利用导数求参数的取值范围

课题 授课人 内容分析

利用导数求参数取值范围（3）

授课时间 授课地点

导数是研究函数图像和性质的基本工具。利用导数求参数的取值范围问题，是高考 考查的重点和热点，导数是学习高等数学的基础，对中学生来说运算量大，思维要 求高，呈现的题型既有灵活多变的客观性试题，又有具有一定能力要求的主观性试 题，这要求学生解题时要掌握基本题型的解法，树立利用导数处理问题的意识． 1、初步理解利用导数解决不等式恒成立问题、零点问题的基本方法并试着应用． 2、通过对不等式恒成立问题、零点问题的具体解决，感受导数的工具性作用，巩 固求函数单调区间、极值、最值的方法． 3、通过学习培养善于思考，善于总结的思维习惯，进一步体会数形结合、分类讨 论、化归转化的数学思想在解题时的应用． 利用导数解决求参数取值范围问题 数形结合、转化化归的数学思想方法． 多媒体设备 课前热身： 例题： 巩固练习：

教学目标

重点 难点 教学用具

板书设计

教学过程 教师活动
一、复习回顾 1、利用导数求函数单调区间的方法步骤： 回忆 2、利用导数求函数极值的方法步骤： 口述 通过复习回顾 基础知识， 让学 生明确本节学 习的内容并做 好相关准备

学生活动

设计意图

3、利用导数求函数最值的方法步骤：

二、课前热身 1、 已知函数 f

?x ? ?

x 3 ? ax 2 ? 3x ? 4 在 R 上单调递增, 则

实数 a 的取值范围 2、已知函数 f ( x) ? ( x ? ax ? a)e ．若 f ( x ) 在 x ? 0 时取得
2 ?x

学 生独立 完 成 ，教师 巡 视 学 生口述 答

初步体会求参 数取值范围的 方法： 等价的转 化为含参不等 式

极小值，则实数 a 的取值范围 小结：（学生完成）

案 反 思解题 方 法

三、典例分析 例 1 、 已 知 函 数 f ( x) ?

2 ? a ln x ? 2 (a ? 0) . 若 对 于 x

?x ? (0, ??) 都有 f ( x) ? 2(a ? 1) 成立，试求实数 a 的取 题、思考
值范围； 解: f ?( x) ? ?

学 生独立 审 求参数取值范 围经常会出现 在恒成立问题 和零点问题中 , 而恒成立问题 和零点问题， 集 函数方程不等 式思想、 数形结 合思想于一身， 考查了求函数 值域、 解不等式 等知识， 综合性 很强.

2 a ax ? 2 ? ? ， 师 生共同 分 x2 x x2 析 ，找到 求 2 2 由 f ?( x) ? 0 解得 x ? ；由 f ?( x) ? 0 解得 0 ? x ? . 解策略 a a 2 2 所以 f ( x ) 在区间 ( , ? ?) 上单调递增， 在区间 (0, ) 上 a a
所以当 x ?

单调递减.

2 2 时，函数 f ( x ) 取得最小值， ymin ? f ( ) . a a

学 生试着 完 成 学 生遇到 困 难 ,老师带着 解决 做 的过程 体 会 利用导 数 求 最值问 题 的 解决方 法 和步骤. 提 升训练 ， 提 高对恒 成 立 问题的 理 解和认识,

因为对于 ?x ? (0, ??) 都有 f ( x) ? 2(a ? 1) 成立，

2 a 2 2 则 ? a ln ? 2 ? 2(a ? 1) . 2 a a 2 2 由 a ln ? a 解得 0 ? a ? . a e 2 所以 a 的取值范围是 (0, ) . e
提升训练： 已知函数 f ? x ? ? ln x ?

所以只需 f ( ) ? 2( a ? 1) 即可.

例 1 主要复习巩 固恒成立问题 的 求 解 思 路 —-- 转 化 为 求 最值问题， 先分离参变量， 再转化为最值 问题

1 a f ( x ) ? 若对于 都有 ? x ? [1, ?? ) x， x

成立，求实数 a 的取值范围？

解题回顾与方法梳理:

学 生反思 问 1、 解决不等式恒成立问题的方法通常转化为求函数最值问题． 题 ，梳理 思 2、转化的方法有直接转化和间接转化。对于直接转化，即转化 路 ，形成 方 为含所求参数的函数的最值问题 （此时要注意是否需要对参数进 法 行分类讨论） ；间接转化时需先分离参数后再转化，转化为求具 体函数的最值问题（此时要注意转化的等价性） ，若两者都可进 行，则后者相对简单．

展示学生在解 题过程中的得 与失， 培养良好 的解题习惯

例 2、已知函数 f ( x ) ?

2 ? ln x ? x ? 2 ? b ，函数 f ( x ) 在区间 x

[e?1 , e] 上有两个零点，求实数 b 的取值范围.
x2 ? x ? 2 解: f '( x ) ? . x2
由 f '( x ) ? 0 解得 x ? 1 ；由 f '( x) ? 0 解得 0 ? x ? 1 . 所以函数 f ( x ) 在区间 (0, 1) 为减函数，在区间 (1, ? ?) 为 增函数. 又 因 为 函 数 f ( x ) 在 区 间 [e?1 , e] 上 有 两 个 零 点 ， 所 以 学生解题

? f ( e ?1 ) ≥ 0, 2 ? ? f ( e ) ≥ 0, 解得 1 ? b ≤ ? e ? 1 . e ? f (1) ? 0. ? 2 ? e ? 1] . 所以 b 的取值范围是 (1, e
变式训练：若将题目改为有且只有一个零点呢？

例 2 属于有关零 点问题， 利用导 数判断函数的 单调性， 进一步 画出原函数的 草图， 数形结合 求闭区间上最 值， （或结合 图像特征分析 零点的位置） 转 化为不等式或 不等式组， 通过 解不等式组求 出参数取值范 围.

变式训练，

变式训练， 巩固 对函数零点问 题的理解和认 识 通过梳理解题 方法， 反思存在 问题，增强理 解，提高认识 揭示本质： 通过 导函数来研究 函数的单调性 和极（最）值， 画出函数图像 的大致走势， 数 形结合分析问 题

解题回顾与方法梳理: 1、 零点的概念 2、 求零点的方法 3、 利用导数解决零点问题的策略：一般先利用导数判断函数的 单调性，再结合具体的零点个数进一步画出原函数的草图， 再数形结合求闭区间上最值， （或结合图像特征分析零点的 位置）转化为关于参数的不等式组，通过解不等式组求出参 数的取值范围. 巩固练习

学 生反思 问 题 ，梳理 思 路 ，形成 方 法

已 知 函 数 f ?x ? ?

ln x 1 . 若 y ? xf ? x ? + 的 图 像 总 在 直 线 x x

y ? a 的上方，求实数 a 的取值范围。

学 生独立 思 考 ，老师 适 时 指导学 生 寻 求解题 方 法 学生

夯实基础 巩固提升

通过本节课的学习，我们有哪些收获? 基础知识方法：1、利用导数求函数的单调区间、极值和最值．

课堂小结
2、恒成立问题和零点问题的求解策略． 数学思想方法：转化与化归、数形结合 布置作业

课后反思

课题：利用导数求参数取值范围（3） 一、 复习回顾

1. 利用导数求函数单调区间的方法步骤： . 2、 利用导数求函数极值的方法步骤： . 3、 利用导数求函数最值的方法步骤： . 二、课前热身： 1、已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? 3x ? 4 在 R 上单调递增, 则实数 a 的取值范围
3 2

2、已知函数 f ( x) ? ( x2 ? ax ? a)e? x ．若 f ( x ) 在 x ? 0 时取得极小值，则实数 a 的取值范 围

小结： 三、例题 例 1、已知函数 f ( x ) ?

2 ? a ln x ? 2 (a ? 0) .若对于 ?x ? (0, ??) 都有 f ( x) ? 2(a ? 1) x

成立，试求 a 的取值范围；

提升训练：已知函数 f ? x ? ? ln x ? 的取值范围？

1 a 若对于 ?x ? [1, ??) 都有 f ( x ) ? 成立，求实数 a ， x x

解题回顾和方法梳理： 例 2、已知函数 f ( x ) ?

2 ? ln x ? x ? 2 ? b ，函数 f ( x ) 在区间 [e?1 , e] 上有两个零点，求 x

实数 b 的取值范围.

变式：若将题目改为有且只有一个零点呢？

解题回顾和方法梳理： 四、巩固练习 已知函数 f ? x ? ? ln x ?

1 的图像总在直线 y ? a 的上方，求实数 a 的取值范围. x

课堂小结： 基础知识方法： 数学思想方法：