抽象函数问题最终教师版


抽象函数常见题型解法综述
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式, 只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。 由于抽象函数表现形式 的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下:

一、定义域问题
例 1. 已知函数 f ( x 2 ) 的定义域是[1,2],求 f(x)的定义域。
2 2 解: f ( x 2 ) 的定义域是[1,2],是指 1 ? x ? 2 ,所以 f ( x 2 ) 中的 x 满足 1 ? x ? 4

从而函数 f(x)的定义域是[1,4]

,2] ,求函数 f [log1 (3 ? x)] 的定义域。 例 2. 已知函数 f ( x) 的定义域是 [?1
2

,2] , 意 思 是 凡 被 f 作 用 的 对 象 都 在 [?1,2] 中 , 由 此 可 得 解 : f ( x) 的 定 义 域 是 [?1

1 1 11 ? 1 ? log 1 (3 ? x) ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? x ? ( ) ?1 ? 1 ? x ? 2 2 4 2
? ? 3? 2?

所以函数 f [log1 (3 ? x)] 的定义域是 [1,
2

11 ] 4

练习 1、若函数 f (2 x ? 1) 的定义域为 ? ?1, ? ,则函数 f (log2 x) 的定义域为( B) A. ? 1 , 2 ? ? ?
?2 ?

B. ? 1 , 2 ? ? ?2 ? ?

C. ? 1 , 4 2 ? ? ?
?2 ?

D. ? 1 , 4 2 ? ? ? ?2 ?

二、求值问题
? 例 3. 已知定义域为 R 的函数 f(x),同时满足下列条件:① f ( 2) ? 1,f (6) ?

1 ;② f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) , 5

求 f(3),f(9)的值。 解:取 x ? 2,y ? 3 ,得 f (6) ? f (2) ? f (3) 又取 x ? y ? 3 得 f (9) ? f (3) ? f (3) ? ? 因为 f ( 2) ? 1,f (6) ?

1 4 ,所以 f (3) ? ? 5 5

8 5 5

1 评析:通过观察已知与未知的联系,巧妙地赋值,取 x ? 2,y ? 3 ,这样便把已知条件 f ( 2) ? 1,f (6) ? 与欲求
的 f(3)沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。 1. 定义 R 上的函数 f ( x ) 满足: f ( xy) ? f ( x) ? f ( y), 且f (9) ? 8, 则f ( 3) ? ( A. 2 B.2 C.4 D.6 )

2、设 f ( x) 是 (??,??) 上的奇函数, f (2 ? x) ? ? f ( x), 当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x ,则 f (7.5) 等于(-0.5) (A)0.5; (B)-0.5; (C)1.5; (D)-1.5.

三、值域问题
例 4. 设函数 f(x)定义于实数集上,对于任意实数 x、y, f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) 总成立,且存在 x1 ? x 2 ,使得

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,求函数 f ( x) 的值域。
解:令 x ? y ? 0 ,得 f (0) ? [ f (0)]2 ,即有 f (0) ? 0 或 f (0) ? 1 。 若 f (0) ? 0 , 则 f ( x) ? f ( x ? 0) ? f ( x) f (0) ? 0 , 对 任 意 x ? R 均 成 立 , 这 与 存 在 实 数 x1 ? x 2 , 使 得

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立矛盾,故 f (0) ? 0 ,必有 f (0) ? 1 。
由于 f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) 对任意 x、y ? R 均成立,因此,对任意 x ? R ,有

x x x x x f ( x) ? f ( ? ) ? f ( ) f ( ) ? [ f ( )] 2 ? 0 2 2 2 2 2
下面来证明,对任意 x ? R,f ( x) ? 0 设存在 x0 ? R ,使得 f ( x0 ) ? 0 ,则 f (0) ? f ( x0 ? x0 ) ? f ( x0 ) f (? x0 ) ? 0 这与上面已证的 f (0) ? 0 矛盾,因此,对任意 x ? R,f ( x) ? 0 所以 f ( x) ? 0

评析:在处理抽象函数的问题时,往往需要对某些变量进行适当的赋值,这是一般向特殊转化的必要手段。

四、解析式问题
f ( x) ? f ( x ?1 ) ? 1? x x ,求 f(x)的解析式。

例 5. 设对满足 x ? 0,x ? 1 的所有实数 x,函数 f ( x) 满足 解:在 f ( x) ? f (

x ?1 ) ? 1? x x

(1) 中以 (2)

x ?1 代换其中 x,得: x

f(

x ?1 1 2x ? 1 ) ? f (? )? x x ?1 x 1 代换 x,得 x ?1 (3)

再在(1)中以 ?

f (?

1 x?2 ) ? f ( x) ? x ?1 x ?1

(1) ? (2) ? (3) 化简得: f ( x) ?

x3 ? x2 ?1 2 x( x ? 1)

例 2 . 设 f ( x) 是 定 义 在 (??,??) 上 以 2 为 周 期 的 周 期 函 数 , 且 f ( x) 是 偶 函 数 , 在 区 间 ?2,3? 上 ,

f ( x) ? ?2( x ? 3) 2 ? 4. 求 x ? ?1,2? 时, f ( x) 的解析式.
解:当 x ? ?? 3,?2? ,即 ? x ? ?2,3? ,

f ( x) ? f (? x) ? ?2(? x ? 3) 2 ? 4 ? ?2( x ? 3) 2 ? 4
又 f ( x) 是以 2 为周期的周期函数,于是当 x ? ?1,2? ,即 ? 3 ? x ? 4 ? ?2 时,

有f ( x) ? f ( x ? 4) ? f ( x) ? ?2?( x ? 4) ? 3? ? 4 ? ?2( x ? 1) 2 ? 4(1 ? x ? 2).
2

? f ( x) ? ?2( x ? 1) 2 ? 4(1 ? x ? 2).
练习 1、:已知 2f(x) + f(-x ) = 2x - 3x+4,求 f(x)的解析式
2
2 2、已知 3 f ?x ? ? f ? ? ? x ,求 f ( x) 的解析式

?1? ? x?

3、:已知 3f(x) - 2f(-

1 1 ) = 2x + 求 f(x)的解析式 x x

4、 已知 3f(x) + f(

2 ) = 4x+1,求 f(x)的解析式 x

评析:如果把 x 和

x ?1 分别看作两个变量,怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下,给 x

某些变量适当赋值,使之在关系中“消失”,进而保留一个变量,是实现这种转化的重要策略。

五、单调性问题
例 6. 设 f(x)定义于实数集上,当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ,且对于任意实数 x、y,有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,求 证: f ( x) 在 R 上为增函数。
2 证明:在 f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) 中取 x ? y ? 0 ,得 f (0) ? [ f (0)]

若 f (0) ? 0 ,令 x ? 0,y ? 0 ,则 f ( x) ? 0 ,与 f ( x) ? 1 矛盾 所以 f (0) ? 0 ,即有 f (0) ? 1 当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ? 0 ;当 x ? 0 时, ? x ? 0,f (? x) ? 1 ? 0

而 f ( x) ? f (? x) ? f (0) ? 1

所以 f ( x) ?

1 ?0 f ( ? x)

又当 x ? 0 时, f (0) ? 1 ? 0

所以对任意 x ? R ,恒有 f ( x) ? 0

设 ? ? ? x1 ? x2 ? ?? ,则 x 2 ? x1 ? 0,f ( x 2 ? x1 ) ? 1 所以 f ( x2 ) ? f [ x1 ? ( x2 ? x1 )] ? f ( x1 ) f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) 所以 y ? f ( x) 在 R 上为增函数。

评析:一般地,抽象函数所满足的关系式,应看作给定的运算法则,则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应 尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。

练 习 1 、 已知 函 数 f ( x ) 是 定义 在 (0,+ ∞ ) 上的 增 函 数 , 对 正 实 数 x, y , 都 有 : f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) 成 立 . 则不 等 式

f (log2 x) ? 0 的解集是____ ? x 1 ? x ? 2? _________________.
2. 已知函数 f ( x ) 是定义在(-∞,3]上的减函数,已知 f (a ? sin x) ? f (a ? 1 ? cos x) 对 x ? R 恒成立,求实数 a 的
2 2

取值范围。

? 2?a?

1 ? 10 2

3. 定义在 R 上的函数 y=f(x),f(0)≠0,当 x>0 时,f(x)>1,且对任意的 a、b∈R,有 f(a+b)=f(a)f(b), (1)求证:f(0)=1; (2)证明:f(x)是 R 上的增函数;
2

(2)求证:对任意的 x∈R,恒有 f(x)>0; (4)若 f(x)·f(2x-x )>1,求 x 的取值范围。
2

解:(1)令 a=b=0,则 f(0)=[f(0)] ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 (2)令 a=x,b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴ f (? x) ?
1 f ( x)

由已知 x>0 时,f(x)>1>0,当 x<0 时,-x>0,f(-x)>0 ∴ f ( x) ?
1 ? 0 又 x=0 时,f(0)=1>0 f ( ? x)

∴对任意 x∈R,f(x)>0 (3)任取 x2>x1,则 f(x2)>0,f(x1)>0,x2-x1>0 ∴
f ( x2 ) ? f ( x2 ) ? f (? x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 1 f ( x1 )

∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)在 R 上是增函数 (4)f(x)·f(2x-x )=f[x+(2x-x )]=f(-x +3x)又 1=f(0), f(x)在 R 上递增 ∴由 f(3x-x )>f(0)得:3x-x >0 ∴ 0<x<3 4. 已 知 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 为 R, 对 任 意 实 数 m, n 都 有 f ( m ? n) ? f ( m) ? f ( n)? , 且 f ( ) ? 0 , 当 x ?
2 2 2 2 2

1 2

1 2

1 时, 2

f ( x) >0.

(1)求 f (1) ; (2)求和 f (1) ? f (2) ? f (3) ?... ? f ( n) (n ? N ) ; (3)判断函数 f ( x ) 的单调性,并证明.
*

(1)解:令 m ? n ?

1 1 1 1 1 1 ,则 f ( ? ) ? 2 f ( ) ? ? f (1) ? 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 (2)∵ f (1) ? , f (n ? 1) ? f (1) ? f (n) ? ? ? f (n) ? ? f (n) ? 1 2 2 2 2

∴ f (n ? 1) ? f (n) ? 1

n2 1 n n(n ? 1) ∴数列 ? f (n)? 是以 为首项,1 为公差的等差数列, 故 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ... ? f (n) = ? =? 2 2 2 2
(3)任取 x1 , x2 ? R, 且x1 ? x2 ,则

1 1 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f [( x2 ? x1 ) ? x1 ] ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 2 2 1 = f ( x2 ? x1 ? ) ? 0 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴函数 f ( x ) 是 R 上的单调增函数. 2
5. 函数 f ( x ) 的定义域为 R,并满足以下条件:①对任意 x ? R ,有 f ( x ) >0;②对任意 x, y ? R ,有 f ( xy) ? [ f ( x)] ;③
y

1 f ( ) ? 1 . (1)求 f (0) 的值; 3

(2)求证: f ( x ) 在 R 上是单调减函数;
2

1. .(1)解: ∵对任意 x ? R ,有 f ( x ) >0, ∴令 x ? 0, y ? 2 得, f (0) ? [ f (0)] ? f (0) ? 1 (2)任取任取 x1 , x2 ? R, 且x1 ? x2 ,则令 x1 ?

1 1 p1 , x2 ? p2 ,故 p1 ? p2 3 3
y

∵函数 f ( x ) 的定义域为 R,并满足以下条件:①对任意 x ? R ,有 f ( x ) >0;②对任意 x, y ? R ,有 f ( xy) ? [ f ( x)] ;③

1 f ( ) ?1 3
∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( p1 ) ? f ( p2 ) ? [ f ( )] 1 ? [ f ( )]
p

1 3

1 3

1 3

1 3

p2

?0

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) 6.

∴函数 f ( x ) 是 R 上的单调减函数.

已知函数 f ( x ) 的定义域为 R,对任意实数 m, n 都有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ,且当 x ? 0 时, 0 ? f ( x) ? 1 . (2)证明: f ( x ) 在 R 上单调递减;

(1)证明: f (0) ? 1, 且x ? 0时,f(x)>1 ;

2 2 (3)设 A= {( x, y ) f ( x ) ? f ( y ) ? f (1)} ,B={ ( x, y) f (ax ? y ? 2) ? 1, a ? R },若

A B = ? ,试确定 a 的取值范围.

2.

(1)证明:令 m ? 0, n ? 1 ,则 f (0 ? 1) ? f (0) ? f (1) ∵当 x ? 0 时, 0 ? f ( x) ? 1 ,故 f (1) ? 0 ,∴ f (0) ? 1 ,∵当 x ? 0 时, 0 ? f ( x ) ? 1

∴当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,则 f (? x ? x) ? f (? x) ? f ( x) ? f ( x) ? (2)证明: 任取 x1 , x2 ? R, 且x1 ? x2 ,则

f (0) 1 ? ?1 f (? x) f ( ? x)

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f [( x2 ? x1 ) ? x1 ] ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? [ f ( x2 ? x1 ) ?1] f ( x1 )
∵ x2 ? x1 ? 0 ,∴0< 0 ? f ( x2 ? x1 ) ? 1 ,故 f ( x2 ? x1 ) ?1 <0,又∵ f ( x1 ) ? 0, ∴ [ f ( x2 ? x1 ) ?1] f ( x1 ) ? 0 ,故 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴函数 f ( x ) 是 R 上的单调减函数. (3) ∵ A ? ( x, y ) f ( x ) ? f ( y ) ? f (1) ? ( x, y ) f ( x ? y ) ? f (1)
2 2 2 2

?

? ?
2

?

由(2)知, f ( x ) 是 R 上的减函数,∴ x ? y ? 1
2

∵B={ ( x, y) f (ax ? y ? 2) ? 1, a ? R }= 又∵ A

?? x, y ? ax ? y ? 2 ? 0, a ? R?

B ? ?,

? x2 ? y 2 ? 1 2 2 ∴方程组 ? 无解,即直线 ax ? y ? 2 ? 0与单位圆x ? y ? 1的内 部无公共点 ? ax ? y ? 2 ? 0


2 a ?1
2

? 1 ? a2 ? 3 ? ? 3 ? a ? 3 ,故 a 的取值范围是- 3 ? a ? 3

7.

函数 f ( x ) 对于 x>0 有意义,且满足条件 f (2) ? 1, f ( xy) ? f ( x) ? f ( y), f ( x)是 减函数。 (2)若 f ( x) ? f ( x ? 3) ? 2 成立,求 x 的取值范围。

(1) 证明: f (1) ? 0 ;

解:(1)证明:令 x ? y ? 1 ,则 f (1?1) ? f (1) ? f (1) ,故 f (1) ? 0 (2)∵ f (2) ? 1 ,令 x ? y ? 2 ,则 f (2 ? 2) ? f (2) ? f (2) ? 2 , ∴ f (4) ? 2

f ( x) ? f ( x ? 3) ? 2 ? f [ x( x ? 3)] ? f (4) ? f ( x2 ? 3x) ? f (4) ? x2 ? 3x ? 4 ? ?1 ? x ? 4
∴ f ( x) ? f ( x ? 3) ? 2 成立的 x 的取值范围是 ?1 ? x ? 3 。

六、奇偶性问题
例 7. 已知函数 f ( x)(x ? R,x ? 0) 对任意不等于零的实数 x1、x2 都有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 试判断函数 f (x)的奇偶性。 解:取 x1 ? ?1 ,x2 ? 1 得: f (?1) ? f (?1) ? f (1) ,所以 f (1) ? 0 又取 x1 ? x2 ? ?1 得: f (1) ? f (?1) ? f (?1) ,所以 f (?1) ? 0 再取 x1 ? x,x2 ? ?1则 f (? x) ? f (?1) ? f ( x) ,即 f (? x) ? f ( x) 因为 f ( x) 为非零函数,所以 f ( x) 为偶函数。 练习 1、已知 f ( x ) 是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对于任意的 a, b ? R, 都满足: f (a ? b) ? af (b) ? bf (a) . (1)求 f (0), f (1) 的值; (3)若 f (2) ? 2 , un ? (2)判断 f ( x ) 的奇偶性,并证明你的结论;

f (2? n ) (n ? N * ) ,求数列{ un }的前 n 项和 s n . n

(1)解:令 a ? b ? 0 ,则 f (0) ? 0 令 a ? b ? 1 ,则 f (1) ? 2 f (1) ? f (1) ? 0 (2)证明:令 a ? b ? ?1 ,则 f (1) ? 2 f (?1) ,∵ f (1) ? 0 ,∴ f (?1) ? 0 令 a ? x, b ? ?1 ,则 f (? x) ? xf (?1) ? f ( x) ? ? f ( x) ∴ f ( x ) 是奇函数。 (3)当 ab ? 0 时,
n

f (a ? b) f (b) f (a) f ( x) ? ? ,令 g ( x ) ? ,则 g (a ? b) ? g (a) ? g (b) ab b a x
n n n n n ?1

故 g (a ) ? ng (a) ,所以 f (a ) ? a ? g (a ) ? na g (a) ? na

f (a)

f (2? n ) ? 1 ? ∴ un ? ?? ? n ?2?

n ?1

1 ? f( ) 2
1 2 ?1? 1 ? ? f ?2? ? 0 ?2? 2
n ?1

∵ f (2) ? 2, f (1) ? f (2 ? ) ? 2 f ?

1 1 ?1? ? 1? ?1? ∴ f ? ? ? ? f (2) ? ? ,故 un ? ? ? ? ? ? ? 4 2 ?2? ? 2? ?2?
n 1? ?1? ? ? ?1 ? ? ? ? n 2? ? ?2? ? ? ?1? ∴ sn ? ? ? ? ? 1? n ? N ? ? 1 ?2? 1? 2

? n ? N ??

七、对称性问题
例 8. 已知函数 y ? f ( x) 满足 f ( x) ? f (? x) ? 2002,求 f
?1

( x) ? f ?1 (2002? x) 的值。

解: 已知式即在对称关系式 f (a ? x) ? f (a ? x) ? 2b 中取 a ? 0,b ? 2002 , 所以函数 y ? f ( x) 的图象关于点 (0, 2002)对称。根据原函数与其反函数的关系,知函数 y ? f 所以 f
?1 ?1

( x) 的图象关于点(2002,0)对称。

( x ? 1001 ) ? f ?1 (1001? x) ? 0
?1

将上式中的 x 用 x ? 1001 代换,得 f

( x) ? f ?1 (2002? x) ? 0

评析:这是同一个函数图象关于点成中心对称问题,在解题中使用了下述命题:设 a、b 均为常数,函数 y ? f ( x) 对一切实数 x 都满足 f (a ? x) ? f (a ? x) ? 2b ,则函数 y ? f ( x) 的图象关于点(a,b)成中心对称图形。

八、网络综合问题
例 9. 定义在 R 上的函数 f(x)满足:对任意实数 m,n,总有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ,且当 x>0 时,0<f(x) <1。 (1)判断 f(x)的单调性; (2)设 A ? {( x,y) | f ( x ) ? f ( y ) ? f (1)},
2 2

B ? {( x,y) | f (ax ? y ? 2 ) ? 1 ,a ? R} ,若 A ? B ? ? ,试确定 a 的取值范围。
,n ? 0 ,得 f (1) ? f (1) ? f (0) ,因为 f (1) ? 0 ,所以 f (0) ? 1 。 解: (1)在 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) 中,令 m ? 1
在 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) 中,令 m ? x,n ? ?x

因为当 x ? 0 时, 0 ? f ( x) ? 1

所以当 x ? 0 时 ? x ? 0,0 ? f (? x) ? 1

而 f ( x) ? f (? x) ? f (0) ? 1

所以 f ( x) ?

1 ?1? 0 f ( ? x)

又当 x=0 时, f (0) ? 1 ? 0 ,所以,综上可知,对于任意 x ? R ,均有 f ( x) ? 0 。 设 ? ? ? x1 ? x2 ? ?? ,则 x2 ? x1 ? 0, 0 ? f ( x2 ? x1 ) ? 1 所以 f ( x2 ) ? f [ x1 ? ( x2 ? x1 )] ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 )
2 2

所以 y ? f ( x) 在 R 上为减函数。
2 2

(2)由于函数 y=f(x)在 R 上为减函数,所以 f ( x ) ? f ( y ) ? f ( x ? y ) ? f (1) 即有 x 2 ? y 2 ? 1 又 f (ax ? y ? 2 ) ? 1 ? f (0) ,根据函数的单调性,有 ax ? y ? 2 ? 0

由 A ? B ? ? ,所以直线 ax ? y ? 2 ? 0 与圆面 x 2 ? y 2 ? 1 无公共点。因此有

2 a2 ?1

? 1 ,解得 ? 1 ? a ? 1 。

评析:(1)要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题:一是 f(0)的取值问题,二是 f(x)>0 的结论。这是解题 的关键性步骤,完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想,联想类比思维都有助于问题的思考和解 决。


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