高中数学高考数学学习资料:专题1 第5讲 导数


知考情 第5讲 研考题 导 数 析考向 战考场 高频考点 利用导数求解 曲线的切线问 考情解读 考查方式 题 利用导数研究 函数的单调性 考查求过某点的切线的斜率、 题型以选择 方程、切点的坐标,或以平 题、填空题 行、垂直直线斜率间的关系 为主 为载体求参数的值 zxxk 利用导数求函数的单调区间 或判断函数的单调性问题 各种题型 高频考点 考情解读 考查方式 多以解答题 形式出现 多以选择题、 填空题形式 出现 利用导数研 导数是研究函数极值与最值问 究函数的极 题的重要工具,常与函数、方 值与最值 程、不等式等交汇命题 zxxk 定积分 一般考查定积分的直接运算及 定积分在几何或物理中的应用 [联知识 导数的几何意义: 串点成面] (1)函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)就是曲线y=f(x)在点 (x0,f(x0))处的切线的斜率,即k=f′(x0). (2)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)= zxxk f′(x0)(x-x0). [做考题 查漏补缺] (2011· 江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,已知P 是函数f(x)=ex(x>0)的图像上的动点,该图像在点P处的 切线l交y轴于点M,过点P作l的垂线交y轴于点N.设线段 MN的中点的纵坐标为t,则t的最大值是________. [解析] 设点 P 的坐标为(x0,e x0 ), 则切线 l 的方程为 y-e x0 =e x0 (x-x0), 1 则过点 P 作 l 的垂线 m 的方程为 y-e =- x0 (x-x0),令 x=0, e x0 1 得 M(0,e x0 -x0e x0 ),N(0,e x0 +x0 x0 ), e x0 x0 x x e e 1 0 0 所以 t=e x0 + x0 - ,得 t′=(1-x0)( + x0 ), 2 2 2e 2e x0 x0e x0 令 t′=0,得 x0=1,当 0<x0<1 时,t′>0,t=e + x0 - 2 2e x0 x0 x0e x0 单调递增;当 x0>1 时,t′<0,t=ex0+ x0 - 单调递减,所 2 2e 1 1 以当 x0=1 时,t 取最大值,为 (e+ ). 2 e 1 1 [答案] (e+ ) 2 e 1.(2011· 山东高考)曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线 与y轴交点的纵坐标是 ( ) A.-9 C. 9 B.-3 D.15 解析:y′=3x2,故曲线在点P(1,12)处的切线斜率是3, 故切线方程是y-12=3(x-1),令x=0得y=9. 答案:C 2.(2011· 大连模拟)已知直线y=x+1与曲线f(x)=ln(x +a)相切,则a的值为________. 解析:据题意设切点为(x0,x0+1), 1 由于 f′(x)= , x+a ? 1 ? =1, x + a 0 由导数的几何意义可知? ? ?ln?x0+a?=x0+1, ? ?x0=-1, 解得? ? ?a=2. 答案:2 [悟方法 触类旁通] 求曲线y=f(x)的切线方程的类型及方法 (1)已知切点P(x0,y0),求切线方程: 求出切线的斜率f′(x0),由点斜式写出方程; (2)已知切线的斜率k,求切线方程: 设切点P(x0,y0),通过方程k=f′(x0)解得x0,再由点斜式写 出方程; (3)已知切线上一点(非切点),求切线方程: 设切点 P(x0 ,

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