≥

由(1) 、 (2)断定命题对于从 2、数列极限的定义



an 是一个无穷数列,A 是一个常数,如果对于预先给定的任意小的正数ε ,总存在正整数 an -A|<ε ,那么就说数列 an 以 A 为极限(或 A 是数列的极

N,使得只要正整数 n>N,就有| 限) ,记作 n ? ? n =A。 3、数列极限的运算法则 如果 n ? ? (1) (2)

lim a

lim a lim n =A, n ? ? bn =B,那么

lim a b lim a lim b n ? ? ( n ± n )= n ? ? n ± n ? ? n =A±B;

lim a b lim a lim b n ? ? ( n ? n )= n ? ? n ? n ? ? n =A?B
an A an l nim ?? lim ? ? ( B ? 0) n ?? b l im bn B n
n ??

(3)

(4) n ? ? (c? n )= c? n ? ? n =cA(c 为常数) 极限运算法则中的各个极限都应存在,都可推广到任意有限个极限的情况,不能推广到无限 个。在商的运算法则中,要注意对式子的恒等变形,有些题目分母不能直接求极限。 4、特殊数列的极限 (1) n ? ? C=C(C 为常数) (2) 0(|a|<1)

lim

a

lim a

lim

lim

n??

an =

1(a=l ) 不存在(|a|>1 或 a=-1)

(3) (4)

lim

n??

1 n ? =0(α >0 的常数)

a0 b0 (当 k= l 时)

a0 xk ? a1 xk ?1 ? ? ak lim n?? b xl ? b xl ?1 ? ? bl 0 1

=

0(当 k< l 时 ) 不存在(当 k> l 时)

说明:欲求极限的式子中,含有项数与 n 有关的“和式”或“积式” ,应先求和或积。 5、常见的数列极限的类型和求法

0 (1) “ 0 ”型,分子、分母分别求和再转化。

? (2) “ ? ”型,分子、分母先求和,再化简,转化为有极限。
(3) “ ?-? ”型,将其看作分母为 1 的分式,转化求极限。 6、 x ? x0
x ? x0

lim f ( x )
与 =a

? x? x0

lim

f ( x) 和 x ? x0? f ( x) 之间的关系 f ( x) = x ? x0? f ( x) =a。

lim

lim f ( x )

? x? x0

lim

lim

x x 如果 f ( x ) 在点 0 处左、 右极限都存在并且等值, 则 f ( x ) 在点 0 处的极限也存在, 并且与左、 x 右极限值相同;如果 f ( x ) 在 0 处的左、右极限至少有一个不存在,或者左、右极限都存在 x 但不等值,则函数 f ( x ) 在点 0 处没有极限,这种关系也反映出 f ( x) ? g ( x) 、 f ( x) ? g ( x) 、

f ( x) ( g ( x) ? 0且 lim g ( x) ? 0) x ? x0 g ( x ) x f ( x) ? g ( x) 、 也都在 0 处连续。
(二)导数 1.有关概念

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ?x ①平均变化率: ?x

②函数在某一点的导数:

f / ( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) lim ? lim / / ?x ?0 ?x ?x ? 0 f ( x ) y ?x ③函数的导数 = =
2. 导数的几何意义:

x , f ( x0 ) )处的切线的斜率 是曲线 y ? f ( x) 上点( 0
说明:⑴.导数的几何意义可以简记为“k=

王新敞
奎屯

新疆

f / ( x0 ) ”,强化这一句话“斜率导数,导数斜率”
王新敞
奎屯 新疆

x , f ( x0 ) )处的切线方程为 y ? f ( x0 ) ? f / ( x0 )(x ? x0 ) ⑵.曲线 y ? f ( x) 在点( 0
3.导数的物理意义: s=s(t)是物体运动的位移函数,物体在 t=

t 0 时刻的瞬时速度是 s?(t0 )

说明:⑴.物理意义在教材上只是以引例形式出现,教学大纲对它的要求不高,知道即可。 ⑵.物理意义可以简记为

vt0 s?(t0 ) =

4、几种常见函数的导数公式

c? ? 0 (c为常数) (ln x) ?? (e x) ? ? ex
5、求导法则

(x n) ? ? nxn ?1 (n ? Q)

(sin x) ? ? cos x ,(cos x) ? ? ? sin x 1 x 1 loga e x , (a x) ? ? a x ln a ,(loga x) ??
'

? u ? u' v ? uv' ? ? ? (u ? v)' ? u '?v' , (uv)' ? u' v ? uv' , ? v ? v2 (v≠0)
6、复合函数求导

y ' x = y'u ?u ' x
(三)复数 1.复数及分类 形如 a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中 a 为实部,b 为虚部,ii 是虚数单位,且满足 ii2=- 1. 实数(b=0) ? ? ?纯虚数(a=0) 复数 z=a+bi(a,b∈R)? 虚数(b≠0)? ? ? ?非纯虚数(a≠0) 2.复数相等的充要条件 a+bii=c+dii?a=c,b=d(a,b,c,d∈R). 特别地 a+bii=0?a=b=0(a,b∈R). 3.i 的幂 i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈ Z). 4.复数的加法和减法 (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i(a,b,c,d∈R). 5.复数的乘法和除法 ⑴复数的乘法按多项式相乘进行,即 (a+bi) (c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i. ⑵复数除法是乘法的逆运算,其实质是分母实数化. 6.共轭复数 - z=a+bi 与 z =a-bi 互为共轭复数。 7.复数的模 设 z=a+bi,则复数的模:|z|=r= a2+b2 8.复数与点的轨迹 复数 z ? a ? bi 与复平面上的点 Z ?a, b ? 是一一对应的。 ⑴两点间的距离公式:d=|z1-z2|; ⑵圆的方程:|z-P|=r(以点 P 为圆心,r 为半径) ; 三、考点剖析 考点一:数学归纳法 【内容解读】数学归纳法的表述严格而且规范,两个步骤缺一不可。第一步是命题递推的基 础;第二步是递推的依据,是论证过程的关键。在论证时,第一步验算 n=

n0 中的 n 不一定为

1,根据题目的要求,有时可为 2,3 等。第二步证明 n=k+1 时命题也成立的过程中,归纳假 设 P(k)起着“已知条件”的作用,必须利用归纳假设 P(k) ,恰当的通过推理和运算推出 P (k+1) ,否则就不是数学归纳法。第二步证明的关键是“一凑假设,二凑结论” 。 数学归纳法的两步分别是数学归纳法的两个必要条件,两者缺一不可,两步均予以证明才具 备了充分性,也就是完成了这两步的证明才能断定命题的正确性。 【命题规律】数学归纳法一般出现在解答题中,与数列、函数等内容结合,难度属中等偏难。 例 1、 (2007 全国 1 理 22)已知数列 (Ⅰ )求

?an ? 中 a1 ? 2 , an?1 ? (

2 ?1)(an ? 2) , n ? 1, 2, 3, ….

?an ? 的通项公式;
?bn ? 中 b1 ? 2 ,
bn?1 ? 3bn ? 4 2bn ? 3 , n ? 1, 2, 3, … , 证 明 : 2 ? bn ≤ a4n?3 ,

( Ⅱ) 若 数 列

n ? 1, 2, 3, ….
解: (Ⅰ )由题设:

an?1 ? ( 2 ?1)(an ? 2) ? ( 2 ?1)(an ? 2) ? ( 2 ?1)(2 ? 2)

? ( 2 ?1)(an ? 2) ? 2 , an?1 ? 2 ? ( 2 ?1)(an ? 2) .
所以,数列

?a

n

? 2

? 是首项为 2 ?

2 ,公比为 2 ? 1 的等比数列,

an ? 2 ? 2( 2 ?1)n ,
an ? 2 ? ( 2 ? 1) n ? 1? a ? ? , n ? 1, 2, 3, …. n 即 的通项公式为
(Ⅱ )用数学归纳法证明.

b ? a1 ? 2 ,所以 (ⅰ )当 n ? 1 时,因 2 ? 2 , 1

2 ? b1 ≤ a1 ,结论成立.
(ⅱ )假设当 n ? k 时,结论成立,即 也即

2 ? bk ≤ a4k ?3 ,

0 ? bk ? 2 ≤ a4k ?3 ? 3 .

当 n ? k ? 1 时,

bk ?1 ? 2 ?

3bk ? 4 (3 ? 2 2)bk ? (4 ? 3 2) (3 ? 2 2)(bk ? 2) ? 2? ? ?0 2bk ? 3 2bk ? 3 2bk ? 3 ,

1 1 ? ? 3? 2 2 2 b ? 3 2 2 ? 3 k 又 ,

bk ?1 ? 2 ?
所以

( 3 ? 2 b 2k ? ) ( 2bk ? 3

2 ) ? ( 3? 2

2

2bk) ( ?

≤ (2 2 ) ?1)4 (a4k ?3 ? 2)

? a4k ?1 ? 2 .
也就是说,当 n ? k ? 1 时,结论成立. 根据(ⅰ)和(ⅱ)知

2 ? bn ≤ a4n?3 , n ? 1, 2, 3, ….

点评:本题考查数学归纳法的证明,与数列、不等式等结合,属中等偏难的试题。 例 2、 (2008 浙江)已知数列

?an ? , an ≥ 0 , a1 ? 0 , an?12 ? an?1 ?1 ? an2 (n ? N* ) .
Tn ? 1 1 ? ? 1 ? a1 (1 ? a1 )(1 ? a2 ) ? 1 (1 ? a1 )(1 ? a2 ) (1 ? an ) .

记:

Sn ? a1 ? a2 ?
*

? an ,

求证:当 n ? N 时, (Ⅰ )

an ? an?1 ; S ? n?2; T ?3 (Ⅱ ) n (Ⅲ ) n a2 是方程 x2 ? x ? 1 ? 0 的正根,所以 a1 ? a2 .

(Ⅰ)证明:用数学归纳法证明. ①当 n ? 1 时,因为

* a ? ak ?1 , ②假设当 n ? k (k ? N ) 时, k

因为

2 ? (ak ?22 ? ak ?2 ?1) ? (ak ?12 ? ak ?1 ?1) ak ?12 ? ak

? (ak ?2 ? ak ?1 )(ak ?2 ? ak ?1 ? 1) ,
所以

ak ?1 ? ak ?2 .即当 n ? k ? 1 时, an ? an?1 也成立.

根据①和②,可知 (Ⅱ)证明:由 得

an ? an?1 对任何 n ? N* 都成立.

ak ?12 ? ak ?1 ?1 ? ak 2 , k ? 1, 2, , n ?1 ( n ≥ 2 ) , ? an ) ? (n ?1) ? a12 .

2 an ? (a2 ? a3 ?

因为 由

2 a1 ? 0 ,所以 Sn ? n ?1 ? an .

2 an ? an?1 及 an?1 ? 1 ? an ? 2an?12 ? 1得 an ? 1 ,所以 Sn ? n ? 2 .

(Ⅲ)证明:由

ak ?12 ? ak ?1 ? 1 ? ak 2 ≥ 2ak ,得

a 1 ≤ k ?1 (k ? 2, 3, , n ? 1 ,n ≥ 3) 1 ? ak ?1 2ak 1 (1 ? a3 )(1 ? a4 ) 所以 (1 ? an ) ≤
n n?2

a

2

a2

(a ≥ 3)


1 (1 ? a2 )(1 ? a3 ) 于是

(1 ? an )



2

n?2

an a 1 ? nn ? n?2 (n ≥ 3) 2 ?2 (a2 ? a2 ) 2 2 ,
?3


故当 n ≥ 3 时, 又因为

Tn ? 1 ? 1 ?

1 ? 2

?

1 2
n?2

T1 ? T2 ? T3 ,所以 Tn ? 3 .

点评:本题主要考查数列的递推关系,数学归纳法、不等式证明等基础知识和基本技能,同 时考查逻辑推理能力. 考点二:极限的求解 【内容解读】极限主要包括数列极限和函数极限,掌握几个重要极限的求法,极限的四则运 算等内容;理解函数在一点处的极限,并会求函数在一点处的极限.已知函数的左、右极限, 会求函数在一点处的左右极限. 【命题规律】极限在高中数学和高等数学中起着桥梁作用,是中学数学与大学数学的衔接点, 是高中数学的新增内容,是高考的热点之一。一般以选择题、填空题或解答题的形式出现, 难度适中。

(1 ? a)n ? 1 ?2 n→? n?a 例 3、 (2008 陕西卷 13) ,则 a ? lim

.1

lim
解:

(1 ? a)n ? 1 ? lim n→? n→? n?a

(1 ? a) ? 1? a n

1 n ? 1? a ? 2 ? a ? 1

点评:数列极限是高考热点题型之一,掌握几种类型的求解方法。

例 4、 ( 2008 重 庆 卷 ) 已 知 函 数 f(x)=

?2 x ? 3(当x ? 0时) ? ? a(当x ? 0时)

, 点 在 x=0 处 连 续 , 则

lim

an 2 ? 1 ? x ?? a 2 n 2 ? n
x ?0

. 又 f (0) ? a 点在 x=0 处连续,

解: x ?0

lim 2 x ? 3 ? lim 2x ? 3 ? 3 ? ?

所以 x ?0

lim f ( x) ? f (0)

3n 2 ? 1 3 1 ? ? 2 2 即 a ? 3 故 x ?? 3 n ? n 9 3 lim

x 点评: f ( x ) 在点 0 处的极限值等于这点的函数值,即 x ? x0

lim f ( x) ? f ( x0 )

x 。函数 f ( x ) 在 0 处

x 连续,反映在图像上是 f ( x ) 的图像在点 x= 0 处是不间断的。
? 1? ?1 ? ? ? 1 n? lim ? ? q n→? ? 1? ?1 ? ? ? 1 p q q ≥ 2 ? n? 例 5、 (2007 湖北理)已知 和 是两个不相等的正整数,且 ,则
p





A.0

B.1

p C. q

p ?1 D. q ? 1

解:方法一 特殊值法,由题意取 p ? 1, q ? 2 ,
1? ? 1 ?1 ? ? ? 1 n 1 p n? ? n lim ? lim ? lim ? ? q n→? n→? 1 2 n→? 1 ? 2n 2 q 1? ? ? ?1 ? ? ? 1 n2 n n? ? 则 ,可见应选 C
p

1 ? ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? ?
2

? ?1 ? x ?

m ?1

方法二
m 2

1 ? ?1 ? x ? ? 1 ? ?1 ? x ?

m

??1 ? x ? ? 1 ? x ?1 ? ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? ? ?
x?

p

?1 ? x ?

m?1

? ?

1 n , m 分别取 p 和 q ,则原式化为
1? ? ?1 ? ?1 ? n? ? ? 1? ? ?1 ? ?1 ? n? ? ?
2

1? ? ?1 ? ? ? 1 n? ? lim ? lim q n→? n→? 1? ? 1 ? ? 1 ? ? n? ?

1? ? 1? ? ? ?1 ? ? ? n? ? n? 1? ? 1? ? ? ?1 ? ? ? n? ? n?
2

2

1? ? ?1 ? ? n? ?

? ? ? ? q ?1 1? ? ? ?1 ? ? ? n? ? ? ?
p ?1

? 1? ? 1? lim ?1 ? ? ? 1, lim ?1 ? ? ? 1, n?? n ?? ? n? ? n?
1?1? 所以原式= 1 ? 1 ?

? 1? , lim ?1 ? ? n?? ? n?

p ?1

? 1,

?1 p ? ? 1 q (分子、分母 1 的个数分别为 p 个、 q 个)

点评:本题考察数列的极限和运算法则,可用特殊值探索结论,即同时考察学生思维的灵活 性。当不能直接运用极限运算法则时,首先化简变形,后用法则即可。本题也体现了等比数 列求和公式的逆用。 考点三:导数的相关问题 【内容解读】1、了解导数概念的实际背景,体会导数的思想及其内涵; 2、通过函数图象直 观地理解导数的几何意义;3、能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则 求简单函数的导数,能求简单的复合函数的导数;4、了解函数的单调性与导数的关系,能利 用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间;5、了解函数在某取得 极值的必要条件和充分条件,会用导数求函数的极大值、极小值,以及闭区间上函数的最大 值和最小值;体会导数方法在研究函数性质中的一般性有效性;5、会用导数的性质解决一些 实际问题,如生活中的最优化问题等。 【命题规律】考查导数的概念、切线方程、导数的计算等内容,在高考中经常以填空题或选 择题为主要题型,难度不大;考查单调性、极值、最值等问题及应用问题,以中档题为主, 题型以解答题为主。
, 例 6、(2008 福建)如果函数 y ? f ( x) 的图像如右图,那么导函数 y ? f ( x) 的图像可能是( )

解:由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负,只有答案 A 满足. 点评:深刻理解函数的导数与函数单调性的关系是解答本题的关键。 例 7、(2008 广东文)设 a ? R ,若函数 y ? e ? ax , x ? R 有大于零的极值点,则(A )
x

A . a ? ?1

B. a ? ?1

a??
C.

1 e

a??
D.

1 e
x

x y ? e , y2 ? ?a ,则两曲线交点在第一 解:依题意,有 e ? a ? 0 有大于 0 的实根,数形结合令 1

象限,结合图像易得 ? a ? 1 ? a ? ?1,选 A. 点评:画出两个函数的图象,利用数形结合法求解,体现了数形结合的思想。

1 ? x 2 ? b ln( x ? 2)在(-1,+?) 例 8、(2008 湖北理)若 f(x)= 2 上是减函数,则 b 的取值范围是
( ) A.[-1,+∞] B.(-1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,-1)

f ' ( x) ? ? x ?
解:由题意可知

b ?0 x?2 ,在 x ? (?1, ??) 上恒成立,

即 b ? x( x ? 2) 在 x ? (?1, ??) 上恒成立,由于 x ? ?1 ,所以 b ? ?1 ,故C为正确答案. 点评:函数的导数小于零,则函数在该区间上是减函数,反之也成立。如果在某区间上函数 的导数大于零,则函数在该区间上是增函数。

, 3) 处的切线的倾斜角为( 例 9、(2008 全国Ⅰ卷文) 曲线 y ? x ? 2x ? 4 在点 (1
3



A.30°
2

B.45°

C.60°

D.120°

解: y' ? 3x ? 2 ,在点(1,3)处切线的斜率为:k=3× 12-2=1,所以倾斜角为 45° , 选 (B) 。 点评:本题考查导数的几何意义,在某点处的切线的斜率问题。

f ( x) ?
例 10、 (2008 安徽文)设函数

a 3 3 2 x ? x ? (a ? 1) x ? 1, 其中a 3 2 为实数。

(Ⅰ )已知函数 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值; (Ⅱ )已知不等式 f ( x) ? x ? x ? a ? 1 对任意 a ? (0, ??) 都成立,求实数 x 的取值范围。
' 2

解: (1)

f ' ( x) ? ax2 ? 3x ? (a ? 1) ,由于函数 f ( x) 在 x ? 1 时取得极值,所以 f ' (1) ? 0

即 a ? 3 ? a ? 1 ? 0,∴ a ? 1

(2) 方法一:由题设知: ax ? 3x ? (a ? 1) ? x ? x ? a ? 1 对任意 a ? (0, ??) 都成立
2 2

即 a( x ? 2) ? x ? 2x ? 0 对任意 a ? (0, ??) 都成立
2 2

设 g (a) ? a( x ? 2) ? x ? 2x(a ? R) , 则对任意 x ? R , g (a ) 为单调递增函数 (a ? R)
2 2

所以对任意 a ? (0, ??) , g (a) ? 0 恒成立的充分必要条件是 g (0) ? 0
2 即 ? x ? 2 x ? 0 ,∴ ?2 ? x ? 0

于是 x 的取值范围是

?x | ?2 ? x ? 0?
2 2

方法二:由题设知: ax ? 3x ? (a ? 1) ? x ? x ? a ? 1 对任意 a ? (0, ??) 都成立 即 a( x ? 2) ? x ? 2x ? 0 对任意 a ? (0, ??) 都成立
2 2

x2 ? 2 x x2 ? 2 x a? 2 ?0 x ? 2 对任意 a ? (0, ??) 都成立,即 x 2 ? 2 于是
∴ ?2 ? x ? 0
于是 x 的取值范围是

?x | ?2 ? x ? 0?

点评:函数在某点处取得极值,则在这点处的导数为 0,反过来,函数的导数在某点的值为 0, 则在函数这点处取得极值。 例 11、(2008 广东文)某单位用 2160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 10 层、 每层 2000 平方米的楼房。经测算,如果将楼房建为 x(x ? 10)层,则每平方米的 平均建筑 费用为 560+48x(单位:元) 。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少 层?

购地总费用 (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用= 建筑总面积 )
解:设楼房每平方米的平均综合费为

y 元,依题意得

y ? (560 ? 48 x) ? y? ? 48 ?


2160 ?10000 10800 ? 560 ? 48 x ? 2000 x x

( x ? 10, x ? N * )

10800 10800 48 ? ?0 2 2 ? y ? 0 x ,令 x ,即 ,解得 x ? 15

? ? 当 x ? 15 时, y ? 0 ;当 0 ? x ? 15 时, y ? 0 ,
因此,当 x ? 15 时,

y 取得最小值, ymin ? 2000 元.

答:为了使楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为 15 层。 点评:本题是导数在实际问题中的应用,求最值问题,经常就是求函数的导数,在极值处取 得最值。 例 12、 (2008 湖北理)水库的蓄水量随时间而变化, 现用 t 表示时间, 以月为单位, 年初为起点,

根据历年数据,某水库的蓄水量(单位:亿立方米)关于 t 的近似函数关系式为
1 ? ?(?t 2 ? 14t ? 40)e x ? 50,0 t ? 10, ? ?4(t ? 10)(3t ? 41) ? 50,10 t ? 12. V(t)= ?

(Ⅰ)该水库的蓄求量小于 50 的时期称为枯水期.以 i-1<t<t 表示第 1 月份(i=1,2,…,12), 同一年内哪几个月份是枯水期? (Ⅱ)求一年内该水库的最大蓄水量(取 e=2.7 计算). 解: (Ⅰ)①当 0<t ? 10 时,V(t)=(-t2+14t-40) e 化简得 t2-14t+40>0,
1 4 4

? 50 ? 50,

解得 t<4,或 t>10,又 0<t ? 10,故 0<t<4. ②当 10<t ? 12 时,V(t)=4(t-10) (3t-41)+50<50, 化简得(t-10) (3t-41)<0,

41 解得 10<t< 3 ,又 10<t ? 12,故 10<t ? 12.
综合得 0<t<4,或 10<t12, 故知枯水期为 1 月,2 月, ,3 月,4 月,11 月,12 月共 6 个月. (Ⅱ)(Ⅰ)知:V(t)的最大值只能在(4,10)内达到.
t 1 3 1 t c 4 (? t 2 ? t ? 4) ? ? c 4 (t ? 2)(t ? 8), 4 2 4 由 V′(t)= 1 1

令 V′(t)=0,解得 t=8(t=-2 舍去). 当 t 变化时,V′(t) 与 V (t)的变化情况如下表: t V′(t) V(t) (4,8) + 8 0 极大值 (8,10) -

由上表,V(t)在 t=8 时取得最大值 V(8)=8e2+50-108.52(亿立方米). 故知一年内该水库的最大蓄水量是 108.32 亿立方米 点评:本小题主要考查函数、导数和不等式等基本知识,考查用导数求最值和综合运用数学 知识解决实际问题能力. 考点四:复数 【内容解读】本章重点是复数的概念及代数形式的运算.难点是复数的向量表示和复数的三角 形式及其运算. 【命题规律】复数的概念及其运算是高考命题热点,从近几年高考试题来看,主要考查复数 的概念及其运算,难度不大。 例 11、(2008 福建理) 若复数 (a ? 3a ? 2) ? (a ?1)i 是纯虚数,则实数 a 的值为(
2



A.1
2

B.2

C.1 或 2

D.-1

解:由 a ? 3a ? 2 ? 0 得 a ? 1或2 ,且 a ? 1 ? 0得a ? 1? a ? 2 。 点评:本题主要考查复数的概念,注意纯虚数一定要使虚部不为 0。 例 12、(2008 江西理) 在复平面内,复数 z ? sin 2 ? i cos 2 对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )

解:因 sin 2 ? 0,cos 2 ? 0 所以 z ? sin 2 ? i cos 2 对应的点在第四象限,选(D) 。 点评:本题考查复数的几何意义及三角函数的知识,每一个复数在复平面内都有一个点与之 对应。

1 (i ? ) 3 i 等于( 例 13、(2008 湖南理)复数
A.8 B.-8 C.8i D.-8i

)

1 ?2 i (i ? )3 ? ( )3 ? ?8 ? 4 ? ?8i i i i 解:由 ,易知 D 正确.
点评:本题考查复数的运算,掌握 i =-1。
2 z ?2 例 14 、 (2008 上 海 文 ) 若 z 是 实 系 数 方 程 x ? 2x ? p ? 0 的 一 个 虚 根 , 且 ,则
2

p?



解:设 z ? a ? bi ,则方程的另一个根为 z ? ? a ? bi ,且

z ? 2 ? a 2 ? b2 ? 2



2 ? 由韦达定理,得: z ? z ? 2a ? ?2,? a ? ?1, ?b ? 3, b ? ? 3,

? 所以 p ? z ? z ? (?1 ? 3i)(?1 ? 3i) ? 4.
点评: 本题考查一元二次方程根的意义、 共轭复数、 复数的模等知识。 例 15、设复数 z 满足|z+ i |+|z- i | = 2,求|z+ i +1|的最小值. 解:由题设知,复数 z 在复平面内对应的点集是线段 AB,如图所示, 线段 AB 上 B 点到 C 点距离最短. ∵|BC |=1,∴|z+ i +1|的最小值为 1. -1 ? y A? 1

O

x

-1 C ? 点评:在分析问题和解决问题时,要注意解析语言的意义及运用,要 B 掌握图形语言、符号语言及文字语言的互化,自觉地由“形”到“数” 与由“形”变“数”地运用数形结合的思维方法. 四、方法总结与 2009 年高考预测 (一)方法总结 1.极限的概念和运算法则是微积分中最重要的工具,也是学好导数的基础。它是历年高考的重 点考查内容,多与分类讨论相结合。通常与数列结合的题目要多一些,解答时要求先求出数 列的通项公式或是前 n 项和公式再求极限。 求函数的极限时, 经常要用到常见函数的极限及两 个重要极限(解决函数极限的小题时可用洛毕达法则) 。通过恒等变形用函数极限的四则运算 法则求相关函数的极限,或利用初等函数在其定义域内每一点处的极限值等于该点函数值求 函数的极限或利用函数的极限判定函数在给定点处的连续性。归纳法也是本章常见的考查点, 一定要注意用数学归纳法解题时的步骤。 2.导数是中学限选内容中较为重要的知识,由于其应用的广泛性,为我们解决所学过的有关函 数问题提供了一般性方法,是解决实际问题强有力的工具。导数的概念及其运算是导数应用 的基础,是高考重点考查的对象。要牢记导数公式,熟练应用导数公式求函数的导数,掌握 求导数的方法。应用导数解决实际问题的关键是要建立恰当的数学模型,了解导数概念的实

际背景。 3、复数的概念,搞清楚实部与虚部, i =-1,共轭复数等概念,及复数和运算。 (二)2009 年高考预测 函数极限和数列极限仍然以选择或填空题为主,有时会在解答题的最后一问出现难度中等或 偏易。 (文科生对函数极限不做要求) 导数的考查方式以客观题为主, 主要考查求导数的基本公式和法则, 以及导数的几何意义。 也可以解答题的形式出现,即以导数的几何意义为背景设置成导数与解析几何的综合题。导 数的应用是重点,侧重于利用导数确定函数的单调性和极值、最值、值域问题,侧重于导数 的综合应用,即导数与函数、数列、不等式的综合应用。 复数的概念及运算仍是考查的重点内容,以选择或填空题为主。 五、复习建议 1.极限内容和简单的函数求导在高考中以填空题和解答题为主。 考生应立足基础只是和基本方 法的复习,以课本题目为主,以熟练技能,巩固概念为目标。 2.对极限和导数的概念以及导数的实际背景一定要深入了解。 3.题目的难度要控制好,不要太难,应以方法的本质为主。 4.有意识地与解析几何(特别是切线、最值) 、函数的单调性、函数的极值、最值、二次函数、 方程、不等式等进行交汇,综合运用。特别是精选一些以导数为工具分析和解决一些函数问 题,以及一些实际问题中的最大(小)值问题。 5、掌握复数的概念及运算性质。
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