【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学人教A版选修2-1 第三章 空间向量与立体几何 3.2第1课时 Word版含答案

学业分层测评 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.l1 的方向向量为 v1=(1,2,3),l2 的方向向量 v2=(λ,4,6), 若 l1∥l2,则 λ=( A.1 C.3 ) B.2 D.4 1 2 【解析】 ∵l1∥l2,∴v1∥v2,则 =4,∴λ=2. λ 【答案】 B → =λCD → +μCE →, 2. 若AB 则直线 AB 与平面 CDE 的位置关系是( A.相交 C.在平面内 B.平行 D.平行或在平面内 ) → =λCD → +μCE → ,∴AB → ,CD → ,CE → 共面,则 AB 与平 【解析】 ∵AB 面 CDE 的位置关系是平行或在平面内. 【答案】 D 3.已知平面 α 内有一个点 A(2,-1,2),α 的一个法向量为 n= (3,1,2),则下列点 P 中,在平面 α 内的是( A.(1,-1,1) 3? ? C.?1,-3,2? ? ? ? ) ? 3? ? B.?1,3,2? 3? ? D.?-1,3,-2? ? ? 1? → =? ?-1,4,- ?, 【解析】 对于 B,AP 2 ? ? 1? ? → =(3,1,2)· ?-1,4,- ?=0, 则 n· AP 2 ? ? 3? → ,则点 P? ?1,3, ?在平面 α 内. ∴n⊥AP 2 ? ? 【答案】 B 4.已知直线 l 的方向向量是 a=(3,2,1),平面 α 的法向量是 u =(-1,2,-1),则 l 与 α 的位置关系是( A.l⊥α C.l 与 α 相交但不垂直 B.l∥α D.l∥α 或 l?α ) 【解析】 因为 a· u=-3+4-1=0,所以 a⊥u.所以 l∥α 或 l? α. 【答案】 D 5.若 u=(2,-3,1)是平面 α 的一个法向量,则下列向量中能作 为平面 α 的法向量的是( A.(0,-3,1) C.(-2,-3,1) ) B.(2,0,1) D.(-2,3,-1) 【解析】 同一个平面的法向量平行,故选 D. 【答案】 二、填空题 6.若平面 α,β 的法向量分别为(-1,2,4),(x,-1,-2),并 且 α⊥β,则 x 的值为________. 【解析】 因为 α⊥β,那么它们的法向量也互相垂直,则有-x D -2-8=0,所以 x=-10. 【答案】 -10 7.若 a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且 a 与 b 为共线向量, 则 x=________,y=________. 2x 1 3 1 3 【解析】 由题意得 1 = =9,∴x=6,y=-2. -2y 1 3 【答案】 6 -2 8.已知 A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),点 P(x,-1, 3)在平面 ABC 内,则 x=________. → =(-2,2,-2),AC → =(-1,6,-8), 【解析】 AB → =(x-4,-2,0),由题意知 A,B,C,P 四点共面, AP → =λAB → +μAC → =(-2λ,2λ,-2λ)+(-μ,6μ,-8μ)=(-2λ ∴AP -μ,2λ+6μ,-2λ-8μ). ? ?2λ+6μ=-2, ? ?λ=-4, ∴? ∴? ?-2λ-8μ=0, ?μ=1, ? ? 而 x-4=-2λ-μ,∴x=11. 【答案】 11 三、解答题 9.已知 O,A,B,C,D,E,F,G,H 为空间的 9 个点(如图 326 → =kOA → ,OF → =kOB → ,OH → =kOD → ,AC → =AD → +mAB → ,EG →= 所示),并且OE → +mEF → .求证: 【导学号:18490106】 EH 图 326 (1)A,B,C,D 四点共面,E,F,G,H 四点共面; → ∥EG →; (2)AC → =kOC →. (3)OG 【解】 → =AD → +mAB → ,EG → =EH → +mEF → ,知 A,B,C,D (1)由AC 四点共面,E,F,G,H 四点共面. → =EH → +mEF → =OH → -OE → +m(OF → -OE →) (2)∵EG → -OA → )+km(OB → -OA → )=kAD → +kmAB → =k(OD → +mAB → )=kAC →, =k(AD → ∥EG →. ∴AC → =EG → -EO → =kAC → -kAO → (3)由(2)知OG → -AO → )=kOC →. =k(AC → =kOC →. ∴OG 10.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F 分别是 BB1,DC 的中点, → 是平面 A D F 的法向量. 求证:AE 1 1 【证明】 设正方体的棱长为 1, 建立如图所示的空间直角坐标系, 1? 1 ? ? ? 则 A(1,0,0),E?1,1,2?,D1(0,0,1),F?0,2,0?,A1(1,0,1), ? ? ? ? 1? → =? ?0,1, ?, AE 2 ? ? 1 ? ? → → D 1F=?0,2,-1?,A1D1=(-1,0,0). ? ? 1? ? 1 ? ? → ·D → ? ? ? ? 0 , 1 , 0 , ,- 1 ∵AE F = · 1 2 2 ? ? ? ? 1 1 =2-2=0, → ·A→ 又AE 1D1=0, → ⊥D → → → ∴AE 1F,AE⊥A1D1. 又 A1D1∩D1F=D1, ∴AE⊥平面 A1D1F, → 是平面 A D F 的法向量. ∴AE 1 1 [能力提升] 1.已知平面 α 的一个法向量是(2,-1,1),α ∥β ,则下列向量 可作为平面 β 的一个法向量的是( A.(4,2,-2) C.(2,-1,-5) ) B.(2,0,4) D.(4,-2,2) 【解析】 ∵α∥β,∴β的法向量与 α 的法向量平行,又∵(4, -2,2)=2(2,-1,1)

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