【考前三个月】2015高考数学(江苏专用文科)高考必会题型:专题4 三角函数与平面向量 第18练

第 18 练

三角函数化简与求值策略

题型一 利用同角三角函数基本关系式化简与求值 例 1 已知 tan α=2,求: 4sin α-2cos α (1) 的值; 5sin α+3cos α (2)3sin2α+3sin αcos α-2cos2α 的值. 破题切入点 本题是关于正、余弦的齐次式,一般是同时除以余弦的相应次数,构造出关于

该角的正切关系式,然后将正切值代入求解. 解 (1)方法一 ∵tan α=2, ∴cos α≠0, 4sin α 2cos α - 4sin α-2cos α cos α cos α ∴ = 5sin α+3cos α 5sin α 3cos α + cos α cos α 4tan α-2 4×2-2 6 = = = . 5tan α+3 5×2+3 13 方法二 由 tan α=2,得 sin α=2cos α,代入得 4sin α-2cos α 4×2cos α-2cos α = 5sin α+3cos α 5×2cos α+3cos α 6cos α 6 = = . 13cos α 13 (2)3sin2α+3sin αcos α-2cos2α 3sin2α+3sin αcos α-2cos2α = sin2α+cos2α 3tan2α+3tan α-2 = tan2α+1 3×22+3×2-2 16 = = . 5 22+1
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题型二 利用诱导公式化简与求值 3π tan?π-α?cos?2π-α?sin?-α+ ? 2 例 2 (1)化简: ; cos?-α-π?sin?-π-α? (2)求值:sin 690° · sin 150° +cos 930° · cos(-570° )+tan 120° · tan 1 050° . 破题切入点 (1)利用诱导公式化成只含有角 α 的三角函数值,然后利用同角三角函数基本关 系式求解. (2)利用诱导公式将各值化成锐角的三角函数值代入计算. 解 (1)方法一 原式= π ?-tan α?· cos[π+?π-α?]· sin?π+ -α? 2 cos?π+α?· [-sin?π+α?] π ?-tan α?· [-cos?π-α?]· [-sin? -α?] 2 = ?-cos α?· sin α -tan α· cos α· ?-cos α? = -cos α· sin α -tan α· cos α = sin α sin α cos α =- · =-1. cos α sin α π -tan α· cos?-α?· sin?-α- ? 2 方法二 原式= -cos?π+α?· sin?π+α? π tan α· cos α· sin?α+ ? 2 = -cos α· sin α sin α · cos α cos α = -sin α =-1. (2) 原 式 = sin(720° - 30° )· sin(180° - 30° ) + cos(1 080° - 150° )· cos(720° - 150° ) + tan(180° - 60° )· tan(1 080° -30° ) =-sin 30° sin 30° +cos 150° cos 150° +tan 60° tan 30° 1 3 3 =- + +1= . 4 4 2 题型三 利用其他公式、代换等化简求值 例 3 (1)已知 α 是锐角,且 ?sin 2α+cos 2α-1??sin 2α-cos 2α+1? = 3,求角 α 的值; sin 4α (2)求值:tan 20° +tan 40° + 3tan 20° tan 40° . 破题切入点 (1)利用平方差公式将分子展开, 然后再利用二倍角公式将等号左边化成关于角 α
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的某个三角函数,进而求出. (2)逆用两角和的正切公式. ?sin 2α+cos 2α-1??sin 2α-cos 2α+1? 解 (1)∵ sin 4α sin22α-?cos 2α-1?2 = 2sin 2α· cos 2α sin22α-cos22α+2cos 2α-1 = 2sin 2α· cos 2α 2 -2cos 2α+2cos 2α = 2sin 2α· cos 2α 1-cos 2α = sin 2α 2sin2α = 2sin αcos α sin α = =tan α, cos α ∴由已知可得 tan α= 3. π 又∵α 是锐角,∴α= . 3 (2)tan 20° +tan 40° + 3tan 20° tan 40° =tan 60° (1-tan 20° tan 40° )+ 3tan 20° tan 40° =tan 60° - 3tan 20° tan 40° + 3tan 20° tan 40° = 3. 总结提高 (1)三角函数的化简是指综合利用诱导公式、同角基本关系式、两角和与差的三角

函数公式及二倍角公式,将较复杂的三角函数式进行化简,三角函数的求值问题要始终围绕 “角”做文章.特殊角的相互转换,角的分解,角的合并等都在求值的过程中起着重要作用. (2)在运用同角三角函数关系及诱导公式时,要注意象限角对三角函数符号的影响,尤其是利 用平方关系求三角函数值,在进行开方时要根据角的象限或范围判断符号. (3)三角化简与求值是三角函数的基础,常用的方法有: sin x ①弦切互化:主要利用公式 tan x= 进行弦切间的互化. cos x ②和积转换法:如利用(sin θ± cos θ)2=1± 2sin θcos θ 的关系进行变形、转化. π 2 ③巧用 1 或其他数值的变换:1=sin θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=tan 等. 4 注意求值与化简后的结果要尽可能有理化,整式化.

1 1.若 sin(π+α)=- ,则 cos α=________. 2 3 答案 ± 2
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1 1 解析 由 sin(π+α)=- ,得-sin α=- , 2 2 1 即 sin α= , 2 3 ∴cos α=± 1-sin2α=± . 2 2.设 tan α,tan β 是方程 x2-3x+2=0 的两根,则 tan(α+β)的值为________. 答案 -3 解析 tan α+tan β=3,tan α×tan β=2, tan α+tan β 所以 tan(α+β)= =-3. 1-tan α×tan β 3.sin(65° -x)cos(x-20° )+cos(65° -x)· cos(110° -x)的值为________. 2 答案 2 解析 sin(65° -x)cos(x-20° )+cos(65° -x)cos(110° -x) =sin(65° -x)cos(x-20° )+cos(65° -x)[-cos(70°+x)] =sin(65° -x)cos(x-20° )+cos(65° -x)sin(x-20° ) =sin(65° -x+x-20° ) 2 =sin 45° = . 2 sin 47° -sin 17° cos 30° 4. 的值是________. cos 17° 1 答案 2 sin?30° +17° ?-sin 17° cos 30° 解析 原式= cos 17° sin 30° cos 17° +cos 30° sin 17° -sin 17° cos 30° = cos 17° sin 30° cos 17° 1 = =sin 30° = . cos 17° 2 π ? 1 π π ? π β? 3 ? β? 5.若 0<α< ,- <β<0,cos? ?4+α?=3,cos?4-2?= 3 ,则 cos?α+2?=________. 2 2 5 3 答案 9 π ? 1 π 解析 ∵cos? ?4+α?=3,0<α<2, π ? 2 2 ∴sin? ?4+α?= 3 . π β? 3 π 又∵cos? ?4-2?= 3 ,-2<β<0, π β? 6 ∴sin? ?4-2?= 3 , β? ??π ? ?π β?? ∴cos? ?α+2?=cos??4+α?-?4-2?? π ? ? π β? ? π ? ? π β? =cos? ?4+α?cos?4-2?+sin?4+α?sin?4-2?
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1 3 2 2 6 5 3 = × + × = . 3 3 3 3 9 1+sin β π π 6.(2014· 课标全国Ⅰ改编)设 α∈(0, ),β∈(0, ),且 tan α= ,则 2α-β=________. 2 2 cos β π 答案 2 1+sin β sin α 1+sin β 解析 由 tan α= 得 = , cos β cos α cos β 即 sin αcos β=cos α+cos αsin β, π ∴sin(α-β)=cos α=sin( -α). 2 π π ∵α∈(0, ),β∈(0, ), 2 2 π π π π ∴α-β∈(- , ), -α∈(0, ), 2 2 2 2 π π ∴由 sin(α-β)=sin( -α),得 α-β= -α, 2 2 π ∴2α-β= . 2 sin 2α+cos2?π-α? 7.已知 tan α=2,则 的值为________. 1+cos 2α 5 答案 2 sin 2α+cos2?π-α? 2sin αcos α+cos2α 解析 = 2cos2α 1+cos 2α 2sin α+cos α 1 5 = =tan α+ = . 2cos α 2 2 cos 2α 1+tan α 8. · 的值为________. 1+sin 2α 1-tan α 答案 1 sin α 1+ cos α cos2α-sin2α 解析 原式= · sin α ?sin α+cos α?2 1- cos α cos α-sin α sin α+cos α = · =1. sin α+cos α cos α-sin α 7 9.已知 sin θ+cos θ= ,θ∈(0,π),则 tan θ=________. 13 12 答案 - 5 7 解析 方法一 因为 sin θ+cos θ= ,θ∈(0,π), 13 49 所以(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ= , 169 60 所以 sin θcos θ=- . 169 7 60 由根与系数的关系,知 sin θ,cos θ 是方程 x2- x- =0 的两根, 13 169 12 5 所以 x1= ,x2=- . 13 13 60 又 sin θcos θ=- <0, 169
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所以 sin θ>0,cos θ<0. 12 5 所以 sin θ= ,cos θ=- . 13 13 sin θ 12 所以 tan θ= =- . cos θ 5 60 方法二 同法一,得 sin θcos θ=- , 169 sin θcos θ 60 所以 2 . 2 =- 169 sin θ+cos θ tan θ 60 齐次化切,得 2 =- , 169 tan θ+1 即 60tan2θ+169tan θ+60=0, 12 5 解得 tan θ=- 或 tan θ=- . 5 12 7 又 θ∈(0,π),sin θ+cos θ= >0, 13 60 sin θcos θ=- <0. 169 π 3π 12 所以 θ∈( , ),所以 tan θ=- . 2 4 5 4 π 10.已知 sin θ+cos θ= (0<θ< ),则 sin θ-cos θ 的值为________. 3 4 2 答案 - 3 4 解析 ∵sin θ+cos θ= , 3 16 ∴(sin θ+cos θ)2=1+2cos θsin θ= , 9 7 ∴2cos θcos θ= , 9 7 2 ∴(sin θ-cos θ)2=1- = , 9 9 π 2 又 θ∈(0, ),∴sin θ<cos θ,∴sin θ-cos θ=- . 4 3 1 13 π 11.已知 cos α= ,cos(α-β)= ,且 0<β<α< . 7 14 2 (1)求 tan 2α 的值; (2)求 β. 1 π 解 (1)由 cos α= ,0<α< ,得 7 2 1 4 3 sin α= 1-cos2α= 1-? ?2= . 7 7 sin α 4 3 7 ∴tan α= = × =4 3, cos α 7 1 2×4 3 2tan α 8 3 于是 tan 2α= = =- . 47 1-tan2α 1-?4 3?2 π π (2)由 0<β<α< ,得 0<α-β< , 2 2 13 又∵cos(α-β)= , 14
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∴sin(α-β)= 1-cos2?α-β?= 由 β=α-(α-β), 得 cos β=cos[α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) 1 13 4 3 3 3 1 = × + × = , 7 14 7 14 2 π ∴β= . 3

13 3 3 1-? ?2= . 14 14

3π 12.已知向量 a=(3sin α,cos α),b=(2sin α,5sin α-4cos α),α∈( ,2π),且 a⊥b. 2 (1)求 tan α 的值; α π (2)求 cos( + )的值. 2 3 解 (1)∵a⊥b,∴a· b=0. 而 a=(3sin α,cos α),b=(2sin α,5sin α-4cos α), ∴a· b=6sin2α+5sin αcos α-4cos2α=0, ∵cos α≠0,∴6tan2α+5tan α-4=0. 4 1 解得 tan α=- 或 tan α= . 3 2 3π ∵α∈( ,2π),∴tan α<0, 2 4 ∴tan α=- . 3 3π α 3π (2)∵α∈( ,2π),∴ ∈( ,π). 2 2 4 4 由 tan α=- , 3 α 1 α 求得 tan =- 或 tan =2(舍去). 2 2 2 α 5 α 2 5 ∴sin = ,cos =- , 2 5 2 5 α π α π α π ∴cos( + )=cos cos -sin sin 2 3 2 3 2 3 2 5 1 5 3 =- × - × 5 2 5 2 2 5+ 15 =- . 10

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