汕头市澄海凤翔中学2015届高考模拟考试(6)(文数)

汕头市澄海凤翔中学 2015 届高考模拟考试(6) 数学(文科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. ) 1、设全集 U ? ?1, 2,3, 4,5,6? ,集合 ? ? ?1, 2,3,5? , ? ? ?2, 4,6? ,则 ?U ? A. ?2? B. ?4, 6? C. ?1,3,5? ) C. 1 D. i )

?

?

?? (



D. ?2,4,6?

2、 i 为虚数单位,则复数 A. ? 1

1? i 的虚部是( i
B. ?i

3、在 ??? C 中,内角 ? 和 ? 所对的边分别为 a 和 b ,则 a ? b 是 sin ? ? sin ? 的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) D. ? 5 或 5 )

4、在各项均为正数的等比数列 ?an ? 中,已知 a1 ? a5 ? 25 ,则 a3 ? ( A. 5 B. 25 C. ?25

5、下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( A. y ? sin x B. y ?

1 2x

C. y ? x3

D. y ? lg 1 ? x 2

?x ? 0 ? 6、设 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值是( ?x ? y ? 1 ?
A. 0 7、若 f ? x ? ? x ? A. B. 2 C. 4



D. 5 ) D. 4

1 ( x ? 2 )在 x ? n 处取到最小值,则 n 的值是( x?2
B. 3 C.

5 2

7 2

8、已知 l 、 m 是不同的两条直线, ? 、 ? 是不重合的两个平面,则下列命题中为真命题的 是( ) B.若 l //? , ? ? ? ,则 l //? D.若 l ? ? ,

A.若 l ? ? , ? ? ? ,则 l //? C.若 l ? m , ? //? , m ? ? ,则 l ? ?

? //? , m ? ? ,则 l ? m
9、若执行如图所示的程序框图,则输出的 S 是( A. 0 B. )

1 2

C. 1

D. ? 1

1

10 、 设 函 数 y ? f ? x ? 在 R 上 有 定 义 , 对 于 任 一 给 定 的 正 数 p , 定 义 函 数

? ? f ? x?, f ? x? ? p , 则 称 函 数 f p ? x? 为 f ? x ? 的 “ p 界 函 数 ” . 若 给 定 函 数 f p ? x? ? ? p , f x ? p ? ? ? ?

f ? x ? ? x2 ? 2x ? 2 , p ? 1 ,则下列结论成立的是(
A. f p ? ? f ? 0 ?? ?? f ? ? f p ? 0?? ? C. f p ? ? f ? 2 ?? ? ? fp ? ? f p ? 2 ?? ?



B. f p ? ? f ?1? ? ?? f ? ? f p ?1? ? ? D. f ? ? f ? ?2 ? ? ? ? fp ? ? f p ? ?2 ? ? ?

二、填空题(本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. ) (一)必做题(11~13 题) 11、一个几何体的三视图如图所示,正视图为正方形,俯视图为半圆,侧视 图为矩形,则其体积是 . 12、在区间 ? ?2, 2? 上随机取一个数 x ,使得函数 f ? x ? ? 1 ? x ? 意义的概率是 .

x?2有

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2 (a ? b ? 0) 的左顶点, 点 ? 、C 在椭圆上, 若四边形 ??? C 为
13、 如图, 在平面直角坐标系 x?y 中, 点 ? 为椭圆 ? : 平行四边形, 且 ???? ? 45 , 则椭圆 ? 的离心率等于 (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14 、 (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线 ? ? sin? 与 ? ? cos ? ( ? ? 0 , .

0 ?? ?

?
2

)的交点的极坐标是



15、 (几何证明选讲选做题) 如图, 圆 ? 的半径为 5 cm , 点 ? 是弦 ?? 的中点, ?? ? 3 cm ,弦 CD 过点 ? ,且

C? 1 ? ,则 CD 的长为 CD 3

cm .
三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤. ) 16、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? 1 ? sin x cos x .

?1? 求函数 f ? x ? 的最小正周期和最小值;

? 2 ? 若 tan x ? 4 , x ? ? ? 0,
3

??

?

?? x ? ? ,求 f ? ? ? 的值. 2? ? 4 2?

17、 (本小题满分 12 分)前不久,省社科院发布了 2013 年度“安徽城市居民幸福排行榜”, 芜湖成为本年度安徽最“幸福城”.随后,师大附中学生会组织部分同学,用“ 10 分制”随机 调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取 16 名,如图所示的茎叶图记录了 他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶) :

?1? 指出这组数据的众数和中位数;

2

? 2 ? 若幸福度不低于 9.5 分,则称该人的幸福度为“极幸福”,若幸福度低于 7.5 分,则称该
人的幸福度为“不幸福”.现从这 16 人中感到“极幸福”和“不幸福”的调查人里随机选取 2 人, 求恰有 1 人是“极幸福”的概率. 18、 (本小题满分 14 分) 如图, 菱形 ?? CD 的边长为 4 ,

???D ? 60 , ?C ?D ? ? .将菱形 ?? CD 沿对 角线 ? C 折起,得到三棱锥 ? ? ?CD ,点 ? 是棱 ? C
的中点,

D? ? 2 2 . ?1? 求证: ?? // 平面 ?? D ;

? 2 ? 求证:平面 D?? ? 平面 ?? C ; ? 3? 求三棱锥 ? ? D?? 的体积.
19、 (本小题满分 14 分)数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 an 是 Sn 和 1 的等差中项,等差数列

?bn ? 满足 b1 ? a1 , b4 ? S3 . ?1? 求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; ? 2 ? 设 cn ?

1 1 1 ,数列 ?cn ? 的前 n 项和为 ?n ,证明: ? ? n ? . 3 2 bnbn ?1

20、 (本小题满分 14 分)已知椭圆 C : 点 ? 0,1? .圆 C1 : x ? y ? a ? b .
2 2 2 2

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率为 ,且经过 2 a b 2

?1? 求椭圆 C 的标准方程; (k ? 0) 与椭圆 C 有且只有一个公共点 ? , 且 l 与圆 C1 相交于 ? , ? 2 ? 若直线 l : y ? kx ? m
? 两点,问 ?? ? ?? ? 0 是否成立?请说明理由.
1 2 x ? x ? a ln x , a ? R . 2

21、 (本小题满分14分)已知函数 f ? x ? ?

?1? 若 f ? x ? 在区间 ? ?

? 2 ? 试讨论 f ? x ? 的单调区间.

1 ? , ?? ? 上单调递增,求 a 的取值范围; ?3 ?

3

参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. ) 题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 A 5 C 6 D 7 B 8 D 9 D 10 C

二、填空题(本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. ) (一)必做题(11~13 题) 11、 ? 12、

3 4

13、

6 3

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14、 ?

? 2 ?? ? 2 ,4? ? ? ?

15、 6 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16、解: ?1? f ? x ? ? 1 ? sin x cos x ?

?函数 f ? x ? 的最小正周期是 ? ?

2? ? ? ……………………3 分 2 3? 3? 1 1 当 2x ? ? 2k? (k ? Z ) ,即 x ? ? k? (k ? Z ) 时, ? f ? x ?? ? ? ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? min 2 4 2 2
……………………5 分

1 sin 2 x ? 1 ……………………2 分 2

?函数 f ? x ? 的最小值是

1 ……………………6 分 2

? 2?

f(

?

x 1 1 1 ? ? x ? ?? ? ? ) ? 1 ? sin ? 2( ? ) ? ? 1 ? sin ? ? x ? ? 1 ? cos x …………8 分 4 2 2 2 2 ? 4 2 ? ?2 ?
sin x 3 ? , sin 2 cos x 4

由 tan x ?

x ? cos 2 x ? 1 ,解得: cos x ? ? 5 …………10 分

4

? 4 x ? (0, ),cos x ? 0 ? cos x ? ……………………11 分 2 5
所以

f(

?

x 1 7 ? ) ? 1 ? cos x ? ……………………12 分 4 2 2 5

17、解: ?1? 众数:8.6……………………2 分 中位数:8.75……………………4 分

? 2 ? 记“不幸福”2 人为 m、n ,记“极幸福”4 人为 A、B、C、D ……………5 分
从这 16 人中感到“极幸福”和“不幸福”的调查人里随机选取 2 人,有15种,分别是 mn, mA, mB, mC , mD, nA, nB, nC , nD, AB, AC , AD, BC , BD, CD …………………8分 恰有1人是“极幸福”,有8种,分别是 m? , m? , mC , mD , n? , n? , nC , nD ……………………10分
4

设事件 ? ? “恰有人是“极幸福””,则 ? ? ? ? ? 答:恰有人是“极幸福”的概率是 18、 ?1? 证明:

8 ……………………11分 15

8 ……………………12分 15

O 为 AC 的中点,M 为 BC 的中点

? OM / / AB ……1 分
OM ? 平 面 ABD , AB ? 平面 ABD

? OM // 平面 ABD ……3 分

? 2?

在菱形 ABCD 中, OD ? AC

?在三棱锥 B ? ACD 中, OD ? AC ……4 分
在菱形 ABCD 中,AB=AD=4, ?BAD ? 60

?BD=4
O 为 BD 的中点,

? OD ? BD ? 2 ……5 分
O 为 AC 的中点,M 为 BC 的中点

1 2

OM ?

1 AB ? 2 ……6 分 2
,即 OD ? OM ……7 分

OD 2 ? OM 2 ? 8 ? DM 2

? ?DOM ? 90

AC ? 平面 ABC , OM ? 平面 ABC , AC OM ? O

? OD ? 平面 ABC ……8 分
OD ? 平面 DOM

?平面 DOM ? 平面 ABC ……9 分

? 3? 解:由 ? 2 ? 得, OD ? 平面 BOM
? OD 是三棱锥 D ? BOM 的高……10 分
1 1 3 OD ? 2 , S ?BOM ? ? OB ? BM ? sin 60 ? ? 2 ? 2 ? ? 3 ……12 分 2 2 2

? VB ? DOM ? VD ? BOM ? S?BOM ? OD ? ? 3 ? 2 ?
19、 ?1? 解:∵ an 是 S n 和的等差中项 ∴ S n ? 2an ? 1 …………1 分 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2a1 ? 1
5

1 3

1 3

2 3 ……14 分 3

∴ a1 ? 1 …………2 分 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? (2an ? 1) ? (2an ?1 ? 1) ? 2an ? 2an ?1 ∴ an ? 2an ?1 即

an ? 2 …………3 分 an ?1

∴数列 {an } 是以 a1 ? 1 为首项,公比为 2 的等比数列 ∴ an ? 2n ?1 , S n ? 2n ? 1 …………5 分 设 {bn } 的公差为 d

b1 ? a1 ? 1 , b4 ? 1 ? 3d ? 7
∴ d ? 2 …………7 分 ∴ bn ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 …………8 分

? 2 ? 证明: cn ?
∴ Tn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) …………9 分 bnbn ?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 n …………10 分 (1 ? ? ? ? ... ? ? ) ? (1 ? )? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1

∵ n? N* ∴ Tn ?

1? 1 ? 1 ?1 ? ? ? …………11 分 2 ? 2n ? 1 ? 2

Tn ? Tn ?1 ?

n n ?1 1 ? ? ?0 2n ? 1 2n ? 1 ? 2n ? 1?? 2n ? 1?

∴数列 {Tn } 是一个递增数列…………12 分

1 …………13 分 3 1 1 综上所述, ? Tn ? …………14 分 3 2
∴ Tn ? T1 ? 20、 ?1? 解:∵ 椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 过点 ? 0,1? a 2 b2

∴ b 2 ? 1 …………………………………………1 分
6



c 3 2 ? , a ? b 2 ? c 2 …………………………………………2 分 a 2

∴ a 2 ? 4 …………………………………………3 分 ∴椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 …………………………………………4 分 4

? 2 ? 解法 1:由 ?1? 知,圆 C1 的方程为 x 2 ? y 2 ? 5 ,其圆心为原点 O ………………5 分
∵直线与椭圆 C 有且只有一个公共点 M

? y ? kx ? m, ? ∴方程组 ? x 2 (*) 有且只有一组解 2 ? ? y ?1 ?4
由(*)得 1 ? 4k 2 x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 4 ? 0 ……………………………………6 分 从而 ? ? ? 8km ? ? 4 1 ? 4k
2

?

?

?

2

?? 4m

2

? 4 ? ? 0 ,化简得 m 2 ? 1 ? 4k 2 ① ………………7 分

xM ? ?

4k 2 m m 8km 4km , ……………9 分 y ? kx ? m ? ? ?m? ? ? M M 2 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ?1 ? 4k ?
m ? ? 4km ……………………………………10 分 , 2 2 ? ? 1 ? 4k 1 ? 4k ?

∴ 点 M 的坐标为 ? ?

由于 k ? 0 ,结合①式知 m ? 0

∴ kOM

m 2 1 ? k ? 1 ? 4k ? k ? ? ? ?1 ……………………………………11 分 4km 4 ? 1 ? 4k 2

∴ OM 与 AB 不垂直……………………………………12 分 ∴ 点 M 不是线段 AB 的中点……………………………………13 分 ∴ AM ? BM ? 0 不成立……………………………………14 分 解法 2:由 ?1? 知,圆 C1 的方程为 x ? y ? 5 ,其圆心为原点 O …………………5 分
2 2

∵直线与椭圆 C 有且只有一个公共点 M

? y ? kx ? m, ? ∴方程组 ? x 2 (*) 有且只有一组解 2 ? ? y ?1 ?4

7

由(*)得 1 ? 4k 2 x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 4 ? 0 ……………………………………6 分 从而 ? ? ? 8km ? ? 4 1 ? 4k
2

?

?

?

2

?? 4m

2

? 4 ? ? 0 ,化简得 m 2 ? 1 ? 4k 2 ① ………………7 分

xM ? ?

8km 4km …………………………………………………8 分 ?? 2 1 ? 4k 2 2 ?1 ? 4k ?

由于 k ? 0 ,结合①式知 m ? 0 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,线段 AB 的中点为 N ? xN , y N ? 由?

? y ? kx ? m, 消去 y ,得 ?1 ? k 2 ? x 2 ? 2kmx ? m 2 ? 5 ? 0 ……………………………9 分 2 2 x ? y ? 5, ?

x1 ? x2 km ……………………………………10 分 ?? 2 1? k 2 km 4km 若 xN ? xM ,得 ? ,化简得 3 ? 0 ,矛盾…………………………11 分 ?? 2 1? k 1 ? 4k 2
∴ xN ? ∴ 点 N 与点 M 不重合……………………………………12 分 ∴ 点 M 不是线段 AB 的中点……………………………………13 分 ∴ AM ? BM ? 0 不成立……………………………………14 分 21 、解: ?1? 因为 f ( x) 在区间 [ , ??) 上单调递增,则当 x ? [ , ??) , f ' ( x) ? 0 恒成 立…………………2 分

1 4

1 3

a ? 0 得: a ? x 2 ? x x 1 2 1 1 1 2 因为二次函数 y ? a ? x ? x ? ( x ? ) ? 在 [ , ??) 的最小值为 ? ,……4 分 2 4 3 4 1 从而有 a ? ? , 4 1 1 所以,当 a ? ? 时, f ( x) 在 [ , ??) 上单调递减………………………………5 分 4 3
由 f ?( x) ? x ? 1 ?

? 2?

f ?( x) ? x ? 1 ?

g ( x) a x2 ? x ? a ,构造函数 g ( x) ? x 2 ? x ? a ,则 f ?( x) ? ? x x x

函数 f ( x) ?

1 2 x ? x ? a ln x 的定义域为 (0, ??) ,? g ( x) 与 f ?( x) 同正负………6 分 2

考察函数 g ( x) ? x 2 ? x ? a ,计算 ? ? 1 ? 4a ,下面对 ? 进行讨论

10 . 当 ? ? 0 即 a ? ? 1 时,分两种情况讨论: 4
①当 a ? 0 时:
8

当 x?(

1 ? 1 ? 4a , ??) 时 , g ( x) ? 0 , 即 f ?( x) ? 0 , 所 以 f ( x) 的 单 调 增 区 间 为 2

1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a ( , ??) ;且当 x ? (0, ) 时, g ( x) ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 的单 2 2
调减区间为 (0, ②当 ?

1 ? 1 ? 4a ) …………………………………………………8 分 2

1 ? a ? 0 时: 4

当 x ? (0,

1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a ) 和 x?( , ??) 时, g ( x) ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 的 2 2 1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a )和( , ??) ;……………9 分 2 2

单调增区间为 (0,

当 x?(

1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a , ) 时, g ( x) ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 的单调减区间为 2 2

1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a ( , ) 2 2
………………………………………………………………………10 分

1 20 . 当 ? ? 0 即 a ? ? 时, g ( x) ? 0 对任意的 x ? (0, ??) 恒成立,所以 f ?( x) ? 0 对任意 4
的 x ? (0, ??) 恒成立,所以 f ( x) 的单调增区间为 (??, ??) ……………………12 分 综上, 当 a ? 0 时, f ( x) 的单调增区间为 (

1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a 单调减区间为 (0, , ??) , ) 2 2

当?

1 1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a ? a ? 0 时, f ( x) 的单调增区间为 (0, )和( , ??) ,单调减区 4 2 2

间为 (

1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a , ) 2 2
1 4 时, f ( x) 的单调增区间为 (??, ??) ……14 分

a??


9


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