3.1.1《数系的扩充与复数的概念》课件(人教A版选修2-2)_图文

数系的扩充与复数的概念
1、什么是自然数集? 0、1、2、3.... 2、在自然数集中解x+2=0 添加负整数,得x=-2 3、在整数集内解3x+2=0 添加分数,得x=-2/3 无解 无解

自然数

4、在有理数集内解x2-2=0 无解 添加无理数,得x= ? 2 5、在实数集内解x2+1=0 无解

数 系 的 扩 充

正有理数和零

有理数

实数

怎样解方程 x ? 2 x ? 3 ? ? 2 显然, △? 2 ? 4 ? 3 ? 0 ∴在实数范围内无解.
2

到底是怎么一回事? 2 x ? 2x ? 3 ? 0 2 配方得 x ? 2 x ? 1 ? ?2 2 即 ( x ? 1) ? ?2

负数能否开平方?又如 x ? ?1 呢?
2

在解方程时经常会遇到这类问题 .如果负数可以 开平方,那这个平方根不会是实数,是什么数呢 ?

问题解决: 为了解决负数开平方问题,数学家大胆引入一个新数 i ,把 i 叫做虚数单位,并且规定: (1) i 2??1; (2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运算时, 原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配 律)仍然成立.

全体复数所成的集合 C 叫做复 数集. 即 C ? ?a ? bi a , b ? R?
代数形式 虚数发展史

复数的发展史 虚数这种假设, 是需要勇气的 ,人们在当时是无法接受 的,认为她是想象的,不存在的,但这丝毫不影响数学家对虚 数单位 i 的假设研究 :第一次认真讨论这种数的是文艺复兴 时期意大利有名的数学“怪杰”卡丹,他是 1545 年开始讨 论这种数的,当时复数被他称作“诡辩量”.几乎过了 100 年, 笛卡尔才给这种 “虚幻之数” 取了一个名字——虚数. 但 是又过了 140 年,欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之 中” ,并用 i (imaginary,即虚幻的缩写)来表示它的单位. 后来德国数学家高斯给出了复数的定义, 但他们仍感到这种 数有点虚无缥缈,尽管他们也感到它的作用.1830 年,高 斯 详 细 论 述 了 用 直 角 坐 标 系 的 复 平 面 上 的点 表 示 复 数 a ? bi ,使复数有了立足之地,人们才最终承认了复数.到今 天复数已经成为现代科技中普遍运用的数学工具之一.

复数的代数形式: 通常用字母 z 表示,即

z ? a ? bi
其中a —实部 , b —虚部 ,

i 称为虚数单位.
规定: 0i=0 ,0+bi=bi, a+0i=a

说出这些数的实部和虚部?

3、复数的分类
当 b ? 0 时,这时 z ? a 是实数.

? ? 复数 z ? a ? bi ? 当 b ? 0 时, z ? a ? bi 叫做虚数 . ? ? 当 a ? 0且b ? 0 时,z ? bi 叫做纯虚数.

讨论:复数集 C 和实数集 R 之间有什么关系?
虚数集 纯虚 数 复数集(C) 实数集 (R)

例1 实数m取什么值时,复数

z ? m ? 1 ? (m ? 1)i
m ? 1时,复数z 是实数. m ? 1 时,复数z 是虚数.

是(1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数?
解: (1)当 m ? 1 ? 0,即

(2)当 m ? 1 ? 0 ,即
(3)当 ?m ? 1 ? 0

? ?m ? 1 ? 0

即 m ? ?1 时,复数z 是 纯虚数.

4、复数相等的充要条件
如果两个复数的实部和虚部分别相等,那 么我们就说这两个复数相等.

规定:两复数 a ? bi 与 c ? di (a, b, c, d ? R) 相等的充要条件是 a ? c 且 b ? d .

如果两个复数的实部和虚部分别相等,那 么我们就说这两个复数相等.

若a, b, c, d ? R,

a ? bi ? c ? di ?
? y ? (3 ? y )i ,其中x, y ? R

例2 已知 (2 x ? 1) ? i 求 x与 y .

解:根据复数相等的定义,得方程组

?2 x ? 1 ? y ? ?1 ? ?( 3 ? y )
练习2

5 解得 x ? , y ? 4 2
2答案

练习1:当m为何实数时,复数 是 (1)实数 (2)虚数 (3)纯虚数

m ? 1或m ? ?1

m ? 1且m ? ?1

m ? ?2

练习 2. ⑴ 已知? x ? y ? ? ? x ? 2 y ? i ? ? 2 x ? 5? ? ? 3 x ? y ? i , 求实数 x , y 的值. x ? 3, y ? ⑵ 若? 3 ? 10i ? y ? ? ?2 ? i ? x ? 1 ? 9i , 求实数 x , y 的值.

?2

x ? 1, y ? 1

学习小结
1.虚数单位i的引入; 2.复数有关概念:
复数的代数形式: 复数的实部 、虚部 虚数、纯虚数 复数相等

3.复数的分类:


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