函数专题训练卷2

函数专题训练卷(二) 一、选择题(本题满分30分,每小题6分) 1.(训练题34)对于一切实数x,所有的二次函数f(x)=ax2+bx+c(a<b) 的值恒为非负实数. 则
1 1

M =

a+b+c b-a

的最小值是(D). (D)3 和 cos ? .则在 p o q 坐标平面上,
q
2. 5

(A) 2

(B) 3
2

(C)2
? px ? q ? 0 的根是 s in ?
q

2.(训练题29)方程 2 x 点 ( p , q ) 的图形是(B). q

-2 1

q


1

1

. .

o

. . 2

. -1

p

-2

. . (B)

o

1

. . 2
2 2

. -1

p

-2

.-1.

o

. . 1 2

p

-2

.-1.

o

. . 1 2

p

(A)

(C)
g (x)

-2. 5

(D)

3.(训练题59)函数 y ? 有 是(B). (A)奇函数 非偶函数
f ( x) ? f (? x) ? 0

f (x)

与y ?

有相同的定义域,对定义域中任何 x , 时,
g ( x) ? 1



g ( x) g (? x) ? 1

, 且当 x ? 0

, 则

F (x ? )

2( f x ) g (1 ? )x

(? f x )

(B)偶函数
2

(C)既是奇函数又是偶函数
(x ? R

(D)非奇

x ? x ?1 2 4. (训练题34)设函数 且 的最小值为 an,最大值为bn,记cn=(1-an)(1-bn). 则数列{cn} (C). (A)是公差不为零的等差数列 (B)是公比不为1的等比数列 (C)是常数列 (D)不是等差数列也不是等 比数列
2

y ? f (x) ?

x ?x?n

x?

n ?1

,n? N )
*

? ( x ? 1) e 5. (训练题12)方程 的解集为 A (其中,e 是无理数, e ? 2 .7 1 8 2 8 ? ).则 A 中的所有元素的平方和等于(C). (A)0 (B)1 (C)2 (D)4
2 2 x

x ? x ? 1 ? xe

x ?1

2

x 1 x 2 ? x n ?1
n ? 3,

?

x 1 x 2 ? x n ?1 x n x n ?1

?? ?

x2 x3 ? xn x1

?n

6.(训练题16) 方程 组解一共有(B) . (A)n组 (B) 2 n ?1 组

xn

的有序整数 (D) 2 n ?1 组

(C) 2 n 组

二、填空题(本题满分54分,每小题9分) 7.(训练题14)设函数f(x)的定义域和值域都是 R ,且对任意的 a , b ? R 有
f [ a f ( b )] ? a b

,则

f (1 9 9 5 )

的值是
2

1995 4
y ? f ( x)

. . 如果在
x ?1

8. (训练题14)设 f ( x ) ? a x
x ?1 2ax ? b

? bx ? c (a , b, c ? R , a ? 0)

时,

f (x) ? 1



则在 时, 的最大值等于 9 . ( 训 练 题 19) 已 知 函 数
? ( x ) ? log s
2

. 的 反 函 数 是
f (x ? )

? (x)

, 且
6

? e

(

1996
c

? sin ? ), (? ? (0,
2

?
2

)

x

. 则 方 程

1

的 9解 9是

-1 . 10 . ( 训 练 题 16) 任 意 整 数
ax ? by ? cz ? bx ? cy ? az ? cx ? ay ? bz ? x ? y ? z

x, y, z,

满 足 等 式
a, b, c

的 所 有 实 数 (1, 0, 0), ( ? 1, 0, 0), (0,1, 0), (0, ? 1, 0), (0, 0,1), (0, 0, ? 1) 共6组 .
f (x) ? x ? kx
4 4 2 2



?1

x ? x ?1 11.(训练题16)设 ∈R) ,对任意三个实数a,b,c,已知 存在一个三角形,三边长分别为 f ( a ), f ( b ), f ( c ), 则满足上述条件的所有实

(x

2 数 k 的范围是 . 12 . ( 训 练 题 37) 已 知 对 于 每 一 个 实 数 x 和 y , 函 数 f ( x ) 满 足 f ( x ) ? f ( y ) ? f ( x ? y ) ? xy . f (1) ? m , 若 则满足 f ( n ) ? 1998 的正整数对 ( m , n ) 共 有 16 个.

(?

1

, 4)

三、解答题(本题满分60分,每小题20分)
13、 (18′=4′+8′+6′) (理)已知
f ?x ? ? a x ?
2
?

1 2

x , x ? ? ? 2 , 2 ?, a 为正常数。
3

(1)可以证明:定理“若 a 、 b ? R ,则

a ?b 2

?

ab (当且仅当 a ? b 时取等号) ”推

广到三个正数时结论是正确的,试写出推广后的结论(无需证明) ; (2)若 f ? x ? ? 0 在 ? 0 , 2 ? 上恒成立,且函数 f ? x ? 的最大值大于 1 ,求实数 a 的取值范围, 并由此猜测 y ? f ? x ? 的单调性(无需证明) ; (3)对满足(2)的条件的一个常数 a ,设 x ? x 1 时, f ? x ? 取得最大值。试构造一个定 义在
g ? x ? ? f ? x ? ,当 x ? D 时, g ? x ? 取得最大值的自变量的值构成以 x 1 为首项的等差数列。
D ? ?x x ? ? 2 , 且 x ? 4 k ? 2 , k ? N ? 上 的 函 数 g ? x ? , 使 当 x ? ? ? 2 , 2 ? 时 ,
a ?b? c 3

解: (1)若 a 、 b 、 c ? R ,则

?

?

3

abc (当且仅当 a ? b ? c 时取等号) 。

2 (2) f ? x ? ? a x ?

1 2

x

3

1 2 1 2? ? 2 2 x 在 ?0 , 2 ? 上 ? x ? a ? x ? ? 0 在 ? 0 , 2 ? 上恒成立,即 a ? 2 2 ? ?

恒成立, ∵ 又
1 2 ?? 2 ? 2 ? x ? a ? x ?? a 2 ? ??
2

1 2

x ? ? 0 , 2 ? ,∴ a
2

2

? 2 ,即 a ?

2 ,


? 2 ? 2 1 2? ? 2 1 2 ?? ?x ? ?a ? x ? ? ?a ? x ?? 1 2? 2 2 ? ? ? ?? ? x ?? ? 2 3 ? ? ? ? ? ? ?
1 2 x
2

3

? f ? x ??

2

? 2a 2 ? ? ? ? ? 3 ? ? ?

3


? 2 6 9
a 3

x

2

? a

2

?


3


6 2

x ?

6 3

a





fm

a

? 1x ? a
6 3

3

?

9 2 6

?

3 6 4

? 6 ? ? ? a ? ? ? ? 2 ? ? ?
6 。



又∵ x ?

a ? ? 0 , 2 ? ,∴ a ? 0 , 6 3

?

?

综上,得 a ?
6 3

?

2,

6

?



易知, f ? x ? 是奇函数,∵ x ? 故猜测: x ? ? ? 2 , ?
? ? ? 6

a 时,函数有最大值,∴ x ? ?

a 时,函数有最小值。

? ? 6 ? ? 6 6 ? a? ? ? a , 2 ? 时, f ? x ? 单调递减; x ? ? ? a, a ? 时, ? 3 3 3 3 ? ? ? ? ?

f ? x ? 单调递增。

(3)依题意,只需构造以 4 为周期的周期函数即可。 x ? ? 4 k ? 2 , 4 k ? 2 ?, k ? N 如 对 ,
g ?x ? ? g ?x ? 4k ? ? f ?x ? 4k ? ,
2 即 g ?x ? ? a ?x ? 4k ? ?

x ? 4 k ? ?? 2 , 2 ?







1 2

?x ?

4 k ? , x ? ? 4 k ? 2 , 4 k ? 2 ?, k ? N
3



14.(训练题37)(本题满分20分)已知函数 列条件:①
f ( x) f ( f ( x) ?
2

f (x)

在 R ? 上有定义,且满足下
1 x
2

f (x)


3

R

?

严格递减,且

f ( x) ?

;②在

R

?

上恒有

1 x
2

. (1 ) 求函数值 f (1) ; (2) (2) 给出一个满足提设条件的函数 f ( x ) .

) ? f (1)

15 、 ( 训 练 题 36)( 本 题 满 分 50 分 ) ( 1 ) 当 0 ≤ x ≤ 1 时 , 求 函 数
h(x) ? ( 1 ? x ? 1 ? x ? 2 ) ? ( 1 ? x ? 1)
2

的取值范围; (2)证明:当 0≤x≤1 时,存在
x
a

正数β , 使得不等式 数β .

1? x ?

1? x ? 2 ?

?

成立的最小正数α =2. 并求此时的最小正


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