天津市南开区2015届高考第二次模拟考试数学理科试卷及答案

南开区 2014~2015 学年度第二学期高三年级总复习质量检测 (二)
数 学 试 卷(理工类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分,考试时间 120 分钟.第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 9 页. 祝各位考生考试顺利!

第 Ⅰ卷
注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上; 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号. 3.本卷共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 参考公式: ·如果事件 A,B 互斥,那么 ·如果事件 A,B 相互独立,那么 P(A∪B)=P(A)+P(B). P(AB)=P(A)?P(B). ·棱柱的体积公式 V 柱体=Sh, ·球的体积公式 V 球=

4 3 ?R , 3

其中 S 表示棱柱的底面积, 其中 R 表示球的半径. h 表示棱柱的高. 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)设 i 是虚数单位,则复数 (A)6–5i (C)–6+5i

5 ? 6i =( i

) .

(B)6+5i (D)–6–5i

(2)已知命题 p: x1,x2∈R,(f(x2)–f(x1))(x2–x1)≥0,则?p 是( ) . (A) x1,x2∈R,(f(x2)–f(x1))(x2–x1)≤0 (B) x1,x2∈R,(f(x2)–f(x1))(x2–x1)≤0 (C) x1,x2∈R,(f(x2)–f(x1))(x2–x1)<0 (D) x1,x2∈R,(f(x2)–f(x1))(x2–x1)<0 (3)某单位有 840 名职工,现采用系统抽样方法,抽取 42 人做问卷调查,将 840 人按 1,2,?,840 随机编号,则抽取的 42 人中,编号落入区间[481,720]的人数为( ) . (A)10 (B)11 (C)12 (D)13 (4)如图所示的程序框图表示求算式“2×4×8×16×32×64”的值, 则判断框内 可以填入( ) . (A)k<132? (B)k<70? (C)k<64? (D)k<63?

x2 y 2 (5)已知双曲线 C: 2 – 2 =1 的焦距为 10,点 P (2,1)在 C a b
上,则 C 的方程为( ) .

的渐近线

-1-

x2 y2 (A) – =1 20 5
(C)

x2 y 2 (B) – =1 5 20
(D)

x2 y 2 – =1 80 20

x2 y2 – =1 20 80
) .

(6)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 8b=5c,C=2B,则 cosC=(

7 25 7 (C) ? 25
(A) (7)由曲线 y=x2,y=

7 25 24 (D) 25
(B) ?

x 围成的封闭图形的面积为(
(B)

) .

1 6 2 (C) 3
(A)

1 3

(D)1

(8)在△ABC 中,若| AB + AC |=| AB – AC |,AB=2,AC=1,E,F 为 BC 边的三等分点,则 AE ? AF = ( ) .

8 9 25 (C) 9
(A)

10 9 26 (D) 9
(B)

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三 题 号 得 分 二 (15) (16) (17)


(18)

纸(理工类)
(19) (20) 总分

第 Ⅱ卷
注意事项: 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔答题; 2.本卷共 12 小题,共 110 分. 得 分 评卷人 二、 填空题: 本大题共 6 个小题, 每小题 5 分, 共 30 分. 请 将答案填在题中横线上。 .

(9)若集合 A={x|2x+1>0},B={x||x–1|≤2},则 A∩B=

1 (10)(x2– )6 的展开式中 x3 的系数为______. x (11)一个几何体的三视图如图所示(单位:m) ,则该几何体的体 3 m. (12)已知圆的极坐标方程为?=4cos?,圆心为 C,点 P 的极坐标
-2-

6
3 2 正视图

3
1





3 2 侧视图

为 (4 ,

3
俯视图

? ),则|CP|= . 3 (13)如图,C 是以 AB 为直径的半圆 O 上的一点,过 C 的直线交 直线 AB 于 E,交过 A 点的切线于 D,BC∥OD.若 AD=AB=2, 则 EB= .

? ? cos(x ? ),x ? [0,? ], ? ? 2 (14)已知函数 f(x)= ? ,若有三个不同的实数 a,b,c,使得 f(a)=f(b)=f(c), ?log2015 x ,x ? (?, ? ?) ? ? ?
则 a+b+c 的取值范围为 . 三、解答题:(本大题共 6 个小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 得 分 评卷人 (15) (本小题满分 13 分)

已知函数 f(x)=– 2 sin(2x+

? )+6sinxcosx–2cos2x+1,x∈R. 4

(Ⅰ)求 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求 f(x)在区间[0,

? ]上的最大值和最小值. 2

得 分

评卷人

(16) (本小题满分 13 分)

某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者先从装有 3 个红球与 4 个白球的袋中 任意摸出 3 个球,再从装有 1 个蓝球与 2 个白球的袋中任意摸出 1 个球,根据摸出 4 个球中红球与蓝球 的个数,设一、二、三等奖如下: 奖级 摸出红.蓝球个数 获奖金额
-3-

一等奖 3红1蓝 200 元 二等奖 3红0蓝 50 元 三等奖 2红1蓝 10 元 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级. (Ⅰ)求一次摸奖恰好摸到 1 个红球的概率; (Ⅱ)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 X 的分布列与期望 E(X ).

得 分

评卷人

(17) (本小题满分 13 分)

如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,PA=AD=4,AB=2.若 M,N 分别为 棱 PD,PC 上的点,O 为 AC 的中点,且 AC=2OM=2ON. (Ⅰ)求证:平面 ABM⊥平面 PCD; (Ⅱ)求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的正弦值; (Ⅲ)求点 N 到平面 ACM 的距离.

-4-

得 分

评卷人

(18) (本小题满分 13 分)

1 x2 y2 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a>b>0) ,其中 e= ,焦距为 2,过点 M(4,0)的直线 l 与椭圆 C 交于点 A, 2 a b 4 B,点 B 在 AM 之间.又点 A,B 的中点横坐标为 ,且 AM =? MB . 7 (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;
(Ⅱ)求实数?的值.

得 分

评卷人

(19) (本小题满分 14 分)

在等比数列{an}中,已知 a1=2,且 a2,a1+a3,a4 成等差数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式 an; (Ⅱ)设数列{an2–an}的前 n 项和为 Sn,记 bn=

3 2n ,求证:数列{bn}的前 n 项和 Tn< ; 2 Sn

-5-

南开区 2014~2015 学年度第二学期高三年级总复习质量检测(二)
数学试卷(理工类)参考答案
一、选择题: 题 号 答 案 二、填空题: (9)(– (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) D C C B A A B B

1 ,3]; 2

(10)–20; (13)

(11)18+9?; (14)(2?,2016?)

(12) 2 3 ;

2 ; 3

三、解答题: (其他正确解法请比照给分) (15)解: (Ⅰ)f(x)=– 2 sin2xcos

? ? – 2 cos2xsin +3sin2x–cos2x 4 4 ? =2sin2x–2cos2x=2 2 sin(2x– ). ????6 分 4 2? 所以,f(x)的最小正周期 T= =?. ????7 分 2 ? 3? 3? (Ⅱ)因为 f(x)在区间[0, ]上是增函数,在区间[ , ]上是减函数. 8 8 2 ? 3? 又 f(0)=–2,f( )=2 2 ,f( )=2, 8 2 ? 故函数 f(x)在区间[0, ]上的最大值为 2 2 ,最小值为=–2.???13 分 2

(16)解:设 Ai 表示摸到 i 个红球,Bj 表示摸到 j 个蓝球,则 Ai(i=0,1,2,3)与 Bj(j=0,1)相互独 立. (Ⅰ)恰好摸到 1 个红球的概率为 P(A1)=
1 2 C3 C4 18 = . 3 35 C7

????4 分

(Ⅱ)X 的所有可能值为:0,10,50,200,

C 33 1 1 P(X=200)=P(A3B1)=P(A3)P(B1)= 3 ? = , C 7 3 105
P(X=50)=P(A3B0)=P(A3)P(B0)=

C 33 2 2 ? = , C 73 3 105
2 1 C3 C4 1 12 4 ? = = , 3 3 105 35 C7

P(X=10)=P(A2B1)=P(A2)P(B1)= P(X=0)=1–

1 2 4 6 – – = . 105 105 35 7

????11 分

所以 X 的分布列为

?????????????? ??????????????

X P

0 6 7

10 4 35

50 2 105
-6-

200 1 105

?????????所以 X 的数学期望 E(X)=0× +10×

6 7

4 2 1 +50× +200× =4.????13 分 105 105 35

(17)解: (Ⅰ)依题设知,AC=2OM,则 AM⊥MC. 又因为 PA⊥平面 ABCD,则 PA⊥CD,又 CD⊥AD, 所以 CD⊥平面 PAD,则 CD⊥AM, 所以 AM⊥平面 PCD, 所以平面 ABM⊥平面 PCD. (Ⅱ)如图所示,建立空间直角坐标系, P z 则 A(0,0,0),P(0,0,4),B(2,0,0), C(2,4,0),D(0,4,0),M(0,2,2); 设平面 ACM 的一个法向量 n=(x,y,z), 由 n⊥ AC ,n⊥ AM 可得: ? 令 z=1,则 n=(2,–1,1).

????4 分

N

M

?2 x ? 4 y ? 0 , ?2 y ? 2 z ? 0
B

A

D

y
O C

6 ? 设所求角为?,则 sin ? ? . 3 CD n
(Ⅲ)由条件可得,AN⊥NC.

CD ? n

x

????9 分

设 PN =? PC =(2?,4?,–4?),则 AN = AP + PN =(2?,4?,4–4?), 所以 AN ? PC =(2?,4?,4–4?)?(2,4,–4)=36?–16=0 解得?=

4 8 16 20 ,所以 AN =( , , ), 9 9 9 9

设点 N 到平面 ACM 距离为 h,则 h=

| AN ? n | |n |
2

=

10 6 . 27

????13 分

(18)解:(Ⅰ)由条件可知,c=1,a=2,故 b

=a2–c2=3,
????4 分

椭圆的标准方程是

x2 y2 ? ?1. 4 3

(Ⅱ)由 AM

=? MB ,可知 A,B,M 三点共线,

设点 A(x1,y1),点 B(x2,y2). 若直线 AB⊥x 轴,则 x1=x2=4,不合题意. ????5 分 当 AB 所在直线 l 的斜率 k 存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x–4). 由?

? y ? k ( x ? 4) ?3x ? 4 y ? 12
2 2

消去 y 得,(3+4k2)x2–32k2x+64k2–12=0.① ????7 分

由①的判别式△=322k4–4(4k2+3)(64k2–12)=144(1–4k2)>0,解得 k2<

1 , 4

-7-

64k 2 ? 12 32k 2 x1+x2= 2 ,x1x2= . 4k ? 3 4k 2 ? 3


????9 分

x1 ? x 2 16k 2 4 1 2 = 2 = ,可得 k2= ,即有 k= . 2 8 4k ? 3 7 4
1 代入方程①,得 7x2–8x–8=0, 8

????10 分

将 k2=

则 x1=

4?6 2 4?6 2 ,x2= . 7 7

????11 分

又因为 AM

=(4–x1,–y1), MB =(x2–4,y2), AM =? MB ,
????13 分

所以?=

4 ? x1 ? 9 ? 4 2 = . 7 x2 ? 4

(19)解: (Ⅰ)设等比数列的公比为 q,由已知得:2(a1+a3)=a2+a4, 即 2(a1+a1q2)=a1q+a1q3,解得 q=2, 又∵a1=2, ∴an=a1qn–1=2n; ????5 分 2 2 2 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)得:Sn=(a1 +a2 +a3 +?+an )–(a1+a2+a3+?+an) =(4+42+43+?+4n)–(2+22+23+?+2n)

=

4(1 ? 4 n ) 2(1 ? 2 n ) 2 n – = (2 –1)(2n+1–1) ????9 分 3 1? 4 1? 2
????11 分

1 1 2n 3 ∴bn= = ( n – n ?1 ) Sn 2 2 ? 1 2 ? 1
∴Tn=

3 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1 – 2 + 2 – 3 + 3 – 4 +?+ n ?1 – n 2 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 1 1 + n – ) 2 ? 1 2 n ?1 ? 1 3 1 3 = (1– n ?1 )< . ????14 分 2 2 2 ?1 1 1 ?1? –a≤0 即 ≤a 对 x∈(1,+∞)恒成立,∴ a ? ? ? max . x x ?x?

(20)解: (Ⅰ)由 f?(x)=

1 <1,∴a≥1. x 由 g?(x)=ex–a 令 g?(x)=0 则 x=lna 当 x<lna 时,g?(x)<0,g(x)在(–∞,lna)单调递减, 当 x>lna 时,g?(x)>0,g(x)在(lna,+∞)单调递增, ∵g(x)在(1,+∞)上有最小值, ∴lna>1,∴a>e.
而由 x∈(1,+∞)知
-8-

综上所述:a 的取值范围为(e,+∞). (Ⅱ)∵g(x)在(–1,+∞)上是单调增函数, ∴g?(x)=ex–a≥0 即 a≤ex 对 x∈(–1,+∞)恒成立, ∴a≤(ex)min,而当 x∈(–1,+∞)时,ex>

????4 分

1 1 ,∴a≤ . ????6 分 e e ln x f(x)的零点个数?f(x)=lnx–ax=0 的根的个数? a= 的根的个数, x ln x 1 ? ln x 设 h(x)= ,则 h?(x)= , x x2 当 x>e 时,h?(x)<0,h(x)在(e,+∞)单调递减,且 h(x)>0, 当 x<e 时,h?(x)>0,h(x)在(0,e)单调递增, 且当 x 趋向于 0 时,h(x)趋向于–∞, 1 ∴h(x)≤h(e)= , e 1 ∴当 a≤0 或 a= 时,f(x)的零点个数为 1; e 1 当 0<a< 时,f(x)的零点个数为 2. ????9 分 e x 1? x (Ⅲ)证明:设?(x)= x ,则??(x)= x , e e 当 x>1 时,??(x)<0,?(x)在(1,+∞)单调递减,且?(x)>0, 当 x<1 时,??(x)>0,?(x)在(–∞,1)单调递增, 1 ∴?(x)≤?(1)= , e 1 1 由题意可知 < ,有?(x1)=?(x2),即 a>e 时,g(x)有两个零点 x1,x2. a e 设?(x)=?(2–x)=(2–x)ex–2,下证当 x>1 时,?(x)<?(x). x 设 F(x)=?(x)–?(x)= x –(2–x)ex–2(x>1) , e 1? x 1 ∵F?(x)= x +xex–2+(x–2)ex–2=(x–1)(2ex–2 – x )>0, e e ∴F(x)在(1,+∞)单调递增, ∴F(x)>F(1)=0,即?(x)<?(x). 不妨设 x1<1<x2,可知?(x2)<?(x2),则?(x2)=?(2–x2), 所以?(2–x2)<?(x2), 从而?(x1)>?(2–x2).因为 x2>1,所以 2–x2<1, 又∵函数?(x)在区间(–∞,1)单调递增, 所以 x1>2–x2,即 x1+x2>2. ????14 分

-9-


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