专题训练4二次函数数学试卷试题

高考数学 第 高考数学(第
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二 轮)专

题 训 练
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第四讲: 二次函数
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知能目标
1. 了解二函数、一元二次不等式及一元二次方程三者之间的关系, 掌握一元二次不等式的解法. 2. 掌握二次函数 f ( x ) = ax + bx + c (a ≠ 0) 的性质与图象特征.
2

综合脉络
1. 二次函数 f ( x ) = ax + bx + c (a ≠ 0) 的图象是抛物线 以直线 x = ? 的图象是抛物线,
2

b 为对称轴, 为对称轴 顶点为 2a

b 4ac ? b 2 , ) 2a 4a 它与 x 轴交点的横坐标是方程 f ( x ) = 0 的根, 它在 x 轴上截得线段长为: | x 1 ? x 2 |= (?

b 2 ? 4ac 2 . 当 a > 0 且 b ? 4ac < 0 时, 有 f ( x ) > 0 恒成立; |a| 2 当 a < 0 且 b ? 4ac < 0 时, f ( x ) < 0 恒成立. ( x 1 + x 2 ) 2 ? 4x 1 x 2 =
二次函数常用的另两种表达形式为: 顶点式: f ( x ) = a ( x ? h ) 2 + k , 其中 ( h , k ) 为抛物线顶点 双根式: f ( x ) = a ( x ? x 1 )( x ? x 2 ) , 其中 x 1 、 x 2 为方程 ax + bx + c = 0 的两根. 2. 二次函数是与其他知识联系密切、实际应用广泛的一类基本初等函数 二次函数是与其他知识联系密切 尽管在初中学过, 但在高中有关函数理论的指导下, 其性质和应用的讨论达到相当的深度, 因而是高中灵活多变, 重点考查的内容之一. 复习中要熟练做到: (1) 能灵活运用图象及其性质解决问题 (比如二次方程实根分布问题); (2) 注意用数形结合的思想来解决一元二次函数, 一元二次方程, 一元二次不等式的相关问题 (包括与解析几何联系的问题); (3) 注意化归思想在一员二次函数及相关知识中的运用, 注意应用题中创建二次函数的模型. 典型例题讲解 例题讲解: (一) 典型例题讲解: 2 例 1. (1) 不等式 f ( x ) = ax ? x ? c > 0 的解集为 {x | ?2 < x < 1} , 则函数 y = f ( ? x ) 的图象 为 ( )
2

(2) 已知 k < ?4 , 则函数 y = cos 2 x + k (cos x ? 1) 的最小值是 A. 1 B. ? 1 C. 2k + 1

(

)

D. ? 2k + 1

1

例 2. 已知二次函数 f ( x ) = ax + x .
2

m+n 1 ) ≤ [f (m) + f (n )] 成立, 求实数 a 的取值范围; 2 2 (2) 若 x ∈ [0, 1] 时,有 | f ( x ) | ≤ 1 , 试求实数 a 的取值范围.
(1) 若对于任意 m, n ∈ R, 有 f (

2 例 3. 设 f ( x ) = x ? 2ax + 2, 当 x∈ [ ?1,

∞) 时, f ( x ) ≥ a 恒成立, 求实数 a 的取值范围.

专题测试与练习: (二) 专题测试与练习: 一. 选择题 1. 若关于 x 的不等式 x 2 ? 4 x ≥ m 对任意 x∈ (0, 1] 恒成立, 则 A. m ≥ ?4 B. m ≥ ?3 C. ( D. m ≤ ?3 ( D. [ ) )

?3≤ m < 0

2. 已知函数 y= x 2 ? 4ax ( 1 ≤ x ≤ 3 ) 是单调递增函数, 则实数 a 的取值范围是 A. (?∞,

1 ] 2

B. (?∞, 1]

C.

1 [ , 2

3 ] 2

3 , + ∞) 2

3. 设函数 f ( x ) = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 ) , 对任意实数 t 都有 f ( 2 + t ) = f ( 2 ? t ) 成立. 问:在函 数值 f ( ?1) 、 f (1) 、 f ( 2) 、 f (5) 中, 最小的一个不可能是 A. f ( ?1) B. f (1)
2

(

)

C. f ( 2)

D. f (5)

4. 不等式 ax + bx + 2 > 0 的解集是 (?
2

1 1 , ) , 则 a ? b 等于 2 3
C. -10
2

( D. 10 ( D. [f (0), f (3)]

)

A. -4

B. 14

5. 当 1 ≤ x ≤ 3 时,二次函数 f ( x ) = 2 x ? 6 x + c 的值域为 A. [f (1), f (3)]
2

)

B. [f (1), f ( )]

3 2

C. [f ( ), f (3)]

3 2

6. 已知 f ( x ) = ax + bx + c ( a > 0 ) 的对称轴方程为 x = 2 , 则下列判断正确的是 A. f ( π ? 2) = f ( π) 二. 填空题 B. f (

(

)

2 ) < f ( π) 2

C. f (

2 ) > f (π) 2

D. f (

2 ) ≤ f ( π) 2

7. 若二次函数 f ( x ) = ax + bx , 有 f ( x 1 ? 1) = f ( x 2 + 1) ( x 1 ? x 2 ≠ 2) , 则 f ( x 1 + x 2 ) = .
2

8. 已知 f ( x ) = x 2, g ( x ) 是一次函数且为增函数, 若 f [g ( x )] = 4 x 2 ? 20 x + 25, 则 g ( x ) = . 9. 已知函数 f ( x ) = - log 2 ( x 2 ? ax ? a ) 在区间 ( ?∞, 1 ? 3 ) 上是增函数, 则实数 a 的范围 . 是 10. 若 α 、 β 是关于 x 的方程 x ? 2kx + k + 6 = 0 的两个实根, 则 (α ? 1) 2 + (β ? 1) 2 的最小 值为 .
2

三. 解答题 11. 已知二次函数 f ( x ) 满足 f ( 2 ? x ) = f ( 2 + x ) , 其图象顶点为 A, 图象与 x 轴交于点 B (?1, 0) 和 C 点, 且△ABC 的面积为 18, 写出此二次函数的解析式.

12. 若 f ( x ) = 1 ? 2a ? 2a cos x ? 2 sin 2 x 恒大于 0, 求实数 a 的取值范围.

3

13. 已知

1 ≤ a ≤ 1 , 若 f ( x ) = ax 2 ? 2 x + 1 在区间 [1, 3] 上的最大值为 M (a ) , 最小值为 3 N (a ) , 令 g (a ) = M (a ) ? N (a ) . (1) 求 g (a ) 的函数表达式; (2) 判断 g (a ) 的单调性, 并求出 g (a ) 的最小值.

14. 设 二 次 函 数 f ( x ) = ax 2 + bx + c (a > 0) , 方 程 f ( x ) ? x = 0 的 两 根 x 1 , x 2 满 足

1 . a (1)当 x ∈ (0, x 1 ) 时, 证明: x < f ( x ) < x 1 ; 1 < x1 < x 2 <
(2)设函数 f ( x ) 的图象关于直线 x = x 0 对称, 证明: x 0 <

x1 . 2

4

二次函数解答
典型例题 (一) 典型例题 例 1 (1) C; (2) A.

例 2 (1) 因函数 f ( x ) 是二次函数得 a ≠ 0 又因对于任意 m, n ∈ R, 有 f ( 从而得出 a > 0

m+n 1 ) ≤ [f (m) + f (n )] 成立, 得到函数 f ( x ) 是凹函数, 2 2
2

(2) 由 | f ( x ) |≤ 1 等价于 ? 1 ≤ f ( x ) ≤ 1 , 即 ? 1 ≤ ax + x ≤ 1 , 而 x ∈ [0,1] , ① 当 x = 0 时, a ≠ 0 , ? 1 ≤ ax + x ≤ 1 式显然成立;
2

② 当 x ∈ (0,1] 时, ? 1 ≤ ax + x ≤ 1 式化为 ?
2

1 1 1 1 ? ≤ a ≤ 2 ? 在 x ∈ (0,1] 上恒成立. 2 x x x x

设t =

1 ∈ [1,+∞) , 则有 ? t 2 ≤ a ≤ t 2 ? t , 所以只须 x ?a ≥ (? t 2 ? t ) max = ?2 ? ? ?2 ≤ a ≤ 0, ? ?a ≤ ( t 2 ? t ) min = 0 ? 又 a ≠ 0 , 故得到 ? 2 ≤ x ≤ 0 . 综上所述, a 的取值范围是 [?2,0) .
例 3 ∵ 当 x∈ [ ?1, ∞) 时, f ( x ) ≥ a 恒成立, ∴ 只要 f ( x ) 的最小值大于等于 a 即可,

f (x ) = (x ? a ) 2 + 2 ? a 2
(1) 当 x = a ∈ [ ?1,

∞) 时, f (a ) min = 2 ? a 2 ≥ a ? ?2 ≤ a ≤ 1

(2) 当 x = a ∈ ( ? ∞,?1) 时, f ( ?1) min = ( ?1 ? a ) 2 + 2 ? a 2 ≥ a ? ?3 ≤ a < ?1 综上所述: a ∈ [ ?3,1]

(二) 专题测试与练习 一. 选择题 题号 答案 二. 填空题 7. 0 ; 8. 2 x ? 5; 9. [ 2 ? 3 ,2]; 10. 8 . 三. 解答题 11. 解:对称轴为 x = 2 , 顶点坐标为 ( 2, k ) 设二次函数解析式为: f ( x ) = a ( x ? 2) 2 + k , 设 C( n , 0) , 1 D 2 A 3 B 4 C 5 C 6 C

n ?1 = 2 ? n = 5 ? C(5, 0) 2 | ?1 ? 5 | × | k | ∴18 = ? k = ±6. 2 ∴ A(2, ± 6) , 即有 y = a ( x ? 2) 2 ± 6 ,


5

由点坐标代入得: a = ?

2 , 3

∴y =

2 2 ( x ? 2 ) 2 ? 6 或∴ y = ? ( x ? 2 ) 2 + 6 3 3
2 2

12. 解: f ( x ) = 1 ? 2a ? 2a cos x ? 2 sin x = 2 cos x ? 2a cos x ? 2a ? 1. 令 t = cos x , 则 t ∈ [ ?1, 1] , 由题意得 2 t ? 2at ? 2a ? 1 > 0 在 t ∈ [ ?1, 1] 时恒成立,
2

2 t 2 ? 2at ? 2a ? 1 > 0 可变为 2a ( t + 1) < 2 t 2 ? 1 …………(1) 当 t = ?1 时上面不等式(1)显然成立, 当 t ≠ ?1 时, 因为 t + 1 > 0 , 所以不等式(1)可 2t 2 ? 1 2t 2 ? 1 变为 a < , 令 g(t ) = , 2( t + 1) 2( t + 1)
则 g(t ) =

2t 2 ? 2 + 1 1 = ( t + 1) + ?2≥ 2 ?2 2( t + 1) 2( t + 1)
1 2 ?t= ? 1 时取等号) 2( t + 1) 2

(当且仅当 t + 1 =

因此 a 的取值范围是 ( ?∞,

2 ? 2) . 1 1 1 , 而 ≤ a ≤ 1,∴1 ≤ ≤ 3 a 3 a

13. 解:(1) 函数 f ( x ) = ax 2 ? 2 x + 1 的对称轴为直线 x = ∴ f ( x ) 在 [1,3] 上 N (a ) = f ( ) = 1 ? ①当 1 ≤

1 a

1 a

1 1 ≤ 2 时,即 ≤ a ≤ 1 时, M (a ) = f (3) = 9a ? 5 a 2 1 1 1 ②当 2 < ≤ 3 时,即 ≤ a < 时, M (a ) = f (1) = a ? 1 a 3 2 1 1 ? 9a + ? 6, ≤ a ≤ 1 ? ? a 2 ∴ g (a ) = M (a ) ? N ( a ) = ? ?a + 1 ? 2, 1 ≤ a < 1 ? a 3 2 ? 1 1 1 (2) g ( a )在[ ,1]上单调递增,在[ , )上单调递减, 2 3 2 1 1 g (a ) = g( ) = . min 2 2 14. 解:证明: (1)令 F( x ) = f ( x ) ? x . ∵ x 1 , x 2 是方程 f ( x ) ? x = 0 的两根,∴ F( x ) = a ( x ? x 1 )( x ? x 2 ) . 当 x ∈ (0, x 1 ) 时,由于 x 1 < x 2 , 所以 ( x ? x 1 )( x ? x 2 ) > 0 . 又因 a > 0 ,得 F( x ) = a ( x ? x 1 )( x ? x 2 ) > 0 . 即 f ( x ) ? x > 0, 从而得到 x < f ( x ) . 又因 x 1 ? f ( x ) = x 1 ? [ x + F( x )] = ( x 1 ? x )[1 + a ( x ? x 2 )] , 1 因 0 < x 1 < x 2 < ,∴ x 1 ? x > 0 . a 因 1 + a ( x ? x 2 ) = 1 + ax ? ax 2 > 1 ? ax 2 > 0 ,

6

∴ x 1 ? f ( x ) > 0, 即f ( x ) < x 1 . 综上可知 x < f ( x ) < x 1 . (2)由题意知 x 0 = ?

b , ∵ x 1 , x 2 是方程 f ( x ) ? x = 0 的两根, 2a

即 x 1 , x 2 是方程 ax 2 + ( b ? 1) x + c = 0 的两根,

1? b c , x1x 2 = . a a ∴ ? b = a(x1 + x 2 ) ? 1 . b a ( x 1 + x 2 ) ? 1 ax 1 + ax 2 ? 1 = = ∴ x0 = ? . 2a 2a 2a ax 1 x 1 又因 ax 2 < 1 , ∴ x 0 < = . 2a 2
∴ x1 + x 2 =

7


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