wwwcqgj88com:高中数学第一章三角函数4.4单位圆的对称性与诱导公式(一)课件北师大版必修4_图文

第一章 §4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式 4.4 单位圆的对称性与诱导公式(一) 学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用. 2.理解诱导公式的推导过程. 3.能运用有关的诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点 2kπ±α,-α,π±α的诱导公式 思考1 设α为任意角,则2kπ+α,π+α,-α,2kπ-α,π-α的终边与α 的终边有怎样的对应关系? 答案 它们的对应关系如表: 相关角 2kπ+α与α 终边之间的对称关系 终边相同 π+α与α -α与α 关于原点对称 关于x轴对称 2π-α与α π-α与α 关于x轴对称 关于y轴对称 答案 思考2 2kπ+α,π+α,-α,2kπ-α,π-α终边和单位圆的交点与α的终 边和单位圆的交点有怎样的对称关系?试据此分析角α与-α的正 弦函数、余弦函数的关系. 答案 梳理 对任意角α,有下列关系式成立: sin(2kπ+α)=sin α, sin(-α)=-sin α, sin(π-α)=sin α, sin(π+α)=-sin α, cos(2kπ+α)=cos α cos(-α)=cos α cos(π-α)=-cos α cos(π+α)=-cos α (1.8) (1.9) (1.10) (1.11) (1.12) sin(2π-α)=-sin α, cos(2π-α)=cos α 公式1.8~1.12叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式. 这五组诱导公式的记忆口诀是“ 函数名不变,符号看象限 ”.其含义是诱 导公式两边的函数名称 一致 ,符号则是将α看成 锐角 时原角所在象限的 正弦函数、余弦函数值的符号. 题型探究 类型一 例1 求下列各三角函数式的值. (1)cos 210°; 给角求值问题 解 cos 210°=cos(180°+30°) 3 =-cos 30° =- 2 . 11π (2)sin 4 ; 11π 3π 3π π 解 sin 4 =sin(2π+ 4 )=sin 4 =sin(π-4) π 2 =sin4= 2 . 解答 43π (3)sin(- 6 ); 43π 7π 解 sin(- 6 )=-sin(6π+ 6 ) 7π π π 1 =-sin 6 =-sin(π+6)=sin6=2. (4)cos(-1 920°). 解 cos(-1 920°)=cos 1 920° =cos(5×360°+120°) =cos 120°=cos(180°-60°)=-cos 60° 1 =- . 2 解答 反思与感悟 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”:用公式一或三来转化. (2)“大化小”:用公式一将角化为0°到360°间的角. (3)“角化锐”:用公式二或四将大于90°的角转化为锐角. (4)“锐求值”:得到锐角的三角函数后求值. 跟踪训练1 求下列各三角函数式的值. (1)sin 1 320°; 解 方法一 sin 1 320°=sin(3×360°+240°) 3 =sin 240° =sin(180° +60° )=-sin 60° =- 2 . 方法二 sin 1 320°=sin(4×360°-120°)=sin(-120°) 3 =-sin(180° -60° )=-sin 60° =- 2 . 解答 ? ? 31π ? - (2)cos? ? ?. 6 ? ? 解 方法一 ? ? 31π? 7π? 31π ? ? ? cos?- 6 ?=cos 6 =cos?4π+ 6 ? ? ? ? ? ? π π 3 =cos(π+6)=-cos 6=- 2 . ? ? 31π? 5π? ? ? ? ? 方法二 cos?- 6 ?=cos?-6π+ 6 ? ? ? ? ? ? π? π ? ? =cos?π-6?=-cos6=- ? ? 3 . 2 解答 类型二 给值(式)求值问题 例2 (1)已知sin(π+α)=-0.3,则sin(2π-α)=-0.3 . 解析 ∵sin(π+α)=-sin α=-0.3, ∴sin α=0.3, ∴sin(2π-α)=-sin α=-0.3. 解析 答案 2 π 2 5π -2 (2)已知 cos(6-α)= 2 ,则 cos( 6 +α)= . 解析 5π π π 2 cos( 6 +α)=cos[π-(6-α)]=-cos(6-α)=- 2 . 解析 答案 反思与感悟 解决此类问题的关键是抓住已知角与所求角之间的关系,从而灵活选择 诱导公式求解,一般可从两角的和、差的关系入手分析,解题时注意整 体思想的运用. 跟踪训练2 已知 ?π ? ? cos?6+θ? ?= ? ? 3 ,则 3 ?5π ? - ? cos? 6 -θ? = ? ? ? 3 3 . 解析 ?5π ? ? ?π ?? ? ? ? ? ? cos? 6 -θ?=cos?π-?6+θ? ?? ? ? ? ? ?? ?π ? ? =-cos?6+θ? ?=- ? ? 3 . 3 解析 答案 类型三 例3 化简下列各式. 利用诱导公式化简 sin?-2π-α?cos?6π-α? (1) ; cos?α-π?sin?5π-α? 解 sin?-α?cos?-α? 原式= cos?π-α?sin?π-α? ?-sin α?cos α = =1. ?-cos α?sin α 解答 1+2sin 290° cos 430° (2) . sin 250° +cos 790° 解 1+2sin?360° -70° ?cos?360° +70° ? 原式= sin?180° +70° ?+cos?720° +70° ? 1-2sin 70° cos 70° |co

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