基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含标准答案)

基本不等式及其应用

1.基本不等式 a+b 若 a>0,,b>0,则 2 ≥ ab,当且仅当 这一定理叙述为:两个正数的算术平均数 时取“=”. 它们的几何平均数.

注:运用均值不等式求最值时,必须注意以下三点: (1)各项或各因式均正; (一正) (2)和或积为定值; (二定) (3)等号成立的条件存在:含变数的各项均相等,取得最值. (三相等) 2.常用不等式 (1)a2+b2≥ 2 ab (a,b∈R). (2) ab ?
a?b ?a, b ? 0? 2

a?b ≥ ab 它们成立的条件不同,前者只要求 a、 2 a?b 2 b 都是实数,而后者要求 a、b 都是正数.其等价变形:ab≤( ). 2

注:不等式 a2+b2≥2ab 和

? a?b? (3)ab≤ ? ? (a,b∈R). ? 2 ?
b a (4)a+b≥2(a,b 同号且不为 0).
2 2 2 ? a ? b ? a +b (5) ? ? ? 2 (a,b∈R). ? 2 ?

2

(6)

a2 ? b2 a ? b 2 ?a, b ? 0? ? ? ab ? 1 1 2 2 ? a b

a3+b3+c3 ; ? a, b, c ? 0? (7)abc≤ 3
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(8)

a+b+c 3 3 ≥ abc; ? a, b, c ? 0?

3.利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)求最小值:a>0,b>0,当 ab 为定值时,a+b,a2+b2 有 +b≥ ,a +b ≥
2 2

,即 a

. ;

(2)求最大值:a>0,b>0,当 a+b 为定值时,ab 有最大值,即 或 a +b 为定值时,ab 有最大值(a>0,b>0),即
2 2

.

设 a,b∈R,且 a+b=3,则 2a+2b 的最小值是( A.6 B.4 2 C.2 2 D.2 6

)

解: 因为 2a>0, 2b>0, 由基本不等式得 2a+2b≥2 2a·2b=2 2a+b=4 2, 3 当且仅当 a=b=2时取等号,故选 B. 若 a>0,b>0,且 a+2b-2=0,则 ab 的最大值为( 1 A.2 B.1 C.2 D.4 )

1 解:∵a>0,b>0,a+2b=2,∴a+2b=2≥2 2ab,即 ab≤2.当且仅当 a 1 =1,b=2时等号成立.故选 A. 小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(a<b), 其全程的平均时速为 v,则( ) B.v= ab a+b D.v= 2

A.a<v< ab a+b C. ab<v< 2

解:设甲、乙两地之间的距离为 s. ∵a<b,∴v= s 2s s= 2ab 2ab < = ab. a+b 2 ab

a+b

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ab-a2 a2-a2 2ab 又 v-a= -a= > =0,∴v>a.故选 A. a+b a+b a+b (2014·上海)若实数 x,y 满足 xy=1,则 x2+2y2 的最小值为________. 2 4 解:由 xy=1 得 x2+2y2=x2+x2≥2 2,当且仅当 x=± 2时等号成立.故填 2 2. 点(m,n)在直线 x+y=1 位于第一象限内的图象上运动,则 log2m+log2n 的最大值是________. 解:由条件知,m>0,n>0,m+n=1, ?m+n?2 1 ? = , 所以 mn≤? 4 ? 2 ? 1 当且仅当 m=n=2时取等号, 1 ∴log2m+log2n=log2mn≤log24=-2,故填-2.

类型一 利用基本不等式求最值 (x+5)(x+2) (1)求函数 y= (x>-1)的值域. x+1 解: ∵x>-1, ∴x+1>0, 令 m=x+1, 则 m>0, 且 y= 4 =m+m+5≥2 (m+4)(m+1) m

4 m·m+5=9,当且仅当 m=2 时取等号,故 ymin=9.

又当 m→+∞或 m→0 时,y→+∞,故原函数的值域是[9,+∞). (2)下列不等式一定成立的是( 1? ? A.lg?x2+4?>lgx(x>0) ? ? C.x2+1≥2|x|(x∈R) ) 1 B.sinx+sinx≥2(x≠kπ,k∈Z) D. 1 >1(x∈R) x +1
2

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1 1 1 解:A 中,x2+4≥x(x>0),当 x=2时,x2+4=x. 1 B 中,sinx+sinx≥2(sinx∈(0,1]); 1 sinx+sinx≤-2(sinx∈[-1,0)). C 中,x2-2|x|+1=(|x|-1)2≥0(x∈R). D 中, 1 ∈(0,1](x∈R).故 C 一定成立,故选 C. x +1
2

点拨: 这里(1)是形如 f(x)= ax2+bx+c 的最值问题,只要分母 x+d>0,都可以将 x+d e +h(这里 ae>0;若 ae<0,可以直接利用单调性 x+d

f(x)转化为 f(x)=a(x+d)+

等方法求最值),再利用基本不等式求其最值. (2)牢记基本不等式使用条件——一正、二定、三相等,特别注意等号成立 条件要存在. (1)已知 t>0,则函数 f(t)= t2-4t+1 的最小值为 t .

t2-4t+1 1 解:∵t>0,∴f(t)= = t + t t -4≥-2, 当且仅当 t=1 时,f(t)min=-2,故填-2. (2)已知 x>0,y>0,且 2x+8y-xy=0,求: (Ⅰ)xy 的最小值; (Ⅱ)x+y 的最小值. 8 2 解:(Ⅰ)由 2x+8y-xy=0,得x +y =1,又 x>0,y>0, 8 2 则 1= x+ y≥2 8 2 8 x · y= xy,得 xy≥64,

当且仅当 x=4y,即 x=16,y=4 时等号成立.
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(Ⅱ)解法一:由 2x+8y-xy=0,得 x=

8y ,∵x>0,∴y>2, y-2

则 x+y=y+

8y 16 =(y-2)+ +10≥18, y-2 y-2 16 ,即 y=6,x=12 时等号成立. y-2

当且仅当 y-2=

8 2 解法二:由 2x+8y-xy=0,得 x+ y=1, 2x 8y ?8 2? 则 x+y=? x+y?·(x+y)=10+ y + x ≥10+2 ? ? 6,x=12 时等号成立. 类型二 总有( ) B.2?M,0?M D.2?M,0∈M
2 4

2x 8y y · x =18,当且仅当 y=

利用基本不等式求有关参数范围 若关于 x 的不等式(1+k2)x≤k4+4 的解集是 M, 则对任意实常数 k,

A.2∈M,0∈M C.2∈M,0?M

k4+4 5 解法一:求出不等式的解集:(1+k )x≤k +4?x≤ 2 =(k2+1)+ 2 - k +1 k +1 5 ? 2 ? 2?x≤?(k +1)+k2+1-2? =2 5-2(当且仅当 k2= 5-1 时取等号). ? ?min 解法二(代入法):将 x=2,x=0 分别代入不等式中,判断关于 k 的不等式解 集是否为 R. 故选 A. 点拨: 一般地,对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题, 对于“恒成立”的不等式,一般的解题方法是先分离然后求函数的最值.另外, 要记住几个常见的有关不等式恒成立的等价命题: (1)a>f(x)恒成立?a>f(x)max;(2)a<f(x)恒成立?a<f(x)min; (3)a>f(x)有解?a>f(x)min; (4)a<f(x)有解?a<f(x)max.
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已知函数 f(x)=ex+e-x,其中 e 是自然对数的底数.若关于 x 的不等 式 mf(x)≤e-x+m-1 在(0,+∞)上恒成立,求实数 m 的取值范围. 解:由条件知 m(ex+e-x-1)≤e-x-1 在(0,+∞)上恒成立. t-1 令 t=ex(x>0),则 t>1,且 m≤- 2 = t -t+1 成立. ∵t-1+ 1 +1≥2 t-1 1 1 (t-1)· +1=3, t-1 - 对任意 t>1 1 t-1+ +1 t-1 1

∴-

1 ≥-3, 1 t-1+ +1 t-1

当且仅当 t=2,即 x=ln2 时等号成立. 1? ? 故实数 m 的取值范围是?-∞,-3?. ? ? 类型三 利用基本不等式解决实际问题 围建一个面积为 360 m2 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙 (利用旧墙需维修),其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度 为 2 m 的进出口, 如图所示, 已知旧墙的维修费用为 45 元/m, 新墙的造价为 180 元/m, 设利用的旧墙的长度为 x(单位: 元), 修建此矩形场地围墙的总费用为 y(单 位:元).

(1)将 y 表示为 x 的函数; (2)试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用. 解:(1)如图,设矩形的另一边长为 a m, 则 y=45x+180(x-2)+180· 2a=225x+360a-360. 360 由已知 xa=360,得 a= x ,
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3602 所以 y=225x+ x -360(x≥2). 3602 (2)∵x≥0,∴225x+ x ≥2 225×3602=10800, 3602 ∴y=225x+ x -360≥10440, 3602 当且仅当 225x= x ,即 x=24 时等号成立. 答:当 x=24 m 时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是 10440 元. 如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽 2 m 的无盖长 方体的沉淀箱,污水从 A 孔流入,经沉淀后从 B 孔排出,设箱体的长度为 a m, 高度为 b m, 已知排出的水中该杂质的质量分数与 a, b 的乘积 ab 成反比.现有制 箱材料 60 m2,问 a,b 各为多少 m 时,经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数 最小(A,B 孔面积忽略不计).

解法一:设 y 为排出的水中杂质的质量分数, k 根据题意可知:y=ab,其中 k 是比例系数且 k>0. 依题意要使 y 最小,只需 ab 最大. 由题设得:4b+2ab+2a≤60(a>0,b>0), 即 a+2b≤30-ab(a>0,b>0). ∵a+2b≥2 2ab, ∴2 2· ab+ab≤30,得 0< ab≤3 2. 当且仅当 a=2b 时取“=”号,ab 最大值为 18,此时得 a=6,b=3. 故当 a=6 m,b=3 m 时经沉淀后排出的水中杂质最少. 解法二:同解法一得 b≤ 30-a k ,代入 y=ab求解. a+2
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1.若 a>1,则 a+

1 的最小值是( a-1 2 a D. a-1

)

A.2

B.a

C.3

解:∵a>1,∴a+

1 1 =a-1+ +1≥2 a-1 a-1

1 (a-1)· +1=2+1= a-1

3,当 a=2 时等号成立.故选 C. 2.设 a,b∈R,a≠b,且 a+b=2,则下列各式正确的是( A.ab<1< a2+b2 2 B.ab<1≤ a2+b2 2 C.1<ab< )

a2+b2 a2+b2 D. ab ≤ 2 2 ≤1

?a+b?2 ? ?ab≤1 以及(a+b)2≤2(a2+b2)?2≤a2+b2(由 解:运用不等式 ab≤? ? 2 ? a2+b2 于 a≠b,所以不能取等号)得,ab<1< 2 ,故选 A. 5-4x+x2 3.函数 f(x)= 在(-∞,2)上的最小值是( 2-x A.0 B.1 C.2 D.3 1+(4-4x+x2) 1 = + (2 - 2-x 2-x )

解: 当 x < 2 时, 2 - x > 0 ,因此 f(x) = x)≥2·

1 1 · (2-x)=2, 当且仅当 =2-x 时上式取等号.而此方程有解 x 2-x 2-x

=1∈(-∞,2),因此 f(x)在(-∞,2)上的最小值为 2,故选 C. 4.(2014·福建)要制作一个容积为 4 m3,高为 1 m 的无盖长方体容器,已知 该容器的底面造价是每平方米 20 元,侧面造价是每平方米 10 元, 则该容器的最 低总造价是( A.80 元 C.160 元 ) B.120 元 D.240 元

4 解:假设底面的长、宽分别为 x m,x m,由条件知该容器的最低总造价为
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80 y=80+20x+ x ≥160,当且仅当底面边长 x=2 时,总造价最低,且为 160 元. 故选 C. 5.下列不等式中正确的是( b a A.若 a,b∈R,则a+b≥2 ) b a a·b=2

B.若 x,y 都是正数,则 lgx+lgy≥2 lgx·lgy 4 C.若 x<0,则 x+ x≥-2 4 x·x =-4

D.若 x≤0,则 2x+2-x≥2 2x·2-x=2 解:对于 A,a 与 b 可能异号,A 错;对于 B,lgx 与 lgy 可能是负数,B 错; 4 ? 4 ? 对于 C,应是 x+x=-?(-x)+-x?≤-2 ? ? 4 (-x)· =-4,C 错;对于 -x

D,若 x≤0,则 2x+2-x≥2 2x·2-x=2 成立(x=0 时取等号).故选 D. 6.(2014·重庆)若 log4(3a+4b)=log2 ab,则 a+b 的最小值是( A.6+2 3 C.6+4 3 B.7+2 3 D.7+4 3 )

解:因为 log4(3a+4b)=log2 ab,所以 log4(3a+4b)=log4(ab),即 3a+4b ?3a+4b>0, 4 3 =ab,且? 即 a>0,b>0,所以a+b=1(a>0,b>0),a+b=(a+ ?ab>0, 4b 3a ?4 3? b)?a+b?=7+ a + b ≥7+2 ? ? D. 7.若对任意 x>0, x ≤a 恒成立,则 a 的取值范围是. x +3x+1
2

4b 3a 4b 3a · = 7 + 4 3 ,当且仅当 a b a = b 时取等号.故选

1 解:因为 x>0,所以 x+ x≥2(当且仅当 x=1 时取等号), 所以有 x = x +3x+1
2

1 1 1 ≤ =5, 1 2+3 x+x +3
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x 1 1 的最大值为5,故填 a≥ . 5 x +3x+1
2

四川)设 m∈R,过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线 8.(2014· mx-y-m+3=0 交于点 P(x,y),则|PA|·|PB|的最大值是________. 解:易知定点 A(0,0),B(1,3). 且无论 m 取何值,两直线垂直. 所以无论 P 与 A,B 重合与否,均有 |PA|2+|PB|2=|AB|2=10(P 在以 AB 为直径的圆上). 1 所以|PA|· |PB|≤2(|PA|2+|PB|2)=5. 当且仅当|PA|=|PB|= 5时,等号成立.故填 5. 4 9.(1)已知 0<x<3,求 x(4-3x)的最大值; (2)点(x,y)在直线 x+2y=3 上移动,求 2x+4y 的最小值. 4 解:(1)已知 0<x<3,∴0<3x<4. 1 1?3x+4-3x?2 4 ? = , ∴x(4-3x)=3(3x)(4-3x)≤3? 3 2 ? ? 2 当且仅当 3x=4-3x,即 x=3时“=”成立. 2 4 ∴当 x=3时,x(4-3x)取最大值为3. (2)已知点(x,y)在直线 x+2y=3 上移动,所以 x+2y=3. ∴2x+4y≥2 2x·4y=2 2x+2y=2 23=4 2.
x y ?2 =4 , 3 3 当且仅当? 即 x=2,y=4时“=”成立. ?x+2y=3,

3 3 ∴当 x=2,y=4时,2x+4y 取最小值为 4 2.
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10.已知 a>0,b>0,且 2a+b=1,求 S=2 ab-4a2-b2 的最大值. 解:∵a>0,b>0,2a+b=1,∴4a2+b2=(2a+b)2-4ab=1-4ab.且 1= 2 1 2a+b≥2 2ab,即 ab≤ 4 ,ab≤8,∴S=2 ab-4a2-b2=2 ab-(1-4ab)= 2 ab+4ab-1≤ 2-1 1 1 . 当且仅当 a = , b = 2 4 2时,等号成立.

11.如图,动物园要围成相同的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其 他各面用钢筋网围成.

(1)现有可围 36 m 长网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每 间虎笼面积最大? (2)若使每间虎笼面积为 24 m2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使 围成四间虎笼的钢筋总长度最小? 解:(1)设每间虎笼长为 x m,宽为 y m,则由条件,知 4x+6y=36,即 2x +3y=18. 设每间虎笼的面积为 S,则 S=xy. 解法一:由于 2x+3y≥2 2x×3y=2 6xy, 27 27 ∴2 6xy≤18,得 xy≤ 2 ,即 S≤ 2 . 当且仅当 2x=3y 时等号成立. ?2x=3y, ?x=4.5, 由? 解得? ?2x+3y=18, ?y=3. 故每间虎笼长为 4.5 m,宽为 3 m 时,可使每间虎笼面积最大. 3 解法二:由 2x+3y=18,得 x=9-2y. ∵x>0,∴0<y<6. 3 ? 3 ? S=xy=?9-2y?y=2(6-y)y. ? ?
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3?(6-y)+y?2 27 ? = . ∵0<y<6,∴6-y>0.∴S≤2? 2 2 ? ? 当且仅当 6-y=y,即 y=3 时,等号成立,此时 x=4.5. 故每间虎笼长 4.5 m,宽 3 m 时,可使每间虎笼面积最大. (2)由条件知 S=xy=24. 设钢筋网总长为 l,则 l=4x+6y. 解法一:∵2x+3y≥2 2x·3y=2 6xy=24, ∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48,当且仅当 2x=3y 时,等号成立. ?2x=3y, ?x=6, 由? 解得? ?xy=24, ?y=4. 故每间虎笼长 6 m,宽 4 m 时,可使钢筋网总长度最小. 24 解法二:由 xy=24,得 x= y . 96 ?16 ? ∴l=4x+6y= y +6y=6? y +y?≥6×2 ? ? 16 y ×y=48,

16 当且仅当 y =y,即 y=4 时,等号成立,此时 x=6. 故每间虎笼长 6 m,宽 4 m 时,可使钢筋网总长度最小.

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