高考数学 第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式课件_图文

第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式 (对应学生用书第 43 页) (对应学生用书第 43~44 页) 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin2α+ cos2α= 1; sin α (2)商数关系:tan α= . cos α 质疑探究:如何理解基本关系式中的“同角”? 提示:只要在 “( )”中填上角的相同的表示形式, sin? ? sin2( )+ cos2( )= 1, tan( )= cos? ? α α sin 4α 就成立,如:sin2 + cos2 = 1,tan 4α= 均成立,而 sin2θ+ cos2φ= 1 就不一定成立, 3 3 cos 4α 当然在商数关系式中,要求分母不为零. 2.诱导公式 诱导公式是指角α的三角函数与诸如-α,180°±α,90°±α,270°±α, 360°-α,360°· k+α(k∈Z)等角的三角函数之间的关系,其记忆规律是:奇变偶 不变、符号看象限.其中奇变偶不变中的奇、偶分别是指90°的奇数倍和偶数倍, 变与不变指的是函数名称的变化.若是奇数倍,则正、余弦互变,如:sin(90°+α) =cos α,若是偶数倍,则函数名称不变.符号看象限,是把α看成锐角时原函数值 所在象限的符号,如180°+α可看成是第三象限角,而第三象限角的正弦为“-”, 所以有sin(180°+α)=-sin α. 1.(2010 年高考全国卷Ⅰ )cos 300° 等于( 3 1 (A)- (B)- 2 2 1 3 (C) (D) 2 2 C ) 1 解析:cos 300° = cos(180° + 120° )=- cos 120° =- cos(180° - 60° )= cos 60° = ,故选 C. 2 2m-5 m 2.(教材改编题 )已知 sin α= ,cos α=- ,且 α 为第二象限角,则 m 的允许 m+ 1 m+1 值为( C ) 5 5 (A) <m<6 (B)- 6<m < 2 2 3 (C)m=4 (D)m=4 或 m= 2 2m- 5 2 m 2 解析:由 sin2α+ cos2α= 1 得 ( ) + (- ) = 1, m+ 1 m+ 1 3 解得 m= 4 或 m= ,又因为 α 为第二象限角. 2 ∴ sin α>0, cos α<0,代入检验知只能取 m= 4.故选 C. sin θ+ cos θ 3π =2,则 sin(θ- 5π)· sin( -θ)等于( C ) 2 sin θ- cos θ 3 3 3 3 (A) (B)± (C) (D)- 4 10 10 10 sin θ+ cos θ 解析:由 = 2,可得 tan θ= 3, sin θ- cos θ 3 ∴ sin(θ- 5π)sin( π- θ)= (- sin θ)(- cos θ) 2 sin θcos θ tan θ 3 = 2 = = .故选 C. sin θ+ cos2θ tan2θ+ 1 10 4 4.(教材改编 )若 sin θ=- ,tan θ>0,则 cos θ=________. 5 4 解析:∵ sin θ=- <0, tan θ>0, 5 3 ∴ θ 是第三象限角, cos θ=- 1- sin2θ=- . 5 3 答案:- 5 3.若 (对应学生用书第 40~41 页) 基本关系的应用 【例 1】 (2009 年高考陕西卷 )若 3sin α+ cos α= 0,则 1 的值为( cos2α+sin 2α ) 10 5 2 (A) (B) (C) (D)-2 3 3 3 思路点拨:由已知可求出 tan α,所求式分子 “1”可换为 sin2α+ cos2α,然后分子、分母同 除以 cos2α,代入即可求其值. 1 解析:由 3sin α+ cos α= 0 得 tan α=- , 3 sin2α+ cos2α tan2α+ 1 10 1 所以 2 = = = ,故选 A. cos α+ sin 2α cos2α+ 2sin αcos α 1+ 2tan α 3 利用同角三角函数基本关系可以化简、求值,关键是灵活运用公式,领会 sin α、 cos α 与 tan α 之间的联系,注意公式的正用、逆用及变形应用,如 1= sin2α+ cos2α, cos2α 1 2 2 sin α=± 1- cos α,sin α= cos α· tan α, cos α= 2 = 等. sin α+ cos2α tan2α+1 sin α+ cos α 4 3π 变式探究 11: (2010 年潍坊模拟)已知 sin(2π-α)= , α∈( , 2π), 则 等于( 5 2 sin α- cos α 1 1 (A) (B)- (C)-7 (D)7 7 7 4 4 解析:法一:∵ sin(2π- α)=- sin α= ,∴ sin α=- , 5 5 3π 又∵ α∈ ( , 2π), 2 4 3 ∴ cos α= 1- sin2α= 1- ?- ?2= , 5 5 4 3 - + 5 5 1 sin α+ cos α 于是 = = ,选 A. 4 3 7 sin α- cos α - - 5 5 ) 4 4 法二:由 sin(2π- α)= 得 sin α=- , 5 5 3 又 α∈ ( π, 2π), 2 3 4 ∴ cos α= , tan α=- , 5 3 4 - +1 3 sin α+ cos α tan α+ 1 1 ∴ = = = ,故选 A. 4 7 sin α- cos α tan α- 1 - -1 3 诱导公式的应用 3 【例 2】 (2010 年浙江宁波市联考 )已知 π<α<2π, cos(α- 7π)=- ,则 sin(3π+α)· tan(α 5 7 - π)的值为( ) 2 4 5 3 5 (A) (B) (C) (D) 5 4 5 3 思路点拨:先

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