7ws694net:2.4.1平面向量数量积公开课高二_图文

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第五章

平面向量

§5.3 平面向量的数量积

考纲要求

1. 理解数量积的含义及其物理意义;
2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系;

3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数
量积的运算;

4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量
积判断两个平面向量的垂直关系

一、必备知识
1.向量的夹角

? b
?

B

00 ? ? ? 1800
A

? a

O

? ? ???? ? ??? ? ? 两个非零向量 a 和 b ,作 OA ? a,OB ? b , ? ? ? ? 则 ?AOB ? ? 叫做向量 a 和 b 的夹角. 记作 ? a, b ? .
注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的.

一、必备知识
2、数量积的定义

? ? ? ? 已知两个非零向量 a 与 ,我们把数量 a b cos ? b ? ? 叫做 a与 b 的数量积(或内积).
? ? ? ? ? ? 记作 a ? b 即a ? b ? a b cos ?, ? ? 其中θ 是 a与b 的夹角.

规定:零向量与任一向量的数量积为0.

注意: 记法“a·b”中间的“ · ”不可以省略,也不可以用 “× ”代替。

3.投影的概念 ? ? ? ? b cos ? ( a cos ? ) 叫做向量 b在 a方向上(向量 ? ? 在 b方向上)的投影. OB1 ? | b | cosθ a

? b
O θ

B

B b

B

b

?
B1

? a

A

B1

O

a A

? O( B1 ) a

A

θ为锐角或00时,

θ为钝角或1800时, | b | cosθ<0

| b | cosθ>0

θ为直角时, | b | cosθ=0

4.数量积的几何意义

? ? ? 向量 a与 b 的数量积等于 a 的长度
? 向上投影 b cos ? 的积.
B

? a

? ? 与b 在 a 方

b

?
还有其它说法吗?

B1

O

a A

? ? ? 向量 a与 b 的数量积等于 b 的长度 ? 向上投影 a cos ? 的积.

? ? ? b 与 a在 b 方

BC ? 8,CA ? 7, ?C ? 60?, 1.在△ABC中,
A

??? ? ??? ? 求 BC ? CA.

7
B
60?

120?

8

C

??? ? ??? ? BC ? CA ? 8 ? 7 ? cos120? ? ?28.

例6.如图,在平行四边形ABCD中,AB ? BC , AD ? DC , ??? ? ???? ???? ??? ? 若 AB ? a, AD ? b, 则 AC ? BD ? _______ B

A.a ? b  B.b ? a  C.a ? b  D.ab
2 2 2 2 2 2

D

C

A

B

? ? ? ? 5.运算律: 1. a ?b ? b? a

? ? ? ? ? ? 2. (? a) ? b ? ?(a ? b) ? a ? (?b)

? ? ? ? ? ? ? 3. (a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c

? ? 2 ?2 ? ? ?2 (4) a ? b =a ? 2a ? b+b ; ? ? ? ? ?2 ?2 (5) a+b ? a-b =a -b

? ?

? ??

?

? ? ? ? ? ? 注意:一般地:() 1 (a ? b) ? c ? a ? (b ? c); ? ? ? ? ? ? (2) a ?c ? b?c ? a ? b

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 ? ? (1)a ? b ? x1x2 ? y1 y2
? ?2 ? 2 2 (1)设 a =(x,y),则 | a | ? x ? y 或| a |=
x2 ? y2 .

??? ? B? x2 , y2 ? 则 | AB |? ? x2 ? x1 ?2 ? ? y2 ? y1 ?2 若设 A? x1 , y1 ?、
cos? ? x1 x2 ? y1 y2 2 2 x12 ? y12 ? x2 ? y2

(2)写出向量夹角公式的坐标式,向量平行和垂直的坐 标表示式.

? ? a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 ? ? a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? 0

例2. 判断下列说法是否正确

1)若a ? 0, 则对任一向量 b, 有a ? b ? 0 3)若a ? 0, a ? b ? 0, 则b ? 0 4)若a ? b ? 0, 则a, b至少有一个为零向量

(√)

2)若a ? 0, 则对任一非零向量 b, 有a ? b ? 0 (×)
(× ) (× ) (√) (√)

5)若a ? b ? a b , 则 a ∥b
6 )若a ? b ? ? a b , 则 a ∥b

5.向量数量积的运算律:

? ? ? a、b 、c

是任意三个向量,

??R

? ? ? ? () 1 a ?b ? b? a
? ? ? ?? ? ? ? (2) (? a) ? b ? ? (a ? b) ? a ? (?b);
? ? ? ? ? ? ? (3)(a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c.

思考4:下列两个等式成立吗?

? ? ? ? ? ? () 1 (a ? b) ? c ? a ? (b ? c); ? ? ? ? ? ? (2) a ?c ? b?c ? a ? b

? ? ? ? ? ? ( 1) a ? b ? R, b ? c ? R, c与a的方向不定,故不成立;
? a ? c
也不成立

? ? (2)如c ? 0 时不成立.

? b

?? 例3.对任意向量a, b,是否有以下结论: ? ? 2 ?2 ? ? ?2 (1) a+b =a +2a ? b+b ; ? ? ? ? ?2 ?2 (2) a+b ? a-b =a -b 。

? ?

? ??

?

解:有; ? ? 2 ? ? ? ? (1) a+b = a+b ? a+b ? ? ? ? ? ? ? ? =a ? a+a ? b+b ? a+b ? b ?2 ? ? ?2 =a +2a ? b+b ; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2) a+b ? a ? b =a ? a ? a ? b+b ? a ? b ? b ?2 ?2 =a ? b 。

?

? ?

??

?

? ??

?

? ? ? ? 例4.已知 | a |? 6,| b |? 4, a与b的夹角为60°, ? ? ? ? 求(a ? 2b) ? (a - 3b).

? ? ? ? 解:(a ? 2b) ( ? a ? 3b) ? ? ? ? ? ? ? a ? a ? a ? b ? 6b ? b

? 2 ? ? ?2 ?| a | ? | a || b | cos60° ? 6 | b |
? 36 ? 12 ? 96 ? ?72.

?2 ? ? ?2 ?| a | ?a ? b ? 6 | b |

? ? ? ? 例5.已知 a ? 3, b ? 4,且a与b不共线,k 为何值时, ? ? ? ? 向量a ? kb与a ? kb互相垂直?
? ? ? ? 解: ? (a ? kb)( ? a ? kb) , ? ? ? ? ? (a ? kb) ? (a ? kb) ? 0.

? 2 2 ?2 ?a ? k b ? 0. ?2 ?2 2 又? a ? 3 ? 9, b ? 42 ? 16,

? 9 ? 16k 2 ? 0.
3 ?k ? ? . 4 ? ? ? ? 3 即k ? ? 时, a ? kb与a ? kb互相垂直. 4

? ? ? ? ? 1. 已知 | a |? 3,| b |? 4, 且a与b的夹角? ? 150 , ? ? 求| a ?b |.
? ? ? ? 解:a ? b ?| a || b | cos ? ? 3 ? 4 ? cos150? ? ?6 3, ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ?2 (a ? b) ? a?a ? 2a ? b ? b? b ? a ? 2a ? b ? b ? 32 ? 2(?6 3) ? 42 ? 25 ? 12 3, ? ? ? ? 2 | a ? b |? (a ? b) ? 25 ? 12 3.

BC ? 8,CA ? 7, ?C ? 60?, 2.在△ABC中,
A

??? ? ??? ? 求 BC ? CA.

7
B
60?

120?

8

C

??? ? ??? ? BC ? CA ? 8 ? 7 ? cos120? ? ?28.

1.向量的数量积的定义,几何意义

? ? ? ? ? ? a ? b ? a b cos a, b
2.向量的投影
3.向量数量积的性质 4.向量数量积的运算律

? ? ?2 ? ? ? 特别地,a ? a ?| a | 或 | a |? a ? a .

? ? ? ? () 1 a ? b ? b ? a; ? ? ? ?? ? ? ? (2) (? a) ? b ? ? (a ? b) ? a ? (?b);
? ? ? ? ? ? ? (3)(a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c. ? ? ? ??? ? ? c ? (a ? b) ? c ?a ? c ? b

作业:
1.作业与测评:能力提升

2.习题集:2.4.1平面向量数量积及其运算律(2)

向量数量积的运算律

? ? ? ? () 1 a ? b ? b ? a;
? ? ? ?? ? ? ? (2) (? a) ? b ? ? (a ? b) ? a ? (?b); ? ? ? ? ? ? ? (3)(a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c.
? ? ? ? ? ? 注意:(1) (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ); (2)不满足消去律.

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 ? ? ? ? ? ? ? ? 例5.已知a ? (4,3), b ? (?1, 2), m ? a ? ?b , n ? 2a ? b
按照下列条件求?的值或范围 : ? ? ? ? ? ? ? ? (1)m ? n;(2)m // n;(3)m与n的夹角是钝角;(4) | m |?| n | .

??? ? ??? ? ??? ? 例6.平面内有向量OA ? (1, 7), OB ? (5,1), OP ? (2,1), 点Q为直线OP上的一个动点. ??? ? ??? ? ???? (1)当QA ? QB取最小值时, 求OQ的坐标; (2)当点满足(1)的条件和结论时, 求 cos ?AQB的值.

???? ??? ? ???? ??? ? 例6.解 : (1)设OQ ? ( x, y ),?点Q在直线OP上,? OQ // OP. ??? ? ???? OP ? (2,1),? x ? 2 y ? 0,? x ? 2 y, OQ ? (2 y, y ). ??? ? ??? ? ???? QA ? OA ? OQ ? (1 ? 2 y, 7 ? y ), ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? QB ? OB ? OQ ? (5 ? 2 y,1 ? y ),? QA ? QB ? 5 y 2 ? 20 y ? 12 ? 5( y ? 2) 2 ? 8. ??? ? ??? ? ???? 故当y ? 2时, QA ? QB有最小值 ? 8, 此时OQ ? (4, 2). ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (2)由(1)知QA ? (?3,5), QB ? (1, ?1), QA ? QB ? ?8, ??? ? ??? ? | QA |? 34, | QB |? 2, ??? ? ??? ? QA ? QB 4 17 ? ??? ? ?? ? cos ?AQB ? ??? . 17 | QA || QB |

思考1:向量的数量积是一个数量,那么它什么时候为正,

什么时候为负,什么时候为零?
? ? 当 0 ? a , b ? 90? 时,它为正值;
?

? ? ? 当 a , b ? 90 时,它为0;

? ? 当 90 ? a , b ? 180? 时,它为负值.
?

?? ? ? ? 当a、 b 中有0 时, a? b=0

? ? 设 a、b 是非零向量, ? ? ? ? (1)a ? b ?| a || b | cos? ? ? ? ? (2)a ? b ? a ? b ? 0. ? ? ? ? ? ? (3)当a与b同向时, a ? b ?| a || b |;
? ? ? ? ? ? 当a与b反向时, a ? b ? ? | a || b |; ? ? ? 2 ? ? ? 特别地,a ? a ?| a | 或 | a |? a ? a . ? ? ? ? (4) | a ? b |?| a || b | .

复习回 顾

? ? a ?b (5) cos ? ? ? ? | a || b |

4.向量数量积的性质

? ? ? ? (1) a ? b ? a ? b ? 0. ? ? ? ? ? ? (2)当a与b同向时, a ? b ?| a || b |; ? ? ? ? ? ? 当a与b反向时, a ? b ? ? | a || b |; ? ? ? 2 ? ? ? 特别地,a ? a ?| a | 或 | a |? a ? a .
? ? ? ? (3) | a ? b |?| a || b | .

? ? 设 a、b 是非零向量,

? ? a ?b (4) cos? ? ? ? | a || b |


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