www.dd224.com:山东省滕州市第一中学高中数学必修4教案: 2-4 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 精品

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新授课§2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 一、教学目标 重点:平面向量数量积的坐标表示.难点:向量数量积的坐标表示的应用. 知识点:平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 能力点: 通过对向量平行与垂直的充要条件的坐标表示的类比, 教给了学生类比联想的记忆 方法. 教育点: 经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程, 体验在此基础上探究发现 向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣,培养学生的探究能力、创新精神. 自主探究点:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 考试点:平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 易错易混点:若非零向量 a 与 b 的夹角为锐角(钝角) ,则 a ? b > 0(< 0) ,反之不成立. 拓展点: a / / b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 与 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 二、引入新课 1.两个非零向量夹角的概念 已知非零向量 a 与 b ,作 OA = a , OB = b ,则 ?AOB ? ? (0 ? ? ? π) 叫 a 与 b 的夹角. 2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角是 ? ,则数量 a b cos? 叫 a 与 b 的数量积,记作 a ? b ,即有 a ? b = a b cos? , (0 ? ? ? π) .并规定 0 与任何向量的数量积为 0. 平面向量的表示方法有几何法和坐标法,向量的表示形式不同,对其运算的表示方式 也会改变.向量的坐标表示,对向量的加、减、数乘运算带来了很大的方便.若已知向量 a 与 b 的坐标,则其数量积是唯一确定的,因此,如何用坐标表示向量的数量积就成为我们需 要研究的课题. 【设计意图】回顾两个非零向量夹角的概念及平面向量数量积的意义,为探究数量积的 坐标表示做好准备.创设情境激发学生的学习兴趣. 三、探究新知 1.探究一:已知两个非零向量 a = ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,怎样用 a 与 b 的坐标表示数量 积 a ? b 呢? 因为 a ? b = ? x1i ? y1 j ?? x2i ? y2 j ? ? x1 x2i 2 ? x1 y2i ? j ? x2 y1i ? j ? y1 y2 j 2 又 i ? i ? 1 , j ? j ? 1, i ? j ? j ? i ? 0 ,所以 a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 . 这就是说:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即 a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 . 【设计意图】问题引领,培养学生的探索研究能力 2..探究二:探索发现向量的模的坐标表达式 若 a = ?x , y ? ,如何计算向量的模 a 呢? a ? x2 ? y 2 若 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,如何计算向量 AB 的模即 A 、 B 两点间的距离呢? AB ? AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 ) 2 , 【设计意图】在向量数量积的坐标表示基础上,探索发现向量的模 3. 探究三:向量夹角、垂直、平行的坐标表示 设 a 与 b 都是非零向量, a = ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,如何判定 a ? b 或计算 a 与 b 的夹角 a,b 呢? (1) 、向量夹角的坐标表示 cos ? ? x1 x2 ? y1 y2 x12 ? y12 ? x22 ? y22 (2) 、 a ? b ? a b = 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 (3) 、 a / / b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 【设计意图】在向量数量积的坐标表示基础上两向量垂直,两向量夹角的坐标表达式,提醒 学生 a ? b 与 a / / b 坐标表达式的不同. 四、理解新知 1、向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完全代数化,并将数与形紧密结合 起来.本节主要应用有: (1)求两点间的距离(求向量的模); (2)求两向量的夹角; (3)证明两向量垂直. 2、已知非零向量 a = ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , 若 a / / b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 ; a ? b ? a b = 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 两个命题不能混淆,可以对比学习,分别简记为:纵横交错积相等,横横纵纵积相反. 【设计意图】 让学生学会怎样学习概念; 培养学生透过现象看本质的能力, 使学生养成细致、 全面地考虑问题的思维品质. 五、运用新知 例 1 、 已知向量 a 与 b 同向, b ? ?1, 2? , a ? b = 10 ,求: (1)向量 a 的坐标;(2)若 c = ? 2, ?1? ,求 (a c ) b . 解: (1)∵ a 与 b 同向,且 b ? ?1, 2? , ∴ a = ?b = ? ?, 2? ? (? ? 0). 又∵ a ? b = 10 ,∴ ? ? 4? ? 10 ,∴ ? ? 2 ,∴ a = ? 2, 4? . (2)∵ a ? c = 2 ? 2 ? (?1) ? 4 ? 0 ,∴ (a c) b ? 0 b = 0 . 【变式】 已知 a ? ? 4, ?3? , b ? 1,且 a ? b = 5 ,求向量 b 的坐标. 解: 设 b ? ? x, y ? ,则 ? ? x2 ? y 2 ? 1 ?4 x ? 3 y ? 5 4 ? x? ? ? ? 4 ?3 ? 5 解得 ? ∴b ? ? , ?. ?5 5 ? ?y ? ? 3 ? 5 ? 【设计意图】熟练应用向量数量积的坐标公式. 例 2、已知向量 a ? ? 4,3? , b ? ? ?1, 2? . (1)求 a 与 b 的夹角 ? 的余弦值; (2)若向量

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