gg0707:专题6.1 数列的通项公式与求和(原卷版) 文科生

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【考点 1】数列的概念与表示 【备考知识梳理】 1.定义:按照一定顺序排列着的一列数. 2.表示方法:列表法、解析法(通项公式法和递推公式法) 、图象法. 3.分类:按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列;按项与项之间的大小关系可分为单调数列、 摆动数列和常数列. 4. an 与 Sn 的关系: an ? ?

?S1 (n ? 1) . ?Sn ? Sn?1 (n ≥ 2)

5.处理方法:.用函数的观点处理数列问题 【规律方法技巧】 1. 数列是定义域为正整数集或其有限子集的函数,故数列具有函数的特征(周期性、单调性等) . 2. 观察法是解决数列问题的法宝, 先根据特殊的几项, 找出共同的规律,横看“各项之间的关系结构”, 纵看“各项与项数 n 的关系”,从而确定数列的通项公式. 【考点针对训练】 1. 【2016 年 4 月河南八市高三质检卷】已知 an ? logn?1 (n ? 2)(n ? N * ) ,观察下列算式:

a1 ? a2 ? log 2 3 ? log3 4 ?

lg 3 lg 4 ? ?2; lg 2 lg 3 log 7 8 ? lg 3 lg 4 ? lg 2 lg 3
) D. 2
2016

a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? log 2 3 ? log3 4

lg8 ? 3 ,…;若 lg 7

a1 ? a2 ? a3 ?
A. 2
2016

? am ? 2016(m ? N * ) ,则 m 的值为(
B. 2
2016

?2

C. 2

2016

?2

?4

1 5 7 ,? , ? 的一个通项公式是 3 27 81 2n ? 1 2n ? 1 a n ? (?1) n ?1 a n ? (?1) n A. B. 3n 3n
2.数列 ,? , 【考点 2】递推关系与数列通项公式

1 3

n ?1 C. a n ? (?1)

2n ? 1 3n

n D. a n ? (?1)

2n ? 1 3n

-1-

【备考知识梳理】 在一些综合性比较强的数列问题中,数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈.数列通项 公式的求解常用方法:1、定义法,直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法,这 种方法适应于已知数列类型的题目.2、公式法, 若已知数列的前项和 S n 与 an 的关系,求数列 ?an ? 的通项 an 可用公式 an ? ?

?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n ? 1 求解.3、由递推式求数列通项法,对于递推公式确 S ? S ? ? ? ? ? ? ? n ? 2 n n ? 1 ?

定的数列的求解,通常可以通过递推公式的变换,转化为等差数列或等比数列问题,有时也用到一些 特殊的转化方法与特殊数列.4、待定系数法(构造法) ,求数列通项公式方法灵活多样,特别是对于 给定的递推关系求通项公式,观察、分析、推理能力要求较高.通常可对递推式变换,转化成特殊数 列(等差或等比数列)来求解,这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想,而运用待定系数法 变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法. 【规律方法技巧】 数列的通项的求法: ⑴公式法: ①等差数列通项公式; ②等比数列通项公式.⑵已知 Sn (即 a1 ? a2 ?

? an ? f (n) )求 an ,用作差法:

an ?

,(n ? 1) ?S S ? S ,(n ? 2)
1 n n ?1

.

⑶已知 a1 a2

f (1),(n ? 1) ? ? . an ? f (n) 求 an ,用作商法: an ? ? f (n) ,(n ? 2) ? f (n ? 1) ?

⑷若 an?1 ? an ? f (n) 求 an 用累加法: an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ⑸已知

? (a2 ? a1 ) ? a1 (n ? 2) .

an?1 a a ? f (n) 求 an ,用累乘法: an ? n ? n ?1 ? an an ?1 an ? 2

?

a2 ? a1 (n ? 2) .⑹已知递推关系求 an ,用 a1

构造法(构造等差、等比数列).特别地, (1)形如 an ? kan?1 ? b 、 an ? kan?1 ? bn ( k , b 为常数)的 递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后,再求 an .如(21)已知 a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2 , 求 an ; (2)形如 an ?

an ?1 的递推数列都可以用倒数法求通项. kan ?1 ? b

注意: (1) 用 an ? S n ? S n?1 求数列的通项公式时, 你注意到此等式成立的条件了吗? (n ? 2, 当n ?1

-2-

时,a1 ? S1 ) ; (2) 一般地当已知条件中含有 an 与 Sn 的混合关系时, 常需运用关系式 an ? S n ? S n?1 , 先将已知条件转化为只含 an 或 Sn 的关系式,然后再求解. (3)由 Sn 与 Sn ?1 的关系,可以先求 Sn , 再求 an ,或者先转化为项与项的递推关系,再求 an . 【考点针对训练】 1. 【2016 届榆林市高三二模】在数列 ?an ? 中, a1 ? ? , an ? 1 ? A. ?

1 4

1 ? n ? 1? ,则 a2016 的值为( an?1



1 4

B.5

C.

4 5

D.以上都不对

2. 【2016 湖北省八校高三.二联】数列 ?an ? 满足 a1 =1 , nan?1 = ? n ? 1? an ? n ? n ? 1? ,且 bn =an cos 记 Sn 为数列 ?bn ? 的前项和,则 S120 = 【考点 3】数列求和 【备考知识梳理】 .

2n? , 3

数列的求和也是高考中的热点内容,考察学生能否把一般数列转化为特殊数列求和,体现了化归的思 想方法,其中错位相减和裂项相消是高考命题的热点.估计在以后的高考中不会有太大的改变.数列 求和的常用方法,尤其是利用裂项法和错位相减法求一些特殊数列的和,数列求和的基本方法:1. 基 本公式法: ?1? 等差数列求和公式: Sn ?

n ? a1 ? an ? n ? n ? 1? ? na1 ? d 2 2
n ? Cn ? 2n .

? 2 ? 等比数列求和公式:

q ?1 ? na1 , ? n Sn ? ? a1 ?1 ? q ? a ? a q ? 1 n ,q ?1 ? 1? q ? 1? q

1 2 ? Cn ? ? 3? Cn0 ? Cn

2. 错位相消法:一般适应于数列 ?anbn ? 的前向求和,其中 ?an ? 成等差数列, ?bn ? 成等比数列.

3. 分组求和:把一个数列分成几个可以直接求和的数列,然后利用公式法求和. 4. 拆项(裂项)求和:把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程中消去中间项,只剩下有
限项再求和.常见的拆项公式有: ?1? 若 ?an ? 是公差为 d 的等差数列,则

1 1? 1 1 ? ? ? ? ?; an an ?1 d ? an an ?1 ?

? 2?

1? 1 1 ? ; ? 3? ? ? ? ? 2n ?1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ?1 2n ? 1 ? ? 1

1 1 ? n?k ? n k

?

n ?1 ? n ;

?

? 4 ? Cnm?1 ? Cnm?1 ? Cnm ; ? 5? n ? n! ? ? n ?1?!? n!.
-3-

5.倒序相加法:根据有些数列的特点,将其倒写后与原数列相加,以达到求和的目的. 【规律方法技巧】 数列求和关键是研究数列通项公式,根据通项公式的不同特征选择相应的求和方式,若数列是等差数 列或等比数列,直接利用公式求和;若通项公式是等差乘等比型,利用错位相减法;若通项公式可以 拆分成两项的差且在累加过程中可以互相抵消,利用裂项相消法,从近年的考题来看,逐渐加大了与 函数不等式的联系,通过对通项公式进行放缩,放缩为易求和的数列问题处理. 【考点针对训练】 1. 【2016 年江西九江高三第三次联考】设 Sn 是等差数列 ?an ?的前项和,若 S672 ? 2, S1344 ? 12 ,则

S 2016 ? (
A. 22

) B. 26 C. 30 D. 34

2. 【2016 届淮北一中高三最后一卷】 已知函数 f ? x ? ? ?log

? ? ? ?

ax ? 1? x ? 0 ? ? ? 3 ?? 且 f ? f ? ? ?? ? 3 , 1 ? x ? 1?? ?1 ? x ? 0 ? ? ? 4 ?? 2

在各项为正的数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an ?1 ? f ? an ?

? ?

1? ? , ?an ? 的前项和为 Sn ,若 Sn ? 126 ,则 2?

n ? ____________.
【应试技巧点拨】 1. 由递推关系求数列的通项公式 (1)利用“累加法”和“累乘法”求通项公式 此解法来源与等差数列和等比数列求通项的方法, 递推关系为 an ?1 ? an ? f (n) 用累加法; 递推关系为

an ?1 a ? f (n) 用累乘法.解题时需要分析给定的递推式,使之变形为 an ?1 ? an、 n ?1 结构,然后求解.要 an an
特别注意累加或累乘时,应该为 (n ? 1) 个式子,不要误认为个. (2)利用待定系数法,构造等差、等比数列求通项公式 求数列通项公式方法灵活多样,特别是对于给定的递推关系求通项公式,观察、分析、推理能力要求 较高.通常可对递推式变换,转化成特殊数列(等差或等比数列)来求解,这种方法体现了数学中化未 知为已知的化归思想,而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法.递推公式为

a n ?1 ? pa n ? q (其中 p,q 均为常数,( pq ( p ? 1) ? 0) ).把原递推公式转化为:a n ?1 ? t ? p (a n ? t ) ,
-4-

其中 t ?

q ,再利用换元法转化为等比数列求解. 1? p

3.如何选择恰当的方法求数列的和 在数列求和问题中,由于题目的千变万化,使得不少同学一筹莫展,方法老师也介绍过,就不清楚什 么特征用什么方法.为此提供一个通法 “特征联想法”:就是抓住数列的通项公式的特征,再去联想常 用数列的求和方法.通项公式作为数列的灵魂,只有抓住它的特征,才能对号入座,得到求和方法. 特征一: C n ? a n ? bn ? .... ,数列 {Cn } 的通项公式能够分解成几部分,一般用“分组求和法”. 特征二: Cn ? an ? bn ,数列 {Cn } 的通项公式能够分解成等差数列和等比数列的乘积,一般用“错位相 减法”. 特征三: Cn ?

1 ,数列 {Cn } 的通项公式是一个分式结构,一般采用“裂项相消法”. an ? bn

n 特征四: Cn ? Cn ? an ,数列 {Cn } 的通项公式是一个组合数和等差数列通项公式组成,一般采用“倒序

相加法”. 4. 利用转化,解决递推公式为 S n 与 a n 的关系式. 数列{ a n }的前项和 S n 与通项 a n 的关系: an ? ?

(n ? 1) ? S1 .通过纽带: an ? S n ? S n ? ( 1 n ? 2) ,根据 ? Sn ? Sn ?1 (n ≥ 2)

题目求解特点,消掉一个 an 或S n .然后再进行构造成等差或者等比数列进行求解.如需消掉 S n ,利用已 知递推式,把 n 换成(n+1)得到递推式,两式相减即可.若消掉 an ,只需把 an ? S n ? S n ?1 带入递推式 即可.不论哪种形式,需要注意公式 an ? S n ? S n ?1 成立的条件 n ? 2. 【三年高考】 1. 【2016 高考上海文科】 无穷数列 ?an ?由 k 个不同的数组成,Sn 为 ?an ?的前 n 项和.若对任意 n ? N ,
?

Sn ??2,3?,则 k 的最大值为________.
2 2.【2016 高考新课标Ⅲ文数】 已知各项都为正数的数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ? (2an?1 ?1)an ? 2an?1 ? 0 .

(I)求 a2 , a3 ; (II)求 ?an ? 的通项公式. 3.【2016 高考浙江文数】设数列{ an }的前项和为 Sn .已知 S2 =4, an ?1 =2 Sn +1, n ? N .
*

-5-

(I)求通项公式 an ; (II)求数列{ an ? n ? 2 }的前项和. 4. 【2016 高考上海文科】 对于无穷数列{ an }与{ bn }, 记 A={ x | x = a ,n ? N* }, B={ x | x = bn ,n ? N* }, 若同时满足条件:①{ an },{ bn }均单调递增;② A ? B ? ? 且 A 补数列. (1)若 an = 2n ? 1 , bn = 4n ? 2 ,判断{ an }与{ bn }是否为无穷互补数列,并说明理由; (2)若 an = 2 且{ an }与{ bn }是无穷互补数列,求数列{ bn }的前 16 项的和; (3)若{ an }与{ bn }是无穷互补数列,{ an }为等差数列且 a16 =36,求{ an }与{ bn }得通项公式. 5. 【2015 高考安徽,文 13】已知数列 {an } 中, a1 ? 1 , an ? an ?1 ? 项和等于 .
n

B ? N* ,则称{ an }与{ bn }是无穷互

1 (n ? 2) ,则数列 {an } 的前 9 2

6.【2015 高考新课标 1,文 13】数列 ?an ? 中 a1 ? 2, an?1 ? 2an , Sn 为 ?an ? 的前 n 项和,若 Sn ? 126 , 则n? .

7. 【2015 高考山东, 文 19】 已知数列 ?an ? 是首项为正数的等差数列, 数列 ?

?

1 ? n . ? 的前项和为 2n ? 1 ? an ? an ?1 ?

(I)求数列 ?an ? 的通项公式;
(II)设 bn ? ? an ? 1? ? 2 n ,求数列 ?bn ? 的前项和 Tn .
a

8.【2015 高考湖南,文 19】设数列 {an } 的前项和为 Sn ,已知 a1 ? 1, a2 ? 2 ,且

an?1 ? 3Sn ?Sn?1 ? 3,(n ? N * ) ,
(I)证明: an?2 ? 3an ; (II)求 Sn . 9.【2015 高考浙江,文 17】已知数列 {an } 和 {bn } 满足, a1 ? 2, b1 ? 1, an?1 ? 2an (n ? N ),
*

1 1 b1 ? b2 ? b3 ? 2 3
(1)求 an 与 bn ;

1 ? bn ? bn ?1 ? 1(n ? N* ) . n

-6-

(2)记数列 {anbn } 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn . 10.【2014 高考全国 2 卷文第 16 题】数列 {an } 满足 an ?1 ?

1 , a8 ? 2 ,则 a1 ? ________. 1 ? an

11.【2014 高考湖南卷文第 16 题】已知数列 ?an ? 的前项和 S n ? (1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)设 bn ? 2 n ? ??1? an ,求数列 ?bn ?的前 2 n 项和.
a n

n2 ? n ,n ? N ? . 2

12.【2014 高考山东文第 19 题】在等差数列 {an } 中,已知公差 d (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn

? 2 , a2 是 a1 与 a4 的等比中项.

? an( n?1) ,记 Tn ? ?b1 ? b2 ? b3 ? b4 ?
2

? (?1)n bn ,求 Tn .

【一年原创真预测】 1. 已知数列 {an } 的前项和 Sn 满足 nSn?1 ? (n ? 1)Sn ? 2n2 ? 2n (n ? N ) , a1 ? 3 ,则数列 {an } 的通
*

项 an ? ( A. 4 n ? 1

) B. 2n ? 1 C. 3n D. n ? 2 )

2.已知数列 {an } 中, a1 ? 2 , nan?1 ? 2(n ? 1)an ,则 a5 ? ( A.320 B.160 C.80 D.40

3.已知数列 {an } 的前项和为 Sn , a1 ? 1 .当 n ? 2 时, an ? 2Sn?1 ? 2n ? 1 ,则 S299 ? ( A.246 B.299 C.247 D.248



4. bm 为数列 {2n } 中不超过 Am3 (m ? N * ) 的项数, 2b2 =b1 ? b5 且 b3 ? 10 ,则正整数 A 的值为 _______. 5.已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? m , 其前项和为 Sn , 且满足 Sn ? Sn?1 ? 3n2 ? 2n , 若对 ?n ? N ? , an ? an?1 恒成立,则 m 的取值范围是_______. 6.已知数列 ?a n ? 的前 n 项和 Sn ? (Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项公式;

3 2 3 n ? n. 2 2

-7-

3 ? * ? 2S ? 3n , n ? 2k ? 1, k ? N (Ⅱ)记 b n ? 2 , c n ? ? n ,设数列 {c n } 的前 n 项和为 Tn ,求 T2n . * ?b , n ? 2k, k ? N ? n
an

7.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 2, a2n?1 ? a2n?1 ? 2, a2n?2 ? 3a2n ,(n ? N ) .数列 ?an ? 前项和为 Sn .
*

(Ⅰ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 am am?1 ? am?2 ,求正整数 m 的值; (Ⅲ) 是否存在正整数 m , 使得 若不存在,说明理由. 8.已知数列 ?an ? 中任意连续三项的和为零,且 a2 ? 2a1 ? ?1. (Ⅰ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足 bn?1 ? bn an?1 (n ? N ), b1 ? a1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn 的取值范围.
*

S2m 恰好为数列 ?an ? 中的一项?若存在, 求出所有满足条件的 m 值, S 2 m ?1

-8-

【考点 1 针对训练】 1. 【答案】C 【解析】由题意: a1 ? a2 ? log 2 3 ? log 3 4 ?

lg 3 lg 4 ? ?2; lg 2 lg 3 log 7 8 ? lg 3 lg 4 ? lg 2 lg 3 lg8 ? 3 ,…; lg 7 lg16 ? 16, …;据此可 lg15

a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? log 2 3 ? log3 4

a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ?
知, a1 ? a2 ? a3 ? 2.【答案】C.

a13 ? a14 ? log 2 3 ? log3 4

log15 16 ?

lg 3 lg 4 ? lg 2 lg 3

? am ? 2016(m ? N * ) ,则 m 的值为 22016 ? 2

【考点 2 针对训练】 1. 【答案】C 【解析】 a2 ? 5, a3 ? 2. 【答案】 7280

4 1 4 , a4 ? ? ? a1 , 因此周期为 3,即 a2016 ? a3 ? ,选 C. 5 4 5

?

1 40 ? 41? 81 1 120 ?121? 241 ? 3? 9 ? ? ? ? 7280 2 6 2 6

【考点 3 针对训练】
-9-

1. 【答案】C 【解析】由 S672 , S1344 ? S672 , S2016 ? S1344 成等差数列,得 2 ?10 ? 2 ? S2016 ?12 ,即 S 2016 ? 30 ,故选 C. 2. 【答案】6

【三年高考】 1. 【答案】4

2. 【解析】 (Ⅰ)由题意得 a2 ?

1 1 , a3 ? . 2 4

2 (Ⅱ)由 an ? (2an?1 ?1)an ? 2an?1 ? 0 得 2an?1 (an ? 1) ? an (an ? 1) .因为 ?an ?的各项都为正数,所以

1 1 an ?1 1 ? ,故 ?an ?是首项为,公比为 的等比数列,因此 an ? n ?1 . 2 2 an 2
3.

- 10 -

4.【解析】(1)因为 4 ? ? , 4 ? ? ,所以 4 ? ?

? ,从而 ?an ? 与 ?bn ? 不是无穷互补数列.

(2)因为 a4 ? 16 ,所以 b16 ? 16 ? 4 ? 20 .数列 ?bn ? 的前 16 项的和为

?1 ? 2 ? ??? ? 20 ? ? ? 2 ? 22 ? 23 ? 24 ? =

1 ? 20 ? 20 ? ? 25 ? 2 ? ? 180 . 2

(3)设 ?an ? 的公差为 d , d ? ? ? ,则 a16 ? a1 ? 15d ? 36 .由 a1 ? 36 ?15d ? 1 ,得 d ? 1 或. 若 d ? 1 ,则 a1 ? 21, an ? n ? 20 ,与“ ?an ? 与 ?bn ? 是无穷互补数列”矛盾;若 d ? 2 ,则 a1 ? 6 ,

?n, n ? 5 ?n, n ? 5 .综上, an ? 2n ? 4 , bn ? ? . an ? 2n ? 4 , bn ? ? ?2n ? 5, n ? 5 ?2n ? 5, n ? 5
5. 【答案】27 【解析】∵ n ? 2 时, an ? an ?1 ? ∴ S9 ? 9 ? 1 ? 6.【答案】6 【解析】∵ a1 ? 2, an?1 ? 2an ,∴数列 ?an ? 是首项为 2,公比为 2 的等比数列, ∴ Sn ? 7.

1 1 1 , 且a2 ? a1 ? ,∴ ?an ?是以a1 为首项, 为公差的等差数列, 2 2 2

9?8 1 ? ? 9 ? 18 ? 27 2 2

2(1 ? 2n ) ? 126 ,∴ 2n ? 64 ,∴n=6. 1? 2

8.

- 11 -

9.【解析】 (1)由 a1 ? 2, an?1 ? 2an ,得 an ? 2 .当 n ? 1 时, b1 ? b2 ?1 ,故 b2 ? 2 .当 n ? 2 时,
n

1 b n ?1 bn ? bn ?1 ? bn ,整理得 n?1 ? ,所以 bn ? n . n bn n
(2)由(1)知, anbn ? n ? 2 ,所以 Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ?
n 2 3

? n ? 2n

2Tn ? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ?

? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1 ,所以 ? 2n ? n ? 2n?1 ? (1 ? n)2n?1 ? 2 ,所以 Tn ? (n ?1)2n?1 ? 2 .

Tn ? 2Tn ? ?Tn ? 2 ? 22 ? 23 ?
10.【答案】

1 . 2

【解析】 由已知得,an ? 1 ?

1 1 1 1 1 ,a8 ? 2 , 所以 a7 ? 1 ? ? ,a6 ? 1 ? ? ?1 ,a5 ? 1 ? ? 2 , a8 2 a7 an ?1 a6

a4 ? 1 ?
11.

1 1 1 1 1 1 ? , a3 ? 1 ? ? ?1 , a2 ? 1 ? ? 2 , a1 ? 1 ? ? . a5 2 a4 a2 2 a3

- 12 -

12.

【一年原创真预测】 1. 【答案】A 【解析】由 nSn?1 ? (n ? 1)Sn ? 2n2 ? 2n ,得 的等差数列,则

S n ?1 S n S S ? ? 2 ,则数列 { n } 是首项为 1 ? 3 ,公差为 2 n ?1 n n 1

Sn ? 3 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 ,即 Sn ? 2n2 ? n ,则当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 = n

2n2 ? n ? 2(n ?1)2 ? (n ?1) ? 4n ?1 .又当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 3 ,满足 an ? 4n ? 1,故选 A.
2.【答案】B
- 13 -

【解析】由 nan?1 ? 2(n ? 1)an ,得 以

an ?1 a a ? 2 ? n ,则数列 { n } 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,所 n ?1 n n

an ? 2 ? 2 n ?1 ? 2 n ,即 an ? n ? 2n ,所以 a5 ? 5 ? 25 ? 160 ,故选 B. n

3.【答案】B

4.【答案】 64 或 65 【解析】设 b1 ? t ,则由 2b2 =b1 ? b5 ,可设 b2 =t ? d , b5 =t ? 2d ,(d ? N * ) ( d ? 0 不满足题意)因此

2t ? A ? 2t ?1 , 2
max{2t ,2t +d ?3 ,

t +d

? 8 A ? 2t ? d ?1 , 2t + 2d ? 125 A ? 2t ? 2d ?1 , 从而

2t +2d 2t ?2d ?1 } ? A ? min{2t ?1 ,2t ?d ?2 , } ,再由 2t +d ?3 ? 2t ?1 , 得 d ? 4 , d 为正整数 125 125
128 t 7, b ? ?2 , 由 t ? 3 ? b2 ? 3 5 b ? t ? 6 及 b3 ? 10 得 t ? 4,5,6, 125

t ? d ? 1 , 2 ,, 3 代入验证得 d ? 3 , 因此 2 ? A ?

t 由 b3 ? 10 得 210 ? 27 A ? 211 , 再结合 2 ? A ?

128 t 213 ? 2 验证只有当 t ? 6 时,26 ? A ? 有解, 解得 A ? 64 125 125

或 65 . 5.【答案】 ( ?

1 5 , ) 4 3

6. 【解析】 ? I ? 当 n ? 2 时,Sn ?1 ? 满足上式, 所以 a n ? 3n .

3 3 2 又 n ? 1 时, ?a n ? Sn ? Sn ?1 ? 3n , a1 ? S1 ? 3 ? n ? 1? ? ? n ? 1? , 2 2

- 14 -

1 ? * ? n n ? 2 , n ? 2k ? 1, k ? N ? . T2n ? ? c1 ? c3 ? ? II ? cn ? ? ? ?8n * , n ? 2k, k ? N ?

? c2n?1 ? ? ? c2 ? c4 ?

? c2n ?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? ??1 ? ? ? ? ? ? ? 2 ?? 3 ? ? 3 5 ?

1 ?? ? 1 2 4 ?? ? ?? ? ?8 ? 8 ? ? 2n ?1 2n ? 1 ? ?

? 82n ?

n n 64 1? 1 ? 64 ?1 ? 64 ? ? ? ? 64n ? 1? . ? ?1 ? ?? 2n ? 1 63 2 ? 2n ? 1 ? 1 ? 64

7.

(II)由 amam?1 ? am?2 ,①若 m ? 2k (k ? N? ) ,则 a2ka2k ? 1 ?a 2k 2 ? ② 若 m ? 2k ? 1(k ? N? ) ,即 a2 k ?1a2 k ? a2 k ?1

即 2k ? 1 ? 3 ? k ? 1 ,即 m ? 2 ,

即 (2k ?1) ? 2 ? 3k ?1 ? 2k ? 1 ,

2 ? 3k ?1 ? 1 ?

2 2 , 2 ? 3k ?1 为正整数? 为正整数,即 2 k ? 1 ? 1 ,即 k ? 1 ,但此时式为 2k ? 1 2k ? 1

2 ? 30 ? 3 不合题意,综上, m ? 2 .
(III) 若

S2m S2m 为 ?an ? 中的一项, 则 为正整数, S2m?1 ? (a1 ? a3 ? ...+a2 m?1 ) ? (a2 ? a4 ? ... ? a2 m?2 ) S 2 m ?1 S 2 m ?1

?

2 S2 m S ?a m(1 ? 2m ? 1) 2(3m?1 ? 1) ? 2 m?1 2 m ? 3 ? 2(m ? 1) ? 3 , 故若 ? ? 3m?1 ? m2 ? 1,? S2 m?1 S2 m?1 3m ?1 ? m 2 ? 1 2 3 ?1

S2m 2(m2 ? 1) 为 ?an ? 中的某一项只能为 a1 , a2 , a3 ,①若 3 ? m?1 ? 1 ? 无解;②若 S 2 m ?1 3 ? m2 ? 1

2(m2 ? 1) 3 ? m?1 ? 2 ? 3m?1 ? 1 ? m2 ? 0 ,显然 m ? 1 不符合题意, m ? 2 符合题意,当 m ? 3 时,设 2 3 ? m ?1

f (m) ? 3m?1 ? 1 ? m2 ,则 f ?(m) ? 3m?1 ln 3 ? 2m, f ??(m) ? 3m?1 (ln 3)2 ? 2 ? 0 ,即
,故 f (m) ? f (3) ? 1 ? 0 , 故 f ?(m) ? f ?(3) ? 0 , 即 f ( m) 为增函数, f ?(m) ? 3m?1 ln 3 ? 2m 为增函数,
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故当 m ? 3 时方程 3m?1 ? 1 ? m2 ? 0 无解, 即 m ? 2 是方程唯一解; ③若 3 ? 即 m ? 1 ,综上所述, m ? 1 或 m ? 2 . 8.

2(m2 ? 1) ? 3 ? m2 ? 1 m ?1 2 3 ? m ?1

(II)因为 b3n ?

b3n b3n?1 b3n?2 ? ? ? b3n?1 b3n?2 b3n?3

?

b2 ? b1 ? a3n ? a3n?1 ? a3n?2 ? b1

3 ? a2 ? a1 ? (a3a2 a1 )n ? ( )n ,所以 4

1 3 1 3 b3n ?1 ? (a3a2 a1 ) n ?1 a2 a1 ? ? ( ) n ?1 , b3n ?2 ? (a3a2 a1 ) n ?1 a1 ? ? ? ( ) n ?1 ,从而当 n ? 3k , k ? N * 时, 2 4 2 4

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