2010江苏高考数学试卷含附加题《清晰版》

2010 年江苏高考数学试题
一、填空题 1、设集合 A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数 a=______▲________ 2、设复数 z 满足 z(2-3i)=6+4i(其中 i 为虚数单位),则 z 的模为______▲________ 3、盒子中有大小相同的 3 只小球,1 只黑球,若从中随机地摸出两只球,两只球颜色不同的概率是_▲__ 4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取了 100 根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花 质量的重要指标),所得数据都在区间[5,40]中,其频率分布直方图如图所示,则其抽样的 100 根中,有_ ▲___根在棉花纤维的长度小于 20mm。 5、设函数 f(x)=x(ex+ae-x),x∈R,是偶函数,则实数 a=_______▲_________

0.06

频率 组距

0.05

0.04

0.03 0.02 0.01
O

5 10 15 20

长度m 25 30 35 40

6、在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 x 2 ? y2 ? 1上一点 M,点 M 的横坐标是 3,则 M 到双曲线右焦点 4 12
的距离是___▲_______ 7、右图是一个算法的流程图,则输出 S 的值是______▲_______

开始

S←1

n←1

n←n+1



S←S+2n

S≥33

是 输出 S

结束

8、函数 y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,k 为正整数, a1=16,则 a1+a3+a5=____▲_____
9、在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x 2 ? y2 ? 4 上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,则实

数 c 的取值范围是______▲_____

10、定义在区间

?? ?

0

,

? 2

?? ?

上的函数

y=6cosx

的图像与

y=5tanx

的图像的交点为

P,过点

P



PP1⊥x

轴于点

P1,直线 PP1 与 y=sinx 的图像交于点 P2,则线段 P1P2 的长为_______▲_____

11、已知函数

?x2 f(x)??

?1, x

? 0 ,则满足不等式

f (1? x2

)?

f ( 2 x ) 的 x 的范围是____▲____

? 1, x ? 0

12、设实数 x,y 满足 3≤ xy 2 ≤8,4≤ x2 ≤9,则 x3 的最大值是_____▲____

y

y4

13、在锐角三角形 ABC,A、B、C 的对边分别为 a、b、c, b ? a ? 6 cos C ,则 tanC ? tanC ? __▲

ab

tan A tan B

14、将 边 长 为 1 的 正 三 角 形 薄 片 , 沿 一 条 平 行 于 底 边 的 直 线 剪 成 两 块 , 其 中 一 块 是 梯 形 , 记

S=

(

梯形的周长)2 梯形的面积 ,则

S

的最小值是_______▲_______

二、解答题 15、(14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1) (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长

(2)设实数 t 满足( AB ? tOC )· OC =0,求 t 的值
16、(14 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=900 (1)求证:PC⊥BC (2)求点 A 到平面 PBC 的距离

P E

D

C

β

α

D

B

A

A

B

d

17、(14 分)某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位 m),如示意图,垂直放置的标杆 BC 高度 h=4m, 仰角∠ABE=α ,∠ADE=β (1)该小组已经测得一组α 、β 的值,tanα =1.24,tanβ =1.20,,请据此算出 H 的值 (2)该小组分析若干测得的数据后,发现适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位 m),使α 与β 之差较大, 可以提高测量精确度,若电视塔实际高度为 125m,问 d 为多少时,α -β 最大
18.(16 分)在平面直角坐标系 xoy 中,如图,已知椭圆 x 2 ? y 2 ? 1的左右顶点为 A,B,右顶点为 F,设 95

过点 T( t, m )的直线 TA,TB 与椭圆分别交于点 M (x1, y1 ) , N (x2 , y2 ) ,其中 m>0, y1 ? 0, y2 ? 0

①设动点 P 满足 PF2 ? PB2 ? 4 ,求点 P 的轨迹

②设 x1

?

2, x2

?

1 3

,求点 T 的坐标

A

③设 t ? 9 ,求证:直线 MN 必过 x 轴上的一定点

(其坐标与 m 无关)

O

FB

? ? 19.(16 分)设各项均为正数的数列?an ?的前 n 项和为 S n ,已知 2a2 ? a1 ? a3 ,数列 Sn 是公差为 d 的

等差数列.
①求数列?an ?的通项公式(用 n, d 表示)
②设 c 为实数,对满足 m ? n ? 3k且m ? n 的任意正整数 m, n, k ,不等式 Sm ? Sn ? cSk 都成立。求证:c 的最大值为 9
2
20.(16 分)设 f (x) 使定义在区间 (1,??) 上的函数,其导函数为 f '(x) .如果存在实数 a 和函数 h(x) ,其 中 h(x) 对任意的 x ? (1,??) 都有 h(x) >0,使得 f '(x) ? h(x)( x2 ? ax ? 1) ,则称函数 f (x) 具有性质 P(a) . (1)设函数 f (x) ? h(x) ? b ? 2 (x ? 1) ,其中 b 为实数
x ?1 ①求证:函数 f (x) 具有性质 P(b) ②求函数 f (x) 的单调区间 (2) 已 知 函 数 g(x) 具 有 性 质 P(2) , 给 定 x1, x2 ? (1,??), x1 ? x2 ,设m为实数,? ? mx1 ? (1? m)x2 , ? ? (1? m)x1 ? mx2 ,且? ? 1, ? ? 1 ,若| g(? ) ? g(? ) |<| g(x1 ) ? g(x2 ) |,求 m 的取值范围

【理科附加题】 21(从以下四个题中任选两个作答,每题 10 分) (1)几何证明选讲 AB 是⊙O 的直径,D 为⊙O 上一点,过点 D 作⊙O 的切线交 AB 延长线于 C,若 DA=DC,求证 AB=2BC
D

A

B

C

O

(2)矩阵与变换

在平面直角坐标系

xOy

中,A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设

k≠0,k∈R,M=

?k ??0

0? ?0 1?? ,N= ??1

1? 0??

,点

A、B、C

在矩

阵 MN 对应的变换下得到点 A1,B1,C1,△A1B1C1 的面积是△ABC 面积的 2 倍,求实数 k 的值 (3)参数方程与极坐标 在极坐标系中,圆ρ =2cosθ 与直线 3ρ cosθ +4ρ sinθ +a=0 相切,求实数 a 的值 (4)不等式证明选讲

已知实数 a,b≥0,求证: a3 ? b3 ? ab( a 2 ? b2 )

22、某厂生产甲、乙两种产品,生产甲产品一等品 80%,二等品 20%;生产乙产品,一等品 90%,二等品 10%。生产一件甲产品,如果是一等品可获利 4 万元,若是二等品则要亏损 1 万元;生产一件乙产品,如 果是一等品可获利 6 万元,若是二等品则要亏损 2 万元。设生产各种产品相互独立 (1)记 x(单位:万元)为生产 1 件甲产品和件乙产品可获得的总利润,求 x 的分布列 (2)求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率 23、(10 分)已知△ABC 的三边长为有理数 (1)求证 cosA 是有理数 (2)对任意正整数 n,求证 cosnA 也是有理数
2010 年江苏高考数学试题及参考答案
二、填空题 15、设集合 A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数 a=______▲________

答案:1; 16、设复数 z 满足 z(2-3i)=6+4i(其中 i 为虚数单位),则 z 的模为______▲________
答案: 13
17、盒子中有大小相同的 3 只小球,1 只黑球,若从中随机地摸出两只球,两只球颜色不同的概率是_▲__
答案: 1 2
18、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取了 100 根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花 质量的重要指标),所得数据都在区间[5,40]中,其频率分布直方图如图所示,则其抽样的 100 根中,有_ ▲___根在棉花纤维的长度小于 20mm。
答案:30 19、设函数 f(x)=x(ex+ae-x),x∈R,是偶函数,则实数 a=_______▲_________

0.06

频率 组距

0.05

0.04

0.03 0.02 0.01
O

5 10 15 20

长度m 25 30 35 40

答案:-1
20、在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 x 2 ? y2 ? 1上一点 M,点 M 的横坐标是 3,则 M 到双曲线右焦 4 12
点的距离是___▲_______ 答案:4
21、右图是一个算法的流程图,则输出 S 的值是______▲_______

开始

S←1

n←1

n←n+1



S←S+2n

S≥33

是 输出 S

结束

答案:63;

22、函数 y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,k 为正整数,a1=16,则 a1+a3+a5=____▲_____
答案:21;
23、在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x 2 ? y2 ? 4 上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,则
实数 c 的取值范围是______▲_____

答案:(-39,+39)

24、定义在区间

?? ?

0

,

? 2

?? ?

上的函数

y=6cosx

的图像与

y=5tanx

的图像的交点为

P,过点

P



PP1⊥x

轴于点

P1,直线 PP1 与 y=sinx 的图像交于点 P2,则线段 P1P2 的长为_______▲_____
答案: 2 3

25、已知函数

?x2 f(x)??

?1, x

? 0 ,则满足不等式

f (1? x2

)?

f ( 2 x ) 的 x 的范围是____▲____

? 1, x ? 0

? ? 答案: ?1, 2 ?1

26、设实数

x,y 满足

3≤

xy 2 ≤8,4≤

x2 y

≤9,则

x3 y4

的最大值是_____▲____

答案:27

27、在锐角三角形 ABC,A、B、C 的对边分别为 a、b、c, b ? a ? 6 cos C ,则 tanC ? tanC ? __▲

ab

tan A tan B

答案:4

28、将 边 长 为 1 的 正 三 角 形 薄 片 , 沿 一 条 平 行 于 底 边 的 直 线 剪 成 两 块 , 其 中 一 块 是 梯 形 , 记

S=

(

梯形的周长)2 梯形的面积 ,则

S

的最小值是_______▲_______

答案: 32 3 3
二、解答题 16、(14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1) (3)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长
(4)设实数 t 满足( AB ? tOC )·OC =0,求 t 的值 解:(1) AB ? (3,5), AC ? (?1,1)
求两条对角线长即为求 | AB ? AC |与 | AB ? AC | ,
由 AB ? AC ? (2,6) ,得 | AB ? AC |? 2 10 ,
由 AB ? AC ? (4, 4) ,得| AB ? AC |? 4 2 。

(2) OC ? (?2, ?1) , ∵( AB ? tOC )·OC ? AB OC ? tOC 2 , 易求 AB OC ? ?11 , OC2 ? 5 ,

所以由( AB ? tOC )·OC =0 得 t ? ?11 。 5
17、(14 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=900

(3)求证:PC⊥BC

(4)求点

A

到平面

PBC

的距离 [来源:高考资源网]

P E

D

C

β

α

D

B

A

A

B

d

解:(1)∵PD⊥平面 ABCD,∴ PD ? BC ,又 BC ? CD ,∴ BC ? 面 PCD ,∴ BC ? PC 。

(2)设点 A 到平面 PBC 的距离为 h ,

∵ VA?PBC

?

VP?

ABC

,∴

1 3

S

PBC

?

h

?

1 3

S

ABC

PD

容易求出 h ? 2

18、(14 分)某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位 m),如示意图,垂直放置的标杆 BC 高度 h=4m,

仰角∠ABE=α,∠ADE=β

(3)该小组已经测得一组 α、β 的值,tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出 H 的值

(4)该小组分析若干测得的数据后,发现适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位 m),使 α 与 β 之差较大,

可以提高测量精确度,若电视塔实际高度为 125m,问 d 为多少时,α-β 最大

现在上传的图片版与 WORD 试卷都有错误,该题似乎缺少 BD 长度的条件,暂无法解答

(1)∵ tan? ? AE , tan ? ? AE ,∴ tan? ? AD ? 31

AB

AD tan ? AB 30

(2)

18.(16 分)在平面直角坐标系 xoy 中,如图,已知椭圆 x 2 ? y 2 ? 1的左右顶点为 A,B,右顶点为 F,设 95

过点 T( t, m )的直线 TA,TB 与椭圆分别交于点 M (x1, y1 ) , N (x2 , y2 ) ,其中 m>0, y1 ? 0, y2 ? 0

①设动点 P 满足 PF2 ? PB2 ? 4 ,求点 P 的轨迹

②设

x1

?

2, x2

?

1 3

,求点

T

的坐标

A

③设 t ? 9 ,求证:直线 MN 必过 x 轴上的一定点

(其坐标与 m 无关)

O

FB

解:(1)由题意知 F (2,0) , A(3,0) ,设 P(x, y) ,则

(x ? 2)2 ? y 2 ? (x ? 3)2 ? y 2 ? 4

化简整理得 x ? 9 2

(2)把 x1

?

2,

x2

?

1 3

代人椭圆方程分别求出 M (2, 5) , N (1 ,

3

3

20) 9

直线 AM : y ? 1 (x ? 3)



3

直线 BN : y ? ? 5 (x ? 3)



6

①、②联立得T (9 , 10) 77

(3)T (9, m) ,

直线 TA

:

y

?

m 12

(x

?

3)

,与椭圆联立得

M

(?

3(m2 ? 80) m2 ? 80

,

40 m2 ?

80

)

直线 TB

:

y

?

m 6

(x

?

3)

,与椭圆联立得

N (3(m2 ? 20) m2 ? 20

,?

20 m2 ?

) 20

直线

MN

:

y

?

20 m2 ? 20

?

?

40 m2 ? 80

?

20 m2 ? 20

3(m2 ? 80) m2 ? 80

?

3(m2 m2

? 20) ? 20

(x

?

3(m2 ? 20) m2 ? 20 )

,

化简得

y

?

20 m2 ? 20

?

?

10 m2 ? 40

(x

?

3(m2 ? 20) m2 ? 20 )

令 y ? 0 ,解得 x ?1,即直线 MN 过 x 轴上定点 (1,0) 。

? ? 19.(16 分)设各项均为正数的数列?an ?的前 n 项和为 S n ,已知 2a2 ? a1 ? a3 ,数列 Sn 是公差为 d

的等差数列.

①求数列?an ?的通项公式(用 n, d 表示)

②设 c 为实数,对满足 m ? n ? 3k且m ? n 的任意正整数 m, n, k ,不等式 Sm ? Sn ? cSk 都成立。求
证: c 的最大值为 9 2
? ? 解:(1)? Sn 是等差数列, 2 S2 ? S1 ? S3 ,

又 2a2 ? a1 ? a3 ,?2 a1 ? a2 ? a1 ? 3a2 ,平方得 3a1 ? a2 ? 2 3a1a2 ,即 ( a2 ? 3a1 )2 ? 0 ,? a2 ? 3a1 ,

? d ? S2 ? S1 ? 2 a1 ? a1 ? a1 ,即 S1 ? d , ? Sn ? S1 ? (n ?1)d ? nd , Sn ? n 2d 2 n ? 2时, an ? Sn ? Sn?1 ? n 2d 2 ? (n ? 1)2 d 2 ? (2n ? 1)d 2

且对 n ? 1成立,

? an ? (2n ? 1)d 2

(2)由

Sm

?

Sn

> cS k

得 m2

?

n2

> ck

2

即c

<

m2 ? k2

n2

? m2 ? n2 ? 9(m2 ? n2 ) ? 9(m2 ? n2 ) ,?2mn < m2 ? n2 (m ? n)

k2

(m ? n)2 m2 ? n2 ? 2mn

?

m

2? k2

n

2

?

9(m2 ? n2 ) (m ? n)2

?

9(m2 ? n2 ) 9 m2 ? n2 ? 2mn > 2

? c ? 9 , c 的最大值为 9 。

2

2

20.(16 分)设 f (x) 使定义在区间 (1,??) 上的函数,其导函数为 f '(x) .如果存在实数 a 和函数 h(x) ,其

中 h(x) 对任意的 x ? (1,??) 都有 h(x) >0,使得 f '(x) ? h(x)( x2 ? ax ? 1) ,则称函数 f (x) 具有性质

P(a) . (1)设函数 f (x) ? h(x) ? b ? 2 (x ? 1) ,其中 b 为实数
x ?1 ①求证:函数 f (x) 具有性质 P(b)

求函数 f (x) 的单调区间

(2)已知函数 g(x) 具有性质 P(2) ,给定 x1, x2 ? (1,??), x1 ? x2 ,设m为实数,? ? mx1 ? (1? m)x2 ,

? ? (1? m)x1 ? mx2 ,且? ? 1, ? ? 1 ,若| g(? ) ? g(? ) |<| g(x1 ) ? g(x2 ) |,求 m 的取值范围

(1)估计该问题目有错,似乎为 f (x) ? ln x ? b ? 2 (x ?1) ,则有如下解答: x ?1



f

'(x)

?

1 x

?

b?2 (x ?1)2

?

1 x(x ?1)2

(x2

? bx ?1)



x ?1时, h(x) ?

1 x(x ?1)2

? 0 恒成立,

∴函数 f (x) 具有性质 P(b) ;

②设?(x) ? x2 ? bx ?1,则 f ?(x)与?(x) 同号,
当 b ??? 2,2?时,?(x) ? x2 ? bx ? 1>0 恒成立,? f (x) 在 (1,??) 上单调递增;
当 b ? (??,?2) 时,?(x) ? x2 ? bx ? 1>0 恒成立,? f (x) 在 (1,??) 上单调递增;
当 (2)
【理科附加题】 21(从以下四个题中任选两个作答,每题 10 分) (5)几何证明选讲 AB 是⊙O 的直径,D 为⊙O 上一点,过点 D 作⊙O 的切线交 AB 延长线于 C,若 DA=DC,求证 AB=2BC[来
源:Ks5u.com]

D

A

B

C

O

(证明略)

(6)矩阵与变换

在平面直角坐标系

xOy

中,A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设

k≠0,k∈R,M=

?k ??0

0? ?0 1?? ,N= ??1

1? 0??

,点

A、B、C

在矩

阵 MN 对应的变换下得到点 A1,B1,C1,△A1B1C1 的面积是△ABC 面积的 2 倍,求实数 k 的值 (B 点坐标不清,略)

(7)参数方程与极坐标

在极坐标系中,圆 ρ=2cosθ 与直线 3ρcosθ+4ρsinθ+a=0 相切,求实数 a 的值

(过程略 a ? ?1)

(8)不等式证明选讲

已知实数 a,b≥0,求证: a3 ? b3 ? ab( a 2 ? b2 )

(略)

23、(10 分)某厂生产甲、乙两种产品,生产甲产品一等品 80%,二等品 20%;生产乙产品,一等品 90%, 二等品 10%。生产一件甲产品,如果是一等品可获利 4 万元,若是二等品则要亏损 1 万元;生产一件乙产 品,如果是一等品可获利 6 万元,若是二等品则要亏损 2 万元。设生产各种产品相互独立 (3)记 x(单位:万元)为生产 1 件甲产品和件乙产品可获得的总利润,求 x 的分布列 (4)求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率 解:(1)

X

10

5

2

-3

P

0.72

0.18

0.08

0.02

(2)依题意,至少需要生产 3 件一等品

P ? C43 ? 0.83 ? 0.2 ? 0.84 ? 0.8192
答:………… 24、(10 分)已知△ABC 的三边长为有理数 (3)求证 cosA 是有理数 (4)对任意正整数 n,求证 cosnA 也是有理数

(1)设三边长分别为 a,b,c ,cos A ? b2 ? c2 ? a2 ,∵ a,b,c 是有理数,a,b,c 均可表示为 q ( p,q 为互质

2bc

p

的整数)形式∴ b2 ? c2 ? a2 必能表示为 q ( p,q 为互质的整数)形式,∴cosA 是有理数

2bc

p

(2)∵ cos2 A ? 2cos 2 A ?1 ,∴ cos2A 也是有理数, 当 n ? 3 时,∵ cos nA ? cos(n ?1)Acos A ? sin(n ?1)Asin A
? cos(n ?1)Acos A ? 1{cos[(n ?1)A ? A] ? cos[(n ?1)A ? A]} 2
∴ cos nA ? 2cos(n ?1)Acos A ? cos(n ? 2)A,
∵ cosA , cos2A 是 有 理 数 , ∴ cos3A 是 有 理 数 , ∴ cos4A 是 有 理 数 , … … , 依 次 类 推 , 当 cos(n ?1)A,cos(n ? 2)A为有理数时, cosnA 必为有理数。


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