高中数学湘教版选修2-2:(课件)4.3.2 函数的极大值和极小值


4.3.2 函数的极大值和极小值

学习目标

课前自主学案 4.3.2 课堂互动讲练

知能优化训练

学习目标 1.理解极值的有关概念. 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充 分条件. 3.会用导数求函数的极大值和极小值.

课前自主学案

温故夯基
1.如果函数 y=f(x)在某个区间内单调递增或单调 递减,函数的导数 f′(x)不一定就恒正或恒负. 3 2.函数 y=x -x+6 的单调递增区间是
3 3 (-∞,- ),( ,+∞) ___________________________. 3 3

知新益能

1.极大值点与极大值
如果x=c是函数y=f(x)在某个开区间(u,v)上的最 f(c)≥f(x) 大值点,即不等式____________对一切x∈(u,v) 极大值 成立,就说函数f(x)在x=c处取到________f(c),并

称c为f(x)的一个极大值点,f(c)为f(x)的一个极大
值.

2.极小值点与极小值 如果x=c是函数y=f(x)在某个开区间(u,v)上的 最小值点,即不等式f(c)≤f(x)对一切x∈(u,v)成 极小值 立,就说函数f(x)在x=c处取到_________f(c),并 称c为f(x)的一个极小值点,f(c)为f(x)的一个极小 值. 极大值 极小值 极大值点 _________和________统称极值,____________和 极小值点 ____________统称极值点.

思考感悟 1.函数的极大值一定大于极小值吗?在区间内可
导函数的极大值和极小值是唯一的吗?

提示:不一定;不一定唯一.

3.驻点 f′(c)=0 若___________,则x=c叫做函数f(x)的驻点. 4.求极值的一般步骤 (1)求导数f′(x); (2)求f(x)的驻点,即求f′(x)=0的根; (3)检查f′(x)在驻点左右的符号,如果在驻点左 侧附近为正,右侧附近为负,那么函数y=f(x)在 极大值 这个驻点处取得_________;如果在驻点的左侧 附近为负,右侧附近为正,那么函数y=f(x)在这 极小值 个驻点处取得___________.

思考感悟 2.若f′(x0)=0,x0一定是极值点吗?f′(x0)=0 是x0为极值点的什么条件? 提示:若f′(x0)=0,x0不一定是极值点,如f(x)

=x3在x=0处导数为0,但不是极值点,反之极值
点处导数不一定为0,如g(x)=|x|在x=0处有极小

值,但g(x)在x=0处导数不存在,故f′(x0)=0是
x0为极值点的既不充分也不必要条件.

课堂互动讲练

考点突破 求函数的极值 求函数极值的步骤: (1)求f′(x)=0在函数定义域内的所有根; (2)用方程f′(x)=0的根将定义域分成若干小区间, 列表; (3)由f′(x)在各个小区间内的符号,判断函数的极 值情况.

例1 求下列函数的极值.

2x (1)f(x)= 2 -2; x +1 2 -x (2)f(x)=x · . e

【思路点拨】

求导 → 解方程f′?x?=0

→ 列表分析 → 结论

2?x2+1?-4x2 2?1+x??1-x? 【解】 (1)f′(x)= = . 2 2 2 2 ?x +1? ?x +1? 令 f′(x)=0,得驻点 x=-1 和 x=1, 当 x 变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:

x f′(x)

(-∞,-1) -1 - 0

(-1,1) +

1 0

(1,+∞) -

f(x)

-3

-1

当 x=-1 时,f(x)取得极小值, f(x)极 小值=f(-1)=-3. 当 x=1 时,f(x)取得极大值, f(x)极 大值=f(1)=-1. 2 -x (2)∵f(x)=x · 的定义域为 R. e -x 2 1 f′(x)=2xe +x · x)′ ( e =2xe -x-x2e -x=xe- x(2-x), 令 f′(x)=0,得 x=0 和 x=2 根据 x1,x2 列表分析 f′(x)的符号、f(x)的单调性 和极值点.

x f′(x) f(x)

(-∞,0) -

0 0 极小 值0

(0,2) +

2 (2,+∞) 0 - 极大值 4e-2

由上表可以看出,当x=0时,函数有极小值,且 f(0)=0. 当x=2时,函数有极大值,且f(2)=4e-2.

【名师点评】

(1)函数的极值是对函数在某一点

附近的小区间而言,在函数的定义域区间内可能 有多个极大值或极小值,且极大值不一定比极小 值大. (2)连续函数的某点是极值点的充分条件是在这点 两侧的导数异号.可导函数的某点是极值点的必 要条件是在这点的导数为0.

3 自我挑战 求函数 f(x)= +3lnx 的极值. x 3 解:函数 f(x)= +3lnx 的定义域为(0,+∞), x 3 3 3?x-1? f′(x)=- 2 + = , 2 x x x 令 f′(x)=0 得 x=1. 根据 x=1 列表分析 f′(x)的符号、f(x)的单调性和 极值点:

x
f′(x)

(0,1)


1
0

(1,+∞)


f(x)

极小值3

因此当x=1时,f(x)有极小值,并且f(1)=3.

已知极值求参数 已知函数极值情况,逆向应用确定函数的解析式, 进而研究函数性质时,注意两点: (1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方 程组,利用待定系数法求解. (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条 件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合 理性.

例2

已知 f(x)=x +ax +bx+c 在 x=1 与 x=

3

2

2 - 时都取得极值. 3 (1)求 a,b 的值; 3 (2)若 f(-1)= ,求 f(x)的单调区间和极值. 2

【思路点拨】 先求导数 f′(x),再令 f′(x)=0 得到关于 x 的一元二次方程,其两根为 x1=1 与 2 x2 =- ,最后由一元二次方程根与系数的关系求 3 a,b 的值.

【解】

(1)f′(x)=3x +2ax+b,令 f′(x)=0. 2 由题设,知 x1 =1 与 x2=- 为 f′(x)=0 的解. 3 2 2 b 2 ∴- a=1- , =1×(- ). 3 3 3 3 1 ∴a=- ,b=-2. 2 3 1 2 (2)由(1)知 f(x)=x - x -2x+c, 2 1 3 由 f(-1)=-1- +2+c= ,得 c=1. 2 2

2

1 2 2 ∴f(x)=x - x -2x+1.∴f′(x)=3x -x-2. 2 当 x 变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:
3

x f′(x) f(x)

(- ∞, 2 - ) 3 + ?

2 - 3 0 极大值

2 (- , 3 1) - ?

1 0 极 小 值

(1,+ ∞) + ?

2 ∴f(x)的递增区间为(-∞,- )和(1,+∞), 3 2 递减区间为(- ,1). 3 2 2 49 当 x=- 时,f(x)有极大值,f(- )= ; 3 3 27 1 当 x=1 时,f(x)有极小值,f(1)=- . 2

函数极值的综合应用
极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用和逆 用,以及与单调性问题的综合,题目着重考查已 知与未知的转化,以及函数与方程的思想、分类 讨论的思想在解题中的应用,在解题过程中,熟 练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策 略是解决综合问题的关键.

例3 已知 f(x)=x3 +ax2+bx+c,f(x)在点 x=0

处取得极值, 并且在单调区间[0,2]和[4,5]上具有相 反的单调性. (1)求实数 b 的值; (2)求实数 a 的取值范围. 【思路点拨】 ①由极值点必为导函数值为0的 点,可解(1); ②函数在单调区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单 调性意味着在[2,4]之间必有极值点.

【解】 (1)由于 f′(x)=3x +2ax+b,f(x)在点 x =0 处取得极值,所以 f′(0)=0,解得 b=0. 2 (2)令 f′(x)=0,即 3x +2ax=0, 2 解得 x=0 或 x=- a. 3 2 依题意有- a>0.又函数在单调区间[0,2]和[4,5]上 3 2 具有相反的单调性,所以必有 2≤- a≤4. 3 解得:-6≤a≤-3.

2

【名师点评】 本题从逆向思维的角度出发,根据 题设结构进行逆向联想, 合理地实现了问题的转化, 使抽象的问题具体化.在转化的过程中充分运用了 已知条件,确定了解题的大方向.

方法感悟
1.极值的概念理解 在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点指的 是自变量的值,极值指的是函数值.请注意以下几 点: (1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点 的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小, 并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小. (2)函数的极值不一定是唯一的,即一个函数在某个 区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一 个.

(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系,即一 个函数的极大值未必大于极小值,如下图所示, x1是极大值点,x4是极小值点,而f(x4)>f(x1).

2.极值点与导数为零的点 (1)可导函数的极值点是导数为零的点,但是导数 为零的点不一定是极值点,即“点x0是可导函数 f(x)的极值点”是“f′(x0)=0”的充分但不必要条 件; (2)可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是 f′(x0)=0,且在x0左侧和右侧f′(x)的符号不同. 如果在x0的两侧f′(x)的符号相同,则x0不是极值 点.

本部分内容讲解结束
按ESC键退出全屏播放 点此进入课件目录

谢谢使用


相关文档

湘教版数学选修2-2配套课件:4-3-2函数的极大值和极小值
高二数学配套课件4.3.2 函数的极大值和极小值(湘教版选修2-2)
高中数学第4章4.3导数在研究函数中的应用4.3.2函数的极大值和极小值课堂讲义配套课件湘教版选修2_2
【新版】湘教版高中数学选修2-2《函数的极大值和极小值》教学课件2【名校精品】
高中数学4.3.2函数的极大值和极小值同步精练湘教版选修2_2【含答案】
【新版】湘教版高中数学选修2-2《函数的极大值和极小值》教学课件1【名校精品】
高中数学 4_3_2 函数的极大值和极小值同步精练 湘教版选修2-21
【创新设计】高中数学湘教版选修2-2同步测试:4.3.2《函数的极大值和极小值》
2017-2018高中数学选修2-2分层训练4-3-2函数的极大值和极小值湘教版
电脑版