2018_2019年高中数学第二章随机变量及其分布2_4正态分布课件新人教A版选修2_3_图文

2.4 正态分布 课前自主预习 K 教材为本 梳理新知 [教材研读] 预习教材 P70~74,思考以下问题 1.什么是正态曲线和正态分布? 2.正态曲线有什么特点? 3.正态曲线 φμ,σ(x)中参数 μ,σ 的意义是什么? [要点梳理] 1.正态曲线与正态分布 (1)正态曲线 1 函数 φμ,σ(x)= e 2πσ ,x∈(-∞,+∞),其中实数 μ 和 正态分布密度曲线 ,简称正态 σ(σ>0)为参数, φμ,σ(x)的图象为__________________ 曲线. (2)正态分布 如果对于任何实数 a,b(a<b),随机变量 X 满足 P(a<X≤b) b =? ? φμ,σ(x)dx,则称随机变量 X 服从正态分布. ? ?a μ 和______ σ 确定,因此正态分布常 正态分布完全由参数______ 2 N ( μ , σ ) 记作 _____________ ,如果随机变量 X 服从正态分布,则记为 2 X ~ N ( μ , σ ). _____________ 2.正态曲线的性质 1 正态曲线 φμ,σ(x)= e 2πσ ,x∈R 有以下性质: 上方 不相交 (1)曲线位于 x 轴_____________ ,与 x 轴_____________ ; x=μ (2)曲线是单峰的,它关于直线_____________ 对称; 1 x = μ (3)曲线在_____________处达到峰值 ; σ 2π 1 (4)曲线与 x 轴之间的面积为_____________ ; σ (5)当_____________ 一定时,曲线的位置由 μ 确定,曲线随 μ 着_____________ 的变化而沿 x 轴平移,如图①; 越小 (6)当 μ 一定时,曲线的形状由 σ 确定,σ_____________ ,曲 越大 线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ_____________ ,曲线 越“矮胖”,表示总体的分布越分散,如图②. 3.正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及 3σ 原则 0.6826 P(μ-σ<X≤μ+σ)=_____________ ; 0.9544 P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=_____________ ; 0.9974 P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=_____________. 由 P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9974,知正态总体几乎总取值于 区间 (μ - 3σ , μ + 3σ) 之内.而在此区间以外取值的概率只有 0.0026,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生. 在实际应用中,通常认为服从于正态分布 N(μ,σ2)的随机变 量 X 只取(μ-3σ,μ+3σ)之间的值,并简称之为 3σ 原则. [自我诊断] 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) 1.函数 φμ,σ(x)中参数 μ,σ 的意义分别是样本的均值与方 差.( ) 2.正态曲线是单峰的,其与 x 轴围成的面积是随参数 μ,σ 的变化而变化的.( ) ) 3.正态曲线可以关于 y 轴对称.( [答案] 1.× 2.× 3.√ 课堂互动探究 K 师生互动 合作探究 题型一 正态曲线 ,x∈R 中的参数 μ,σ 1 思考 1:正态曲线 φμ,σ(x)= e 2πσ 有何意义? 提示:μ 可取任意实数,表示平均水平的特征数,E(X)=μ; σ>0 表示标准差,D(X)=σ2.一个正态曲线方程由 μ,σ 唯一确定, π 和 e 为常数,x 为自变量,x∈R. 思考 2: 若随机变量 X~N(μ, σ2), 则 X 是离散型随机变量吗, 为什么? 提示:若 X~N(μ,σ2),则 X 不是离散型随机变量,由正态 b 分布的定义:P(a<X≤b)=? ? φμ,σ(x)dx 可知,X 可取(a,b]内的任 ? ?a 何值,故 X 不是离散型随机变量,它是连续型随机变量. 如图所示是一个正态曲线.试根据该图象写出其正态 分布密度函数的解析式,求出总体随机变量的均值和方差. [思路导引] 由正态曲线图可知对称轴为 x=20, 即随机变量 的均值 μ=20,由正态曲线的最值可求得 σ,则方差为 σ2. [ 解] 从给出的正态曲线可知,该正态曲线关于直线 x=20 , 2 π 1 对称,最大值是 1 1 所以 = , 2π·σ 2 π 解得 σ= 2.于是函数的解析式是 f(x)= +∞). 总体随机变量的均值 μ=20,方差 σ2=( 2)2=2. e 2 π 1 , x∈(-∞, 利用正态曲线的性质可以求参数 μ,σ (1)正态曲线是单峰的,它关于直线 x=μ 对称,由此性质结 合图象求 μ. 1 (2)正态曲线在 x=μ 处达到峰值 ,由此性质结合图象可 σ 2π 求 σ. (3)由 σ 的大小区分曲线的胖瘦. [跟踪训练] 某次我市高三教学质量检测中,甲、乙、丙三科考试成绩的 直方图如图所示(由于人数众多, 成绩分布的直方图可视为正态分 布),则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是( ) A.甲科总体的标准差最小 B.丙科总体的平均数最小 C.乙科总体的标准差及平均数都居中 D.甲、乙、丙的总体的平均数不相同 [解析] 由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等, 由正 态密度曲线的性质,可知 σ 越大,正态曲线越扁平;σ 越小,正 态曲线越尖陡,故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、 丙.故选 A. [答案] A 题型二 利用正态分布的对称性求概率 思考:为什么正态分布中,通常认为 X 只取区间(μ-3σ,μ +3σ]内的值? 提示:从正态曲线可以看出,对于固定的 μ 和 σ 而言,随机 变量在(μ-σ,μ+σ)上取值的概率随着 σ 的减小而增大.这说明 σ 越小,X 取值落在区间(μ-σ,μ+σ)的概率越大,即 X 集中在 μ 周围的概率越大.正态分布的 3σ 原则是进行质

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