福建省连城县第一中学2016-2017学年高二数学上学期期中试题 理

福建省连城县第一中学 2016-2017 学年高二数学上学期期中试题 理
★友情提示:要把所有答案都写在答题卷上,写在试卷上的答案无效。 一、选择题(每题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中只有一 项是符合题目要求的) 1.已知数列 1, 3 , 5 , 7 ,?, 2n ?1 ,?,则 3 5 是它的( A.第 22 项 B.第 2 3 项 )
2 2 B.若 a ? b ,则 a ? c ? b ? c

)

C.第 24 项

D.第 28 项

2.下列命 题正确的是( A.若 a ? b ,则

1 1 ? a b

2 2 C.若 a ? c ? b ? c ,则 a ? b

D.若 a ? b ? 0 , c ? d ,则 a ? c ? b ? d ) D.无解 )

3. 在 ?ABC 中, b ? 35, c ? 20, C ? 30? , 则此三角形解的情况是( A.两解 B. 一解 C. 一解或两解

P 为动点,若 PF 4. F 1 (?4,0)、F 2 (4,0) 为两个定点, 1 ? PF 2 ? 8 ,则动点 P 的轨迹为(
A 椭圆 B 直线 C 射线 D 线段 )

5.过点 (3, ?2) 且与椭圆 3x2 ? 8 y 2 ? 24 有相同焦点的椭圆方程为 (

A

x2 y 2 ? ?1 5 10

B

x2 y 2 ? ?1 10 15
( )

C

x2 y 2 ? ?1 15 10

D

x2 y2 ? ?1 25 20

6 下列有关命题的说法错误 的是 ..

A 命题“同位角相等,两直线平行”的逆否命题为:“两直线不平行,同位角不相等” B“若实数 x, y 满足 x2 ? y 2 ? 0 ,则 x, y 全为 0”的否命题为真命题 C 若 p ? q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题 D 对于命题 p : ?x0 ? R , x02 ? 2x0 ? 2 ≤ 0 ,则 ? p : ?x ? R ,x2 ? 2x ? 2 ? 0 7 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( A )

4 5

B

3 5

C

2 5
) C.19

D

1 5

8.已知{an}为等差数列,a1+a 3+a5=105 ,a2+a4+a6=99,以 Sn 表示{an}的前 n 项和, 则使得 Sn 达到最大值的 n 是( A.21 B.20
a b

D.18

9.已知实数 a ? 0, b ? 0 , 2 是 4 与 2 的等比中项, ,则

1 2 ? 的最小值是( a b



1

A.

8 3

B.

11 3

C.8

D.4

10.曲线 2x2 ? y 2 ? 1 与直线 x ? y ? 1 ? 0 交于 P, Q 两点, M 为 PQ 中点,则 kOM ? ( ) A? 2 B?

2 2

C

2 2

D 2

11.已知 F1, F2 是椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 ( a >b>0)的两个焦点,P 为椭圆 C a2 b2

上 一 点 , 且

?F1 PF2 =
A.9

2? ,若 ?PF 1 F2 的面积为 9 3 , 则 b=( ) 3
B.3 C.4 D.8

12. 已知 O 为坐标原点, F 是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0 ? 的左焦点, A, B 分别为 C 的左右顶 a 2 16

点. P 为 C 上一点,且 PF ? x 轴,过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M ,与 y 轴交于点 E .若直 线 BM 经过 OE 的中点,则 a ? ( ) A3 2 B2 5 C2 6 D4 2

第Ⅱ卷

非选择题(共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. )

?x ? y ? 3 ? 13.设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值为 ?y ?1 ?
2

.

14.若关于 x 的不等式 x ? ax ? a ? ?3 解集不是空集,则实数 a 的取值范围是________. 15.一船以每小时 12 海里的速度向东航行,在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60 ,行驶 4 小时后到 达 C 处,看到这个灯塔在北偏东 15 ,这时船与灯塔相距 16.直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 与椭圆 则椭圆的离心率为
? ?

海里.

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A,B 两点,且 P(?1,1) 恰好为 AB 中点, a 2 b2

2

三、解答题(本部分共计 6 小题,满分 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,请 在指定区域内作答,否则该题计为零分. ) 17. (本小题满分 10 分)设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 a=1,b=2,cos

C= .
(Ⅰ)求△ABC 的周长; (Ⅱ) 求 cos A 的值.
2

1 4

18 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 命 题 p : 方 程 x ? kx ?

9 ? 0 没有实数根( k ? R ) ,命题 q: 4

y ? log2 (kx2 ? kx ? 1) 定义域为 R,若命题 p ? q 为真命题,p ? q 为假命题,求 k 的取值范围
19. (本小题12分)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a2 与 a10 的等差中项是 ?2 ,且 a1a6 ? 14 (Ⅰ) 求数列 {an } 的通项公式;

2 S n ? 2an (n ? N ? ) ,求 f (n) 最小值及相应的 n 的值. n x2 2 20(本小题 12 分)已知 A? 2,0? , M 是椭圆 C : 2 ? y ? 1 (其中 a ? 1 )的右焦点, P 是椭圆 C a
(Ⅱ)设 f ( n) ? 上的动点.(Ⅰ)若 M 与 A 重合,求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)若 a ? 3 ,求 PA 的最大值与最小值.

1 3 21. (本小题满分 12 分)已知 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,满足 Sn ? n2 ? n ,正项等比数列 {bn } 的 2 2
前 n 项和为 Tn ,且满足 b3 ? 8, T2 ? 6 . (Ⅰ) 求数列{an}和{bn}的通项公式; 22. (本小题 12 分)已知椭圆 C : (1)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 记 cn ? an .bn n ? N ,求数列{cn}的前 n 项和 Gn .
?

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,椭圆 C 的长轴长为 4. 2 2 a b

3

(2)已知直线 l : y ? kx ? 3 与椭圆 C 交于 A,B 两点,是否存在实数 k 使得以线段 AB 为直径的圆 恰好经过坐标原点 O?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由.

4

连城一中 2016-2017 学年上学期半期考 高二数学试题参考答案 一 、选择题 1―――5 BCADC 二、填空题 13、-3 三、解答题 1 2 2 2 17.解:(Ⅰ)∵c =a +b -2abcos C=1+4 -4× =4.-----------2 分 4 ∴c=2.∴△ABC 的周长为 a+b+c =1+2+2=5.-----------4 分 1 15 1 2 2 (Ⅱ) ∵cos C= ,∴sin C= 1-cos C= 1 ? ( ) = .---6 分 4 4 4 15 4 asin C 15 ∴sin A= = = . -------------------------------8 分 c 2 8 ∵a<c,∴A<C.故 A 为锐角,------------------------------9 分 ∴c os A= 1-sin A= 1 ? (
2

6-------10 CBBCD 11—12 BA

? ??, ?6? ? ?2, ???
14. 15.24 2 16.

2 2

15 2 7 ) =8.----------------10 分 8
9 ? 0 没有实数根( k ? R ) , 4

18.[解析]

命题 q:方程 x ? kx ?
2

9 ? ? k 2 ? 4 ? = k 2 ? 9 <0,? ?3 <k<3-----------2 分 4
命题 q:g(x)= kx ? kx ? 1 ? 0 恒成立,?????????..3 分
2

当 k=0 时;1>0 恒成立,符合条件???????????.4 分 当 k ? 0 时; ?

?k ? 0
2 ?? ? k ? 4k ? 0

? 0 ? k ? 4, 综上. 0 ? k ? 4 ?????.6 分

命题 p ? q 为真命题,p ? q 为假命题,则 p,q 一真一假????????????7 分 如果 p 真且 q 假,则 ?

?? 3 ? k ? 3 ,?3 ? k ? 0 ?????????..9 分 ?k ? 0或k ? 4
?k ? ?3或k ? 3 ? 3 ? k ? 4 ???????????.11 分 ?0 ? k ? 4

如果 p 假且 q 真,则 ?

综上,k 的取值范围为(-3,0)∪[3,4).??????????????.12 分
5

19.解: (Ⅰ)∵ a2 与 a10 的等差中项是-2,∴ a6 ? ∵ a1 ? a6 ? 14 ,∴ a1 ? ?7 , ∴, d ? a6 ? a1 ? 1

1 ( a2 ? a10 ) ? ?2 ,??? 2 分 2
???????..? 4 分 ...............6 分

5

an ? n ? 8

(Ⅱ)∵ a1 ? ?7, an ? n ? 8 , ∴ S n ?

1 2 15 n ? n ??????8 分 2 2



2Sn ? 2an n2 ? 15n ? 2(n ? 8) 16 ? ? n ? ? 17 ? 2 16 ? 17 ? ?9 , ??11 分 n n n

16 即 n ? 4 时取等号,∴当 n ? 4 时,所求最小值为 ?9 ???12 分 n 2 20 解: (Ⅰ)由条件可知 c ? 2 ,又 b ? 1 ,所以 a ? 4 ? 1 ? 5 ,即 a ? 5
当且仅当 n ? 所以离心率为 e ?

2 2 5 .????4 分 ? 5 5
x2 ? y 2 ? 1,设 P( x, y ) , 9
2

(Ⅱ)若 a ? 3 ,则椭圆方程为

则 | PA | ? ( x ? 2) ? y ? ( x ? 2) ? 1 ?
2 2 2

x2 8 9 1 ? ( x ? )2 ? (?3 ? x ? 3) ????8 分 9 9 4 2

故当 x ?

9 2 时 | PA |min ? ;当 x ? ?3 时 | PA |max ? 5 .???12 分(若未说明 x 的取值扣 1 分) 4 2

21.解:(1) n ? 1, a1 ? S1 ? 2
n ? 2, an ? Sn ? Sn?1 ? n ? 1? an ? n ? 1 --------------------------3 分

设等比数列{bn}的公比为 q,首项为 b1 ,
?b1q 2 ? 8 2 ? 依题意可 知 ? b1 (1 ? q 2 ) ? q ? 2 或 q ? ? (舍)----5 分 3 ?6 ? ? 1? q

? bn ? b2 ? 2n?2 ? 2n --------------------6 分
(2) 则 Gn ? 2×2+3×2 +4×2 +?+n×2
2 3 n-1

+(n+1)×2 ,
n n+1

n

2 Gn ? 2×2 +3×2 +?+(n-1)×2
2 3 2 3 n

n-1

+n×2 +(n+1)2
n+1,

,??8 分

所以-Gn=2×2+(2 +2 +?+2 )-(n+1)×2

22 (1 ? 2n?1 ) n+1, 即-Gn=2×2+ -(n+1)×2 --------------------10 分 1? 2
-Gn=2×2+ 2
n ?1

? 4 -(n+1)×2n+1
6

-Gn= 2

n ?1

-(n+1)×2
n+1

n+1

-Gn=-n×2 Gn=n·2
n+1

,n∈N .----------------------------------------12 分

*

? a?2 ? ? a?2 ? 22、 (1)设椭圆的焦半距为 c,则由题设,得 ? c ,???2 分 3 ,解得 ? c ? 3 ? ? ? ? 2 ?a
所以 b2 ? a 2 ? c 2 ? 4 ? 3 ? 1 ,故所求椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 .????..4 分 4

(2)存在实数 k 使得以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O.理由如下:

x2 ? y2 ? 1, 设点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,将直线 l 的方程 y ? kx ? 3 代入 4
并整理,得 (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8 3x ? 8 ? 0 . (*)????? ????????.6 分

8 8 3k , x1 x 2 ? .???????????????8 分 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k ??? ? ??? ? 因为以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O,所以 OA ? OB ? 0 ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .
则 x1 ? x 2 ?

8 4k 2 ? 3 ? ? 0 ,?????.10 分 又 y1 y2 ? k x1 x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 3 ,于是 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
2

解得 k ? ?

11 ,????????????..11 分 2

经检验知:此时(*)式的 Δ >0,符合题意. 所以当 k ? ?

11 时,以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O.??????12 分 2

7


相关文档

福建省长泰县第一中学2016_2017学年高二数学上学期期中试题
福建省柘荣县第一中学等五校2016_2017学年高二数学上学期期中试题文
福建省福州第一中学2016_2017学年高二数学上学期期中试题理(扫描版,无答案)
福建省厦门市第一中学2016_2017学年高二数学上学期期中试题理(扫描版)
福建省连城县第一中学2016_2017学年高二政治上学期期中试题理
山东省平原县第一中学2016_2017学年高二数学上学期期中试题理(扫描版)
福建省厦门市翔安第一中学2016_2017学年高二数学上学期期中试题
甘肃省高台县第一中学2016_2017学年高二数学上学期期中试题理(扫描版)
福建省连城县第一中学2016-2017学年高二政治上学期期中试题 理
辽宁省本溪市第一中学2016_2017学年高二数学上学期期中试题理
电脑版