安徽省亳州一中2012-2013学年高一上学期期中考试数学试题

2012—2013 学年度第一学期期中考试 高一数学试题
第 I 卷(50 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分) 1、 设集合

A ? ?x ? 3 ? x ? 3?,B ? y y ? 2 x ,1 ? x ? 2

?

?,则 (C

R

A) ? (C R B) ?





[来源:Zxxk.Com]

A、

? 2,3?
? ??,2? ?3, ???
y ? log 1 ?4 x ? 3? 的定义域为
2

B、

? ??,2? ?3, ???

C、

D、

? ??,2? ? 4, ???
【 】

2、函数

A、 ( ?? ,

3 ) 4

B、

(??,1]

C、 (

3 ,1] 4

D、 (

3 ,1) 4
【 】

3、若函数 A、 a

f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间 ?4,??? 上是递增的,那么实数 a 的取值范围是
B、 a

? ?3

? ?3

C、 a

?5

D、 a

?5

5、

4x ? b 是奇函数,那么 a ? b 的值 f ( x) ? lg(10 ? 1) ? ax 是偶函数, g ( x) ? 2x
x





A. 1

B.-1

C. ?

1 2

D.

1 2
【 】

6.设函数

? 1 x ?( ) ? 3( x ? 0) f ( x) ? ? 2 , 已知 f (a) ? 1 ,则实数 a 的取值范围是 ? 1 2 ? x ( x ? 0)
B. (??, ?2)

A. (?2,1) C. (1, ??)

(1, ??) (0, ??)

D. (??, ?1)

7、函数

y?

e x ? e?x e x ? e?x

的图像大致为





y 1 O 1 1 A
8 、 已 知 【 A、 】

y

y 1

y 1 x O D 1 x

1 x O1 x

O 1

B

C
, 且

f ( x)

满 足

a f ( ) ? f (a) ? f (b) b

f (2) ? p



f (3) ? q

那 么

f (72)

等 于

p?q

B、 3 p ? 2q

C、 2 p ? 3q

D、

p3 ? q 2

9、已知

f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,它在 [0,??) 上是增函 数,且 f (2) ? 0, 则不等 f (log2 x) ? 0
【 C、 ( 】 、

的解集为 A、 (0,

1 ) B、 ( 4,??) 4 1 (0, ) ? (4,?? ) 4

1 ,1) ? (4,?? ) 4

D

10 、 定 义 函 数

y ? f ( x), x ? D , 若 存 在 常 数 C

, 对 任 意 的 x1

? D , 存 在 唯 一 的 x2 ? D , 使 得

f ( x1 ) f ( x2 ) ? C ,则称函数 f ( x) 在 D 上的几何平均数为 C . 已知 f ( x) ? x, x ? [2,4] ,则函数
f ( x)
【 A. 】 在

[2, 4]

















2

B. 2

C. 2

2

D. 4

第 II 卷(100 分)
二、填空题(本大题共 5 小题,每题 5 分,共 25 分) 11、已知幂函数 12、已知函数

y ? (m2 ? 5m ? 5) x2m?1 在 (0,? ? ) 上为减函数,则实数 m ?

.

y ? f ( x 2 ? 4) 的定义域是 ?? 1,5? ,则函数 y ? f (2 x ? 1) 的定义域为

13、若函数 14、设

y ? x 2 ? 3x ? 4 的定义域为 [0, m] ,值域为 [?

25 ,?4] ,则 m 的取值范围是 4

f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,则 f (15) ? _______ f ( x) 的定义域为 D ,若存在非零实数 l 使得对于任意 x ? M ( M ? D) ,有 x ? l ? D ,且
上的“ l 阶高调函数” 。 如果定义域为 R 的函数

15、设函数

f ( x ? l ) ? f ( x) ,则称 f ( x) 为 M

f ( x) 是奇函数,当

x ? 0 时, f ( x) ? x ? a 2 ? a 2 ,且 f ( x) 为 R 上的“4 阶高调函数” ,那么实数 a 的取值范围是_____.
三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16、 (本小题满分 12 分)

已知函数

f ( x) ?

x ?1 x?2

的定义域是集合

A ,函数 g ( x) ? lg[(x ? a)(x ? a ? 1)] 的定义域是集合 B 。

(1)求集合 (2)若

A、B 。

A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围。

17、 (本小题满分 12 分) 已知 2
x

? 256且 log 2 x ?

1 2

(1)求 x 的取值范围;

(2)求函数

f ( x) ? log2

x x ? log 2 ( ) 的最大值和最小值。 2 2

18、 (本小题满分 12 分) 已知函数

f ( x) ? log a

1 ? kx x ?1

(a ? 1) 是奇函数

(1)求 k 的值,并求出该函数的定义域;

(2)根据(1)的结果,判断

f ( x) 在 (1 , ? ?) 上的单调性,并给出证明.

19、 (本小题满分 13 分) 已知:函数

f ( x) 对一切实数 x, y 都有 f ( x ? y) ? f ( y) ? x( x ? 2 y ? 1) 成立,且 f (1) ? 0 .

(1)求

f (0) 的值; f ( x) 的解析式。
?x? 1 时,不等式 f ( x) ? 3 ? 2 x ? a 恒成立; Q :当 x ? [?2,2] 时, 2

(2)求

(3)已知 a ? R ,设 P :当 0

g ( x) ? f ( x) ? ax 是单调函数。 如果满足使 P 成立的 a 的集合记为 A , 满足使 Q 成立的 a 的集合记为 B ,
求 。 A ? CR B ( R 为全集)

20、 (本小题满分 13 分) 对 于 函数

f ( x) , 若 存 在 x0 ? R , 使得 f ( x0 ) ? x0 成 立 , 则 称 x0 为 函数 f ( x) 不 动 点 .已 知 函数

f ( x) ? ax2 ? (b ? 7) x ? 18 有两个不动点分别是 ? 3 和 2 .
(1)求 a , b 的值及 (2)试求函数

f ( x) 的表达式 ;

f ( x) 在区间 [t , t ? 1] 上的最大值 g (t ) .

21、 (本小题满分 13 分) 定义在 D 上的函数 如果满足: 对任意 x ? D , 存在常数 M ? 0 , 都有 f ( x) ? M f ( x) , 成立, 则称

f ( x)

是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数 (1)判断函数

f ( x) 的上界.

f ( x) ? x 2 ? 2x ? 2, x ? [0,2] 是否是有界函数,请写出详细判断过程;
? 0, N ? 0 ,若 f ( x), g ( x) 在 D 上分别以 M , N 为上界。
f ( x) ? g ( x) 在 D 上以 M ? N 为上界;

(2)试证明:设 M 求证:函数 (3)若

1 1 f ( x) ? 1 ? a ? ( ) x ? ( ) x 在 [0. ? ?) 上是以 3 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围. 2 4

[来源:学科网]

[来源:学科网]

2012—2013 学年度第一学期期中考试 数学答案
一、选择题 题号 答案 1 C C 2
[来源:学科网]

3 B

4 D

5 D

6 B

7 A

8 B

9 D

10 C

二、填空题 11、 ? 1 12、 [ ?

5 ,10 ] 2

13、 [ ,3] 14、 0 15、 [ ?1,1] 三、解答题 16、解: (1) A ? x x ? ?1 或 x ? 2? (2)? A ? B ? B

3 2

?

。 。 。 。 。 。 。6 分 B ? ?x x ? a 或 x ? a ? 1? 。
?a ? ?1 ?? ?a ? 1 ? 2

?A? B
1 2

。 。 。 。 。 。 。6 分 ? ?1 ? a ? 1 。

17、解: (1)? 2 x ? 256且 log 2 x ? (2) f ( x) ? log2 记 log2 x ? t ,

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。。 。 。 。 。 。 。 。 。 。4 分 ? 2 ? x ? 8。

x x ? log 2 ( ) ? (log2 x ? 1)(log2 x ? 2) 2 2

? 2 ? x?8

?

1 ? t ? log 2 x ? 3 2

函数 f ( x) 变形为: y ? t 2 ? 3t ? 2 , ( 1 ? t ? 3)
2

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分 ?[ f ( x)]max ? 2 ,? [ f ( x)] min ? ? 。 18、解:? f ( x) ? log a

1 4

1 ? kx x ?1

(a ? 1) 是奇函数


? f ( ? x) ? f ( x ) ? 0

? log a

1 ? kx 1 ? kx ? log a ?0 ? x ?1 x ?1

1 ? kx 1 ? kx ? ?1 ? x ?1 x ?1

?1 ? k 2 x 2 ? 1 ? x 2

? k ? ?1 , (k ? 1 舍去 ) 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。4 分

? f ( x) ? log a

x ?1 (a ? 1) x ?1
的 定 义 域 为

? f ( x)

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。6 分 (??,?1) ? (1,??) 。 ( 2 )

f ( x)



(1 , ? ?)



















下: 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。7 分 任取 x1 ? x2 ? (1,??) ,则

x1 ? 1 x2 ? 1 2( x2 ? x1 ) ? ? ?0 x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)(x2 ? 1)

?

x1 ? 1 x2 ? 1 x ?1 x ?1 ,又 a ? 1 ? loga 1 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? loga 2 x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1

? f ( x) 在 (1 , ? ?) 上 单 调 递 减 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。
。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分

? f (1) ? 0 ? f (0) ? ?2 。 19、 解: (1) 令 x ? 1, y ? 0 得: f (1) ? f (0) ? 2 , 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。
2分 ( 2 ) 令

y?0





f ( x) ? f (0) ? x 2 ? x

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。4 分 ? f ( x) ? x 2 ? x ? 2 。
2 (3)对于 P : a ? x ? x ? 1 在 0 ? x ?

1 时恒成立,? a ? 1 2

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。8 ? A ? ?a a ? 1?。 分 对于 Q : 当 x ? [?2,2] 时, g ( x) ? x 2 ? (1 ? a) x ? 2 是 单调函数

?

a ?1 a ?1 ? ?2 或 ?2 2 2

? a ? ?3 或 a ? 5


? B ? ?a a ? ?3
a ? 5? 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。13 分 ? A ? CR B ? ?a1 ? a ? 5?。 20、解: (1)? f ( x) ? ax ? (b ? 7) x ? 18 的不动点是 ? 3 和 2
2

? ax2 ? (b ? 8) x ? 18 ? 0 的两个根是 ? 3 和 2
?8 ? b ? ?1 ? ?a ? ?3 ? a ?? ?? ?b ? 5 ?18 ? ?6 ? ?a
。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。6 ? f ( x) ? ?3x 2 ? 2x ? 18 .。 分 (2)①当 t ? ?

1 2 时, f ( x) 在 [t , t ? 1] 上单调递减, g (t ) ? ?3t ? 2t ? 18 3
1 4 即 t?? 时 , f ( x) 在 [t , t ? 1] 上 单 调 递 增 , 3 3

② 当 t ?1 ? ?

g (t ) ? ?3t 2 ? 8t ? 13
③当 t ? ?

1 4 1 1 ? t ? 1 即 ? ? t ? ? 时 , f ( x ) 在 [t , ? ] 上 单 调 递 增 , 在 3 3 3 3

1 [ ? , t ? 1] 递减 3 55 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分 3

? g (t ) ?

1 ? 2 (t ? ? ) ?? 3t ? 2t ? 18   3 ? 4 1 ? 55 (? ? t ? ? ) 。 综 上可知: g (t ) ? ?      。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 3 3 ?3 4 ? 2 (t ? ? ) ?? 3t ? 8t ? 13   3 ?
。 。 。 。 。 。 。 。 。13 分 21、解: (1)? f ( x) ? x ? 2 x ? 2 在 [0,1] 递减、 [1,2] 递增
2

? 当 x ? [0,2] 时, 1 ? f ( x) ? 2
? 当 x ? [0,2] 时, f ( x) ? 2 ?
函 数

f ( x) ? x 2 ? 2x ? 2, x ? [0,2]









数。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。4 分

(2)? f ( x), g ( x) 在 D 上分别以 M , N 为上界

? ?M ? f ( x) ? M ,? ? N ? g ( x) ? N ? ?(M ? N ) ? f ( x) ? g ( x) ? M ? N
即 f ( x) ? g ( x) ? M ? N 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 ? 函 数 f ( x) ? g ( x) 在 D 上 以 M ? N 为 上 界 ; 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。8 分 (3)? f ( x) ? 1 ? a ? ( ) ? ( ) 在 [0. ? ?) 上是以 3 为上界的有界函数
x x

1 2

1 4

1 1 ? ?3 ? 1 ? a ? ( ) x ? ( ) x ? 3 在 [0. ? ?) 上 恒 成 2 4 1 ( ) x ? t , t ? (0,1] 2

立 , 记

? ?3 ? 1 ? a ? t ? t 2 ? 3 在 t ? (0,1] 时恒成立。

2 ? a ? ?t ? ? t ?? 在 t ? (0,1] 时恒成立。 ?a ? ?(t ? 4 ) ? t ?

[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

?a ? 1 ?? ?a ? ?5
t ? (0,1] 上的单调性。

注:此处应证明函数 y ?

2 4 ? t 和 y ? ? (t ? ) 在 t t

?





a













? 5 ? a ? 1。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。13 分


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