【成才之路】高中数学 2.3 幂函数课件 新人教A版必修1_图文

成才之路 ·数学 人教A版 ·必修1 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 1.1.1 集合的概念 第二章 2.3 幂函数 1.1.1 集合的概念 1 预习导学 3 随堂测评 2 互动课堂 4 课后强化作业 预习导学 ●课标展示 1.了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式. 1 1 2.结合幂函数 y=x,y=x ,y=x ,y=x ,y=x2 的图象, 2 3 掌握它们的性质. 3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小. ●温故知新 旧知再现 1.在同一坐标系中画出函数y=3x与y=4x的图象,结合图 象比较大小: <30.4; (1)30.2__ <40.4. (2)30.4__ 2 .注意到 30.4 与 40.4 的指数均是 0.4 ,我们还可以用函数 y=x0.4 的性质来比较大小. ________ 3.求下列函数的定义域: 1 (-∞,0)∪(0,+∞) ; (1)y=x ,定义域为____________________ (0,+∞) . (2)y= x,定义域为___________ 新知导学 幂函数 xα 叫做幂函数,其中 x 是自 (1) 定义:一般地,函数 y =_____ 常数. 变量,α是_____ [名师点拨] 幂函数与指数函数的区别与联系 表达式 y=ax(a>0, 指数函数 且a≠1) 幂函数 y=xα(α∈R) 函数 相同点 不同点 指数是自变量,底 右边都 数是常数 是幂的 形式 底数是自变量,指 数是常数 1 (2)对于幂函数,我们只讨论 α=1,2,3,2,-1 时的情形. (3)图象:在同一坐标系中,幂函数 y=x,y=x2,y=x3,y 1 =x2 ,y=x-1 的图象如图. [归纳总结] 幂函数在第一象限内的指数变化规律:在第 一象限内直线x=1的右侧,图象从上到下,相应的指数由大变 小,即指数大的在上边. (4)五种常见幂函数的性质,列表如下: 定义域 y=x y=x2 值域 R 奇偶性 单调性 公共点 R R 奇 偶 增函数 在R上是_______ 在(-∞,0)上是 减函数;在 [0, ______ +∞)上是增函数 [0,+∞) R y=x3 1 y=x2 R 奇 非奇 非偶 增函数 在R上是______ 在[0,+∞)上是 (1,1) [0,+∞) [0,+∞) 增函数 ________ (-∞,0)∪(0, (-∞,0) +∞) y=x-1 ∪(0,+ ∞) 奇 在(-∞,0)和(0, +∞)上均是 减函数 ________ ●自我检测 1.下列结论中,正确的是( ) A.幂函数的图象都通过点(0,0),(1,1) B.幂函数的图象可以出现在第四象限 1 C.当幂指数 α 取 1,3,2时,幂函数 y=xα 是增函数 D.当幂指数 α=-1 时,幂函数 y=xα 在定义域上是减函 数 [答案] C [解析] 当幂指数α=-1时,幂函数y=x- 1的图象不通过 原点,故选项A不正确; 因为所有的幂函数在区间 (0 ,+ ∞ ) 上都有定义,且 y = xα(α∈R) ,y >0,所以幂函数的图象不可能出现在第四象限, 故选项B不正确; 当α=-1时,y=x-1在区间(-∞,0)和(0,+∞)上是减函 数,但在它的定义域上不是减函数,故选项D不正确. 故选C. 互动课堂 ●典例探究 1 幂函数的定义 1 1 在函数 y=x2,y=2x2,y=x2+x,y=3x 中,幂 ) B.1 D.3 函数的个数为( A.0 C.2 1 - [解析] 显然, 根据幂函数定义可知, 只有 y=x2=x 2 是幂 函数. [答案] B 规律总结: 在幂函数的定义中,没有规定定义域,但 这并不意味着定义域不用研究.事实上,幂函数y=xα中,α的 取值不一样,幂函数的定义域也不一样.(1)当α是一个正分数 p q q 时,设y=x (p,q∈N+,p,q互质)其定义域是使 xp 有意义的 x的集合;(2)当α是一个负整数或负分数时,设y=x-p,p是正 p 1 q 整数或y=x- (p,q∈N+,p,q互质),则函数定义域是使 p 或 x 1 q xp 有意义的实数x的集合. 1 有下列函数: 2 1 1 ①y=3x2;②y=x2+1;③y=- ;④y= ;⑤y=x3 ;⑥y x x =2x. 其中,是幂函数的有________(只填序号). [答案] ④⑤ [解析] ①中,x2 的系数为 3,故不是幂函数;②中,y= 1 x +1 不是 x 的形式,故不是幂函数;③中,y=-x =-(x-1), 2 α 1 -1 系数是-1,故不是幂函数;④中,y=x =x 是幂函数;⑤中, 2 y=x3 是幂函数;⑥中,y=2x 是指数函数. 已知函数 f(x)=(m +2m)· x 2 m2+m-1 ,m 为何值时, f(x)是:(1)正比例函数;(2)反比例函数;(3)二次函数;(4)幂函 数. [分析] 把此函数解析式同各种函数解析式对比,即可得 出关于m的关系式,从而求得m. [解析] (1)若 f(x)为正比例函数, 2 ? ?m +m-1=1 则? 2 ? ?m +2m≠0 ,∴m=1. (2)若 f(x)为反比例函数, 2 ? ?m +m-1=-1 则? 2 ? ?m +2m≠0 ,∴m=-1. (3)若 f(x)为二次函数, 2 ? ?m +m-1=2 则? 2 ? ?m +2m≠0 -1± 13 ,∴m= . 2 (4)若 f(x)为幂函数,则 m2+2m=1, ∴m=-1± 2. 规律总结: 本题将正比例函数、反比例函数、二次 函数和幂函数放在一起考查,要注意区别它们之间的不同点, 根据各自定义:(1)正比例函数 y=kx(k≠0);(2

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