2016年北京市朝阳区高三文科数学期末试题及答案

北京市朝阳区 2015-2016 学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学试卷(文史类) 2016.1 (考试时间 120 分钟 满分 150 分) 本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分 第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1.已知集合 A ? {?1,0,1}, B ? {x ?1 ? x ? 1} ,则 A I B = A. {0,1} B. {?1, 0} C. {0} D. {?1, 0,1} 2. 下列函数中,既是奇函数又存在零点的是 A . f ( x) ? x B. f ( x ) ? 1 x C. f ( x) ? e x D. f ( x ) ? sin x 3. 执行如图所示的程序框图,则输出的 i 值为 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 开始 m =1, i=1 m=m (2-i)+1 m=m (2-i)+1 (2-i)+1 i= i +1 否 m=0? 是 输出 i 结束 第 3 题图 4.在一段时间内有 2000 辆车通过高速公路上的某处,现随机抽取其中的 200 辆进行车速统计,统 计结果如下面的频率分布直方图所示.若该处高速公路规定正常行驶速度为 90km/h~120km/h,试 估计 2000 辆车中,在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有 A. 30 辆 C. 170 辆 B. 300 辆 D. 1700 辆 0.035 0.030 0.020 0.010 0.005 频率 组距 4 80 90 100 110 120 130 车速(km/h) 第 4 题图 5. 已知 m,n 表示两条不同的直线, ?,? 表示两个不同的平面,且 m ? ?,n ? ? ,则下列说法正 确的是 A.若 ? / / ? ,则 m / / n C.若 m / / ? ,则 ? / / ? B.若 m ? ? ,则 ? ? ? D.若 ? ? ? ,则 m ? n 6.设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y 2 ? ax (a ? 0) 的焦点 F,且与 y 轴交于点 A ,若 ?OAF ( O 为坐标原 点)的面积为 4,则抛物线方程为 A. y 2 ? ?4 x B. y2 ? 4x C. y 2 ? ?8x D. y 2 ? 8 x 7. 已知 A, B 为圆 C : ( x ? m) 2 ? ( y ? n) 2 ? 9 ( m, n ? R ) 上两个不同的点( C 为圆心),且满足 | CA ? CB |? 13 ,则 AB ? A. 23 B. 23 2 C. 2 D. 4 8. 设函数 f ( x ) 的定义域为 D ,如果存在正实数 m ,使得对任意 x ? D ,当 x ? m ? D 时,都有 f ( x ? m) ? f ( x) ,则称 f ( x) 为 D 上的“ m 型增函数”.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 且当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? a ? a ( a ? R ),若 f ( x ) 为 R 上的“20 型增函数”,则实数 a 的取值 范围是 A. a ? 0 B. a ? 20 C. a ? 10 D. a ? 5 第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. 9.计算: i(1 ? i) ? 10. 双曲线 x 2 ? ( i 为虚数单位). y2 ? 1 的渐近线方程为 3 . 11. 在 ?ABC 中,若 BC ? 1 , AC ? 2 , cos C ? 12.已知正数 x , y 满足约束条件 ? 1 ,则 AB ? 4 , sin A ? . ?2 x ? y ? 0 1 ,则 z ? ( ) 2 x ? y 的最小值为 2 ?x ? 3 y ? 5 ? 0 ,侧面积为 . . 13.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积是 3 4 正视图 3 侧视图 俯视图 第 13 题图 14. 在 ?ABC 中, AB ? AC , D 为线段 AC 的中点,若 BD 的长为定值 l ,则 ?ABC 面积的最大 值为 (用 l 表示). 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 是等差数列, 数列 {bn } 是各项均为正数的等比数列, 且 a1 ? b1 ? 3 ,a2 ? b2 ? 14 , a3 ? a4 ? a5 ? b3 . (Ⅰ)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ? an ? bn , n ? N ,求数列 {cn } 的前 n 项和. * 16. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? cos2 x ? 3sin x cos x ? a 的图象过点 ( ,1) . (Ⅰ)求实数 a 的值及函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在 [0, ] 上的最小值. ? 6 ? 2 17. (本小题满分 13 分) 某中学从高一年级、 高二年级、 高三年级各选 1 名男同学和 1 名女同学, 组成社区服务小组. 现 从这个社区服务小组的 6 名同学中随机选取 2 名同学,到社区老年中心参加“尊老爱老”活动(每 位同学被选到的可能性相同). (Ⅰ)求选出的 2 人都是女同学的概率; (Ⅱ)设 “选出的 2 人来自不同年级且是 1 名男同学和 1 名女同学”为事件 N,求事件 N 发生的 概率. 18. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形.点 E 是棱 PC

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