最新-高中数学 函数极限的运算法则素材 精品

函数极限的运算法则
教学目标:掌握函数极限的运算法则,并会求简单的函数的极限 教学重点:运用函数极限的运算法则求极限 教学难点:函数极限法则的运用 教学过程: 一、引入: 一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限,如 lim

1 ? 0, lim x ? xo .若求极限的函 x ?? x x ? xo

数比较复杂,就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的,已知函数 的极限与这些简单函数的极限有什么关系,这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函 数的极限的计算. 二 、新课讲授 对于函数极限有如下的运算法则: 如果 lim f ( x) ? A, lim g ( x) ? B ,那么
x ? xo x ? xo

x ? xo

lim[ f ( x) ? g ( x)] ? A ? B lim[ f ( x) ? g ( x)] ? A ? B

x ? xo

x ? xo

lim

f ( x) A ? ( B ? 0) g ( x) B

也就是说,如果两个函数都有极限,那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极 限,分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商(作为除数的函数的极限不能为 0).

说明:当 C 是常数,n 是正整数时, lim[Cf ( x)] ? C lim f ( x)
x ? xo x ? xo

x ? xo

lim[ f ( x)]n ? [ lim f ( x)]n
x ? xo

这些法则对于 x ? ? 的情况仍然适用. 三 典例剖析 例 1 求 lim( x ? 3 x )
2 x?2

2x3 ? x 2 ? 1 例 2 求 lim x ?1 x ?1

x 2 ? 16 x ?4 x ? 4 分析:当 x ? 4 时,分母的极限是 0 ,不能直接运用上面的极限运用法则 . 注意函数 x 2 ? 16 y? 在定义域 x ? 4 内,可以将分子、分母约去公因式 x ? 4 后变成 x ? 4 ,由此即 x?4
例 3 求 lim 可求出函数的极限.

例 4 求 lim

3x 2 ? x ? 3 x ?? x2 ?1

分析:当 x ? ? 时,分子、分母都没有极限,不能直接运用上面的商的极限运算法则.如 果分子、分母都除以 x ,所得到的分子、分母都有极限,就可以用商的极限运用法则计算。
2

总结: lim C ? C , lim x ? xo (k ? N ),
k k * x ? xo x ? xo

lim C ? C , lim
x ??

1 ? 0(k ? N * ) x ?? x k

2x 2 ? x ? 4 例 5 求 lim 3 x ?? 3 x ? x 2 ? 1
分析:同例 4 一样,不能直接用法则求极限. 如果分子、分母都除以 x ,就可以运用法则 计算了。
3

四 课堂练习(利用函数的极限法则求下列函数极限) (1) lim(2 x ? 3) ;
x? 1 2

(2) lim(2 x ? 3 x ? 1)
2 x ?2

(3) lim[( 2 x ? 1)( x ? 3)] ;
x?4

(4) lim

2x 2 ? 1 x ?1 3 x 2 ? 4 x ? 1

x2 ?1 (5) lim x ? ?1 x ? 1

x 2 ? 5x ? 6 (6) lim x ?3 x2 ? 9

(7) lim

2x 2 ? x ? 2 x ?? 3 x 3 ? 3 x 2 ? 1

(8) lim

2y2 ? y y ?? y 3 ? 5

五 小结 1 有限个函数的和(或积)的极限等于这些函数的和(或积) ; 2 函数的运算法则成立的前提条件是函数 f ( x), g ( x)? 的极限存在,在进行极限运算时, 要特别注意这一点. 3 两个(或几个)函数的极限至少有一个不存在时,他们的和、差、积、商的极限不一定 不存在. 4 在求几个函数的和(或积)的极限时,一般要化简,再求极限.

六 作业(求下列极限) (1) lim (2 x ? 3x ? 4)
3 x ??1

x2 ? 5 (2) lim 2 x?2 x ? 3

(3) lim
x ?1

2x x ? x ?1
2

(4) lim(
x ?0

x 2 ? 3x ? 1 ? 1) x?4

(5) lim

x? 3

x2 ? 3 x4 ? x2 ?1

(6) lim
x ?0

3x 3 ? x 2 x 5 ? 3x 4 ? 2 x 2

(7) lim
x?2

x?2 x2 ? 4

(8) lim

x ?1 x ? ?1 x 2 ? 1

(9) lim

x 3 ? 3x 2 ? 2 x x ??2 x2 ? x ? 6

(10) lim

( x ? m) 2 ? m 2 x ?0 x

(11) lim( 2 ?
x ??

1 1 ? ) x x2

(12) lim

x2 ?1 x ?? 2 x 2 ? 2 x ? 1

(13) lim

x3 ? x x ?? x 4 ? 3 x 2 ? 1

(14)lim(
x ?2

2x3 ? 1 2 ) 3x 3 ? 2

(15)lim

3x 2 ? 11x ? 6 x ?1 2 x 2 ? 5 x ? 3

lim (16)

3x 2 ? 11x ? 6 x ?? 2 x 2 ? 5 x ? 3

lim (17)

x ? x 2 ? 6x 3 x ?0 2 x ? 5 x 2 ? 3 x 3

lim (18)

x ? x 2 ? 6x3 x ?? 2 x ? 5 x 2 ? 3 x 3

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