人教版高中数学必修5期末测试题及其详细答案 (1)

数学必修 5 试题(满分 100 分)

一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分)

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

1.由 a1 ? 1, d ? 3确定的等差数列?an? ,当 an ? 298 时,序号 n 等于( )

A.99

B.100

C.96

D.101

2. ?ABC中,若 a ? 1, c ? 2, B ? 60? ,则 ?ABC的面积为( )

A. 1

B. 3

C.1

2

2

D. 3

3.在数列{an}中, a1 =1, an?1 ? an ? 2 ,则 a51 的值为( )

A.99

B.49

C.102 D. 101

4.已知 x ? 0 ,函数 y ? 4 ? x 的最小值是( ) x

A.5

B.4

C.8

D.6

5.在等比数列中,

a1

?

1 2



q

?

1 2

, an

?

1 32

,则项数 n

为(



A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

6.不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解集为 R ,那么( )

A. a ? 0, ? ? 0 B. a ? 0, ? ? 0 C. a ? 0, ? ? 0 D. a ? 0, ? ? 0

?x ? y ?1

7.设

x,

y

满足约束条件

? ?

y

?

x

,则 z ? 3x ? y 的最大值为( )

?? y ? ?2

A. 5

B. 3

C. 7

D. -8

8.在 ?ABC 中, a ? 80, b ? 100, A ? 45? ,则此三角形解的情况是( )

A.一解

B.两解

C.一解或两解 D.无解

9.在△ABC 中,如果 sin A:sin B :sinC ? 2:3: 4 ,那么 cosC 等于( )

A. 2 3

B. - 2 3

C. - 1 3

D. - 1 4

10.一个等比数列{an}的前 n 项和为 48,前 2n 项和为 60,则前 3n 项和为( )

A、63

B、108

C、75

D、83

二、填空题(本题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分)

11.在 ?ABC 中, B ? 450, c ? 2 2,b ? 4 3 ,那么 A=_____________;
3

12.已知等差数列?an ?的前三项为 a ?1, a ? 1,2a ? 3,则此数列的通项公式为______
三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 50 分;解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15(8 分)

已知等比数列 ?an ?中, a1

? a3

? 10, a4

? a6

?

5
,求其第 4 项及前 5 项和.
4

16(8 分)(1) 求不等式的解集: ? x2 ? 4x ? 5 ? 0

(2)求函数的定义域: y ? x ?1 ? 5 x? 2

17 (8 分)在△ABC 中,BC=a,AC=b,a,b 是方程 x2 ? 2 3x ? 2 ? 0 的两个根,且 2cos(A? B) ?1 。
求:(1)角 C 的度数; (2) AB=?

18(8

分)若不等式

ax2

?

5x

?

2

?

0 的解集是

??x ?

1 2

?

x

?

2?? ?



(1) 求 a 的值;

(2) 求不等式 ax2 ? 5x ? a2 ?1 ? 0 的解集.

19(8 分)如图,货轮在海上以 35n mile/h 的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方
向线的水平角)为152? 的方向航行.为了确定船位,在 B 点处观测到灯塔 A 的方位角为122? .半 小时后,货轮到达 C 点处,观测到灯塔 A 的方位角为 32? .求此时货轮与灯塔之间的距离.

152o 122o
B



32 o

A

C

20( 10 分)某公司今年年初用 25 万元引进一种新的设备,投入设备后每年收益为 21 万元。

该公司第 n 年需要付出设备的维修和工人工资等费用 an 的信息如下图。

(1)求 an ; (2)引进这种设备后,第几年后该公司开始获利; (3)这种设备使用多少年,该公司的年平均获利最大?

费用(万元)
an

4 2

12 n



参考答案

一.选择题。

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案 B

C

D

B

C

A

C

B

D

A

二.填空题。

11. 15o 或 75o

12. an =2n-3 13.{x ? 1 ? x ? 2}
3 14. an =2n 三.解答题。 15.解:设公比为 q ,

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄1 分

由已知得

??a1 ? a1q 2 ? 10

? ??a1q

3

?

a1q 5

?

5 4

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 3 分



??a1 (1 ? q 2 )

? ??a1q

3

(1

?

q

? 10???①

2

)

?

5 ?? 4



┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 5 分

②÷①得 q3 ? 1 ,即q ? 1 ,

8

2

将 q ? 1 代入①得 2

a1 ? 8 ,

? a4

? a1q3

? 8?(1)3 2

?1



┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 7 分 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 8 分 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 10 分

s5

?

a1 (1 ? q5 ) 1? q

?

8?

???1

?

(

1 2

)

5

? ??

1? 1

?

31 2

2

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 12 分

16.(1){x x ? ?1或x ? 5}

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7 分

(2) {x x ? ?2或x ?1}

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄14 分

17. 解:(1) cosC ? cos?? ? ?A ? B?? ? ? cos?A ? B? ? ? 1 ?C=120°┄┄┄5 分
2

(2)由题设:

??a ?

?

b

?

2

3

??ab ? 2

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分

? AB2 ? AC2 ? BC2 ? 2AC ? BCcosC ? a2 ? b2 ? 2abcos120?

? ? ? a2 ? b2 ? ab ? ?a ? b?2 ? ab ?

2

2
3 ? 2 ? 10

┄┄13 分

? AB ? 10

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄14 分

18.(1)依题意,可知方程 ax2 ? 5x ? 2 ? 0 的两个实数根为 1 和 2,┄┄┄┄┄┄2 分 2

由韦达定理得: 1 +2= ? 5 2a

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分

解得: a =-2

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分

(2){x ? 3 ? x ? 1} 2

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分

19.在△ ABC 中,∠B=152o-122o=30o,∠C=180o-152o+32o=60o,

∠A=180o-30o-60o=90o,

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5 分

BC= 35 , 2

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7 分

∴AC= 35 sin30o= 35 .

2

4

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13 分

答:船与灯塔间的距离为 35 n mile. 4

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄14 分

20.解:(1)由题意知,每年的费用是以 2 为首项,2 为公差的等差数列,求得:

an ? a1 ? 2(n ?1) ? 2n

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分

(2)设纯收入与年数 n 的关系为 f(n),则:

f (n) ? 21n ? [2n ? n(n ? 1) ? 2] ? 25 ? 20n ? n2 ? 25 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分 2

由 f(n)>0 得 n2-20n+25<0 解得10 ? 5 3 ? n ? 10 ? 5 3

┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分

又因为 n? N ,所以 n=2,3,4,……18.即从第 2 年该公司开始获利 ┄┄┄┄┄┄┄8 分

(3)年平均收入为 f (n) =20- (n ? 25) ? 20 ? 2?5 ? 10

n

n

┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分

当且仅当 n=5 时,年平均收益最大.

所以这种设备使用 5 年,该公司的年平均获利最大。

┄┄┄┄┄┄┄┄14 分


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