频率分布直方图与茎叶图的应用

频率分布直方图与茎叶图的应用
课时目标:1、能够根据样本数据列频率分布表、绘制频率分布直方图; 2、理解茎叶图的概念和准确绘制茎叶图; 3、能够通过频率分布表、频率分布直方图和茎叶图解决统计的有关问题; 重难点:重点:频率分布直方图和茎叶图的相关知识 难点:频率分布直方图和茎叶图的应用 教学过程 一、知识回顾: 1、频率分布表: 2、频率分布直方图: (1)概念: (2)绘制频率分布直方图的步骤: ; ;

3、茎叶图: 二、典型题型剖析



例 1、 (2011 四川理 1)有一个容量为 66 的样本,数据的分组及各组的频数如下: [11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5,31.5)1l [31.5,35.5) 12 [35.5.39.5) 7 [39.5,43.5) 3 根据样本的频率分布估计,数据落在[31.5,43.5)的概率约是( )

1 A. 6
【答案】B

1 B. 3
P?

1 C. 2
22 1 ? 66 3 。

2 D. 3

【解析】从 31.5 到 43.5 共有 22,所以

练习 1、 (2009 福建文)一个容量 100 的样本,其数据的分组与各组的频数如下表 组别

(0,10]

?10,20?
13

?20,30?
24

?30,40?
15 ) C、 0.52

(40,50]

(50,60]

(60,70]

频数

12

16

13

7

则样本数据落在 ?10,40? 上的频率为( A、 0.13 B、 0.39

D、 0.64

解 由题意可知频数在 ?10,40? 的有:13+24+15=52,由频率=频数 ? 总数可得 0.52.故选 C.

1

例 2、 (2009 浙江文)某个容量为 100 的样本的频率分布直方图如下,则在区间 [4,5) 上的数 据的频数为 .. .

练习 2、 (2009 湖北文)下图是样本容量为 200 的频率分布直方图。 根据样本的频率分布直方图估计, 样本数据落在 ?6,10? 内的频数为 内的概率约为 。 , 数据落在 ?2,10?

【答案】64 【解析】观察直方图易得频数为 200 ? 0.08 ? 4 ? 64 ,频 率为 0.1 ? 4 ? 0.4

3、 ( 2006 年重庆卷)为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了该地区 100 名年龄 为 17.5 岁-18岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下:

根据上图可得这 100 名学生中体重在 ?56.5,64.5? 的学生人数是( A、 20 B、 30 C、 40 D、 50

C )

2

例 3、 (2006 年全国卷 II)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10 000 人,并根据 所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图) .为了分析居民的收入与年龄、学历、 职业等方面的关系,要从这 10 000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查, 则在[2500,3000) (元)月收入段应抽出 25 人. 频率/组距 0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 月收入(元)

例 4、 (2011 宁夏 16) 从甲、 乙两品种的棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度 (单位: mm) , 结果如下: 甲品种:271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352 乙品种:284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356 由以上数据设计了如下茎叶图 甲 7 5 5 8 7 3 9 8 5 7 3 5 4 3 4 5 4 1 0 2 1 0 3 1 2 27 28 29 30 31 32 33 34 35 4 2 4 2 0 1 3 6 乙

5 6 3 2 3

7 5 5 6 8 8 2 4 7 9 6 7

根据以上茎叶图,对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较,写出两个统计结论: ① ; ② . 参考答案: (1)乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度(或:乙品种棉花的纤维 长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度) . (2)甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散. (或:乙品种棉花的纤维长度 较甲品种棉花的纤维长度更集中(稳定) .甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花 的纤维长度的分散程度更大) . (3) 甲品种棉花的纤维长度的中位数为 307mm, 乙品种棉花的纤维长度的中位数为 318mm. (4)乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的,而且大多集中在中间(均值附近) .甲品种棉 花的纤维长度除一个特殊值(352)外,也大致对称,其分布较均匀. 注:上面给出了四个结论.如果考生写出其他正确答案,同样给分.
3

例 5、 (2011 北京文 16) 、以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中 有一个数据模糊,无法确认,在图中以 X 表示.

(1)如果 X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差;

(注:方差 s ?
2

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x 2 ? x) 2 ? ? ( x n ? x) 2 ], 其中 x 为 x1 , x2 ,?, xn 的平均数) n

解(1)当 X=8 时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10, 所以平均数为

x?

8 ? 8 ? 9 ? 10 35 ? ; 4 4

方差为

1 35 35 35 11 s 2 ? [(8 ? ) 2 ? (9 ? ) 2 ? (10 ? ) 2 ] ? . 4 4 4 4 16 1 、 (2013 年四川(文) 某学校随机抽取 20 个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得 )
数据的茎叶图如图所示.以组距为 5 将数据分组成 [0,5) , [5,10) ,, [30,35) , [35, 40] 时, 所作的频率分布直方图是

频率 组距

0.04 0.03 0.02 0.01

0.05 0.04 0.03 0.02 0.01

频率 组距

频率 组距

频率 组距

0.04 0.03 0.02 0.01 5 10 15 20 25 30 35 40 人数

0.04 0.03 0.02 0.01 10 20 30 40 人数

0

5 10 15 20 25 30 35 40 人数

0

0

0

10

20

30

40 人数

(A)

(B)

(C)

(D)

【答案】A

C
2 . 2012 年 ( (陕西文) 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如 )

图所示),则改样本的中位数、众数、极差分别是

4

( A.46,45,56 C.47,45,56 B.46,45,53 D.45,47,53



5 . (2012 年高考(湖北文) 容量为 20 的样本数据,分组后的频数如下表 )

分 组 频 数

[10, 20)
2

[20,30)
3

[30, 40)
4

[40,50)
5

[50,60)
4 (

[60,70)
2 )

则样本数据落在区间 [10, 40) 的频率为 A. 0.35 B. 0.45 C. 0.55 D. 0.65

7 . (2012 年高考(山东文) 右图是根据部分城市某年 6 月份的 )

平均气温(单位:℃)数据得到的样本频率分布直方图,其中 平 均 气 温 的 范 围 是 [20.5,26.5], 样 本 数 据 的 分 组 为
[20.5, 21.5) , [21.5, 22.5) , [22.5, 23.5) , [23.5, 24.5) , [24.5, 25.5) , [25.5, 26.5] .已知样本中平均气温低于 22.5℃的

城市个数为 11,则样本中平均气温不低于 25.5℃的城市个 数为____.
8 . (2012 年高考(湖南文) 图 2 是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图, )

5

0 8 9
则该运动员在这五场比赛中得分的方差为_________. 1 0

3 5

图2
(注:方差 数)
13. (2012 年高考(广东文) (统计)某校 100 位学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如 )

s2 ?

1 ?( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? ? ? ( xn ? x ) 2 ? ,其中 x 为 x1,x2,,xn 的平均 ? n?

图 4 所 示 , 其 中 成 绩 分 组 区 间 是 : ?50,60 ? 、

?60,70 ? 、 ?70,80? 、 ?80,90? 、 ?90,100? .
(Ⅰ)求图中 a 的值; (Ⅱ)根据频率分布直方图,估计这 100 名学生语文 成绩的平均分; (Ⅲ)若这 100 名学生的语文成绩某些分数段的人 数( x )与数学成绩相应分数 段的人数( y )之比如下表所示,求数学成绩在 ?50,90? 之外 的人数. 分 数段

?50,60?
1:1

?60,70 ?
2 :1

?70,80?
3:4

?80,90?
4:5

x: y

13.解析:(Ⅰ)由 ? 2a ? 0.02 ? 0.03 ? 0.04? ?10 ? 1 ,解得 a ? 0.005 .

(Ⅱ) 0.05 ? 55 ? 0.4 ? 65 ? 0.3 ? 75 ? 0.2 ? 85 ? 0.05 ? 95 ? 73 . (Ⅲ)这 100 位学生语文成绩在 ?50,60 ? 、?60,70 ? 、?70,80 ? 、?80,90 ? 的分别有 5 人、40 人、30 人、20 人,按照表中所给比例,数学成绩在 ?50,60 ? 、?60,70 ? 、?70,80 ? 、?80,90 ? 的分别有 5 人、20 人、40 人、25 人,共 90 人,所以数学成绩在 ?50,90 ? 之外的人数有 10 人.
2 . (2013 山东(文) 将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分,去掉 1 个最低分,7 个剩余分数 )

的平均分为 91,现场做的 9 个分数的茎叶图后来有一个数据模糊,无法辨认,在图中以 x 表示:

8 9

7 4

7 0

1

0

x

9

1

6

则 7 个剩余分数的方差为



A.

116 9

B.

36 7

C.36

D.

6 7 7

【答案】B 3 . (2013 陕西(文) 对一批产品的长度(单位: mm)进行抽样检测, 下图喂检测结果的频率 )

分布直方图. 根据标准, 产品长度在区间[20,25)上的为一等品, 在区间[15,20)和区 间[25,30)上的为二等品, 在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品. 用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取一件, 则其为二等品的概率为( )

( A.0.09
【答案】D 4. (2013 辽宁(文) 某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分 )



B.0.20

C.0.25

D.0.45

组一次为 ?20,40? , ?40,60? , ?60,80? ,8?20,100? ,若低于 60 分的人数是 15 人,则该班的学 生人数是( )

( A. 45
【答案】B



B. 50

C. 55

D. 60

5.如图,从参加环保知识竞赛的学生中抽出 60 名,将其成绩(均为整数)整理后画出的频 率分布直方图如下: 观察图形, 回 答下列问题: (1) 79.5---89.5 这一组的频数、 频率分别是多少? (2)估计这次环保知识竞赛的及 格率(60 分及以上为及格)

7


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