2018版高中数学北师大版必修四学案:第二章 4.1 平面向量的坐标表示-4.2 平面向量线性运算的坐标表示

4. 1 4. 2 学习目标 平面向量的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1.了解平面向量的正交分解,掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘 向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念,要把点的坐标与向量的坐标区分开来. 知识点一 平面向量的正交分解 思考 如果向量 a 与 b 的夹角是 90° ,则称向量 a 与 b 垂直,记作 a⊥b.互相垂直的两个向量 能否作为平面内所有向量的一组基底? 梳理 把一个向量分解为________________的向量,叫作把向量正交分解. 知识点二 平面向量的坐标表示 思考 1 如图,向量 i,j 是两个互相垂直的单位向量,向量 a 与 i 的夹角是 30° ,且|a|=4, 以向量 i,j 为基底,如何表示向量 a? 思考 2 在平面直角坐标系内, 给定点 A 的坐标为 A(1,1), 则 A 点位置确定了吗?给定向量 a 的坐标为 a=(1,1),则向量 a 的位置确定了吗? → → → → 思考 3 设向量BC=(1,1),O 为坐标原点,若将向量BC平移到OA,则OA的坐标是多少?A 点坐标是多少? 梳理 (1)平面向量的坐标 ①在平面直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个____________i、j 作为基底.对 于平面内的任意向量 a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数 x,y,使得 a=xi+yj. 我们把实数对(x,y)叫作向量 a 的坐标,记作 a=(x,y). ②在平面直角坐标平面中,i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0). (2)点的坐标与向量坐标的区别和联系 表示 形式 区 别 不同 向量 a=(x,y)中间用等号连接,而点 A(x,y)中间没有 等号 点 A(x,y)的坐标(x,y)表示点 A 在平面直角坐标系中的 意义 不同 位置,a=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小,也表 示向量的方向.另外(x,y)既可以表示点,也可以表示 向量,叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y) 联系 当平面向量的始点在原点时,平面向量的坐标与向量终 点的坐标相同 知识点三 平面向量的坐标运算 思考 设 i、j 是分别与 x 轴、y 轴同向的两个单位向量,若设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a =x1i+y1j,b=x2i+y2j,根据向量的线性运算性质,向量 a+b,a-b,λa(λ∈R)如何分别用 基底 i、j 表示? 梳理 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),A(x1,y1),B(x2,y2). 数学公式 向量加、 减法 a± b=(x1± x2,y1± y2) 文字语言表述 向量和与差的坐标分别等于各向量 相应坐标的和与差 实数与向量积的坐标分别等于实数 与向量的相应坐标的乘积 一个向量的坐标等于其终点的坐标 减去始点的相应坐标 向量数乘 λa=(λx1,λy1) → AB=(x2-x1,y2-y1) 向量坐标 类型一 平面向量的坐标表示 例 1 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,OA=4,AB=3, → → ∠AOx=45° ,∠OAB=105° ,OA=a,AB=b. 四边形 OABC 为平行四边形. (1)求向量 a,b 的坐标; → (2)求向量BA的坐标; (3)求点 B 的坐标. 反思与感悟 在表示点、向量的坐标时,可利用向量的相等、加减法运算等求坐标,也可以 利用向量、点的坐标的定义求坐标.一般利用不等式思想求解,即把问题条件转化为关于参 数的不等式(组),再解不等式(组)就可以求得参数的取值范围. 跟踪训练 1 已知边长为 2 的正三角形 ABC,顶点 A 在坐标原点,AB 边在 x 轴上,点 C 在 → → → → 第一象限,D 为 AC 的中点,分别求向量AB,AC,BC,BD的坐标. 类型二 平面向量的坐标运算 → → → 例 2 已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设AB=a,BC=b,CA=c. (1)求 3a+b-3c; (2)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n 的值. 反思与感悟 向量坐标运算的方法 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行. 跟踪训练 2 已知 a=(-1,2),b=(2,1),求: 1 1 (1)2a+3b;(2)a-3b;(3) a- b. 2 3 类型三 平面向量坐标运算的应用 → → → 例 3 已知点 A(2,3),B(5,4),C(7,10).若AP=AB+λAC(λ∈R),试求当 λ 为何值时: (1)点 P 在第一、三象限的角平分线上; (2)点 P 在第三象限内. 反思与感悟 (1)待定系数法是最基本的数学方法之一,实质是先将未知量设出来,建立方程 (组)求出未知数的值,是待定系数法的基本形式,也是方程思想的一种基本应用. (2)坐标形式下向量相等的条件:相等向量的对应坐标相等;对应坐标相等的向量是相等向 量.由此可建立相等关系求某些参数的值. 跟踪训练 3 已知向量 a=(2,1),b=(1,-2),若 ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),则 m-n 的 值为________. 1.设平面向量 a=(3,5),b=(-2,1),则 a-2b 等于( A.(7,3) B.(7,7) C.(1,7) D.(1,3) ) 1→ → → 2.已知向量OA=(3,-2),OB=(-5,-1),则向量 AB的坐标是( 2 1? A.? ?-4,2? C.(-8,1) 1? B.? ?4,-2? D.(8,1) ) → → 3.已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且BC=2AD,则顶点 D 的 坐标为( 7? A.? ?2,2?

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