2019年高考数学(文)一轮复习坐标系与参数方程 第1节 坐标系学案

北师大版 2019 届高考数学一轮复习学案 第一节 坐标系 [考纲传真] 1.理解坐标系的作用, 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化 情况.2.了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和 直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程. (对应学生用书第 158 页) [基础知识填充] 1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 φ :? ?x′=λ ? ? ?y′=μ x,λ >0, y,μ >0 的作 用下,点 P(x,y)对应到点 P′(x′,y′),称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换. 2.极坐标系 (1)极坐标与极坐标系的概念 在平面内取一个定点 O,叫作极点,从 O 点引一条射线 Ox,叫作极轴,选定一个单位长 度和角的正方向(通常取逆时针方向).这样就确定了一个平面极坐标系,简称为极坐标 系.对于平面内任意一点 M,用 ρ 表示线段 OM 的长,θ 表示以 Ox 为始边、OM 为终边 的角度,ρ 叫作点 M 的极径,θ 叫作点 M 的极角,有序实数对(ρ ,θ )叫做点 M 的极坐 标,记作 M(ρ ,θ ). 当点 M 在极点时,它的极径 ρ =0,极角 θ 可以取任意值. 图?? (2)极坐标与直角坐标的互化 设 M 为平面内的一点,它的直角坐标为(x,y),极坐标为(ρ ,θ ).由图可知下面关系 式成立: ?x=ρ cos θ ? ? ?y=ρ sin θ ? ρ =x +y ? ? 或? y tan θ = x ? x ? 2 2 2 图?? 1 北师大版 2019 届高考数学一轮复习学案 3.常用简单曲线的极坐标方程 曲线 圆心在极点,半径为 r 的圆 图形 极坐标方程 ρ =r(0≤θ ≤2π ) ρ =2rcos 圆心为(r,0),半径为 r 的圆 π? ? π θ ?- <θ ≤ ? 2? ? 2 ρ =2rsin θ (0≤θ < π) θ =α (ρ ∈R)或 θ =π +α (ρ ∈R) ρ cos θ = 过点(a,0),与极轴垂直的直线 ? π? 圆心为?r, ?,半径为 r 的圆 2? ? 过极点,倾斜角为 α 的直线 ? ? a?- <θ < ? 2 2 π π ? ? ? π ? 与极轴平行的直线 过点?a, ?, 2? ? [基本能力自测] ρ sin θ =a(0<θ < π) 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系, 在极坐标系中点与坐标也是一一 对应关系.( ) ) π? ? (2)若点 P 的直角坐标为(1,- 3),则点 P 的一个极坐标是?2,- ?.( 3? ? (3)在极坐标系中,曲线的极坐标方程不是唯一的.( (4)极坐标方程 θ =π (ρ ≥0)表示的曲线是一条直线.( [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× ) ) 2.(教材改编)若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线 段 y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为( A.ρ = B.ρ = 1 π ,0≤θ ≤ cos θ +sin θ 2 1 π ,0≤θ ≤ cos θ +sin θ 4 ) π C.ρ =cos θ +sin θ ,0≤θ ≤ 2 π D.ρ =cos θ +sin θ ,0≤θ ≤ 4 2 北师大版 2019 届高考数学一轮复习学案 A [∵y=1-x(0≤x≤1), ∴ρ sin θ =1-ρ cos θ (0≤ρ cos θ ≤1), 1 ?0≤θ ≤π ?.] ∴ρ = ? 2? sin θ +cos θ ? ? 3.(教材改编)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标 系.若曲线 C 的极坐标方程为 ρ =2sin θ ,则曲线 C 的直角坐标方程为________. x2+y2-2y=0 [由 ρ =2sin θ ,得 ρ 2=2ρ sin θ . 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x +y -2y=0.] π? 7π ? ? ? 4.已知直线 l 的极坐标方程为 2ρ sin?θ - ?= 2,点 A 的极坐标为 A?2 2, ?,则点 4? 4 ? ? ? 2 2 A 到直线 l 的距离为________. 5 2 2 2ρ ? π? ? [由 2ρ sin?θ - ?= 2,得 4? ? 2 ? 2 ? sin θ - cos θ ?= 2, 2 ?2 ? ∴y-x=1. 7π ? ? 由 A?2 2, ?,得点 A 的直角坐标为(2,-2). 4 ? ? ∴点 A 到直线 l 的距离 d= |2+2+1| 5 2 = .] 2 2 π? ? 2 5.已知圆 C 的极坐标方程为 ρ +2 2ρ ·sin?θ - ?-4=0,求圆 C 的半径. 4? ? 【导学号:00090368】 [解] 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 O,以极轴为 x 轴的正半轴,建立直 角坐标系 xOy. 圆 C 的极坐标方程可化为 ρ +2 2ρ ? 2 2 2 ? 2 ? sin θ - cos θ ?-4=0, 2 ?2 ? 化简,得 ρ +2ρ sin θ -2ρ cos θ -4=0. 则圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2x+2y-4=0, 即(x-1) +(y+1) =6, 所以圆 C 的半径为 6. 2 2 (对应学生用书第 159 页) 平面直角坐标系中的伸缩变换 将圆 x +y =1 上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C. 3 2 2 北师大版 2019 届高考数学一轮复习学案 (1)求曲线 C 的方程; (2)设直线 l:2x+y-2=0 与 C 的交点为 P1,P

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