22120.com:高中数学第二章2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角知识巧解学案新人教A版必修69

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学习资料专题
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
疱工巧解牛 知识?巧学 一、两个向量数量积的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),取与 x 轴、y 轴分别同向的两个单位向量 i、j,则 a=(x1,y1)=x1i+y1j, b=(x2,y2)=x2i+y2j.由数量积的定义可知:i·i=1,j·j=1,i·j=0,j·i=0. 所以 a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1j·i+y1y2j2=x1x2+y1y2. 学法一得 通过坐标形式用 i、j 表示以后,数量积的运算就类似于多项式的乘法,展开后 再合并同类项.也就是“两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和”,即 a·b=x1x2+y1y2.引入坐标后,把向量的数量积的运算与两向量的坐标运算联系起来,即可用 a·b=|a||b|cosθ =x1x2+ y1y2 来求值. 二、向量的模的坐标表示和平面内两点间的距离公式 1.a·a=(xi+yj)·(xi+yj)=x2+y2.
又 a·a=a2=|a|2,∴|a|2=x2+y2.∴|a|= x2 ? y 2 .
2.平面直角坐标系下的两点间的距离等于以这两点中的一个点为起点,另一个点为终点的向 量的模.

已知 A(x1,y1),B(x2,y2),

图 2-4-4

则 AB =(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1),

所以| AB |= (x2 ? x1)2 ? ( y2 ? y1)2 .
这就是平面内两点间的距离公式.
学 法 一 得 向量 a 的模|a|= x2 ? y2 也 具有 一定 的几何意 义, 即 |a|= x2 ? y 2 ?

(x ? 0)2 ? ( y ? 0)2 ,通过简单的构造,它表示点(x,y)到原点(0,0)的距离.
3.向量垂直的坐标表示 我们已经知道平面上两个向量 b=(x2,y2),a=(x1,y1)共线的充要条件:x1y2-x2y1=0. 由数量积的定义看,a·b=|a||b|cosθ =x1x2+y1y2,已知两向量垂直的充要条件是 a·b=0,
可得 a⊥b ? a·b=0 ? x1x2+y1y2=0.
学法一得 公式 x1x2+y1y2=0 是判定两个向量垂直的条件,在实际中可通过它来证明两个向

唐玲

量垂直或三角形为直角三角形或四边形为矩形等. 4.用平面向量数量积的坐标公式计算两个向量的夹角 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),由数量积的定义

a·b=|a||b|cosθ ,得 cosθ = a ? b ,即 cosθ = x1x2 ? y1 ? y2 .

| a || b |

x12 ? y12 ? x22 ? y22

学法一得 利用此公式,可直接求出两向量的夹角. 典题?热题 知识点一 平面内两点间的距离公式

例 1 已知 A(-3,4),B(5,2),则| AB |=___________.
解:直接利用公式.

| AB |= (5 ? 3)2 ? (2 ? 4)2 ? 2 17 .

也可先求 AB ,再求| AB |.
∵ AB =(5,2)-(-3,4)=(8,-2),∴| AB | ? 82 ? (?2)2 ? 2 17 .
知识点二 两个非零向量的数量积与垂直 例 2 已知四边形 ABCD 的顶点分别为 A(2,1),B(5,4),C(2,7),D(-1,4), 求证:四边形 ABCD 是正方形. 证明: ∵A(2,1),B(5,4),C(2,7),D(-1,4),
∴AB=(5-2,4-1)=(3,3), DC =(2+1,7-4)=(3,3).

∴ AB = DC ,从而四边形 ABCD 为平行四边形.

又∵ AD =(-1-2,4-1)=(-3,3), AB =(3,3),

∴ AD · AB =(-3,3)·(3,3)=-9+9=0.

∴ AD ⊥ AB .∴平行四边形 ABCD 为矩形.

又∵ AB =(3,3), AD =(-3,3),∴| AB |=| AD |= 3 2 .
∴矩形 ABCD 为正方形.
例 3 在△ABC 中, AB =(2,3), AC =(1,k),且△ABC 的一个内角为直角,求 k 的值.
思路分析:由于没指出哪个内角是直角,故需分别讨论,借助向量减法的运算法则求出△ABC
中一边 BC 对应的向量 BC ,再用两个向量垂直的条件,构造出 k 的方程,从而求出 k 的值.

解:(1)当∠A=90°时,∵ AB · AC =0,

唐玲

∴2×1+3k=0.∴k= ? 2 . 3
(2)当∠B=90°时, BC = AC - AB =(1-2,k-3)=(-1,k-3), ∵ AB · BC =0,∴2×(-1)+3(k-3)=0.∴k= 11 .
3
(3)当∠C=90°时,
∵ AC · BC =0,∴-1+k(k-3)=0,即 k2-3k-1=0.

∴k1= 3 ? 13 或 k2= 3 ? 13 .

2

2

综合(1)(2)(3)可知 k 的值为 k= ? 2 或 k= 11 或 k= 3 ? 13 .

3

3

2

例 4 如图 2-4-5,以原点和 A(5,2)为两个顶点作等腰 Rt△OAB,使∠B=90°,求点 B 和向

量 AB 的坐标.

图 2-4-5
思路分析:关键是求出 B 点的坐标,设 B(x,y),由 OB ⊥ AB 和| OB |=| AB |,则可列出

x、y 的方程组,解方程组,则可求得 x、y,再求 AB 的坐标.

解:设 B 点坐标为(x,y),则 OB =(x,y), AB =(x-5,y-2).

∵ OB ⊥ AB ,

∴x(x-5)+y(y-2)=0,

即 x2+y2-5x-2y=0.



又| OB |=| AB |,

∴x2+y2=(x-5)2+(y-2)2,

即 10x+4y=29.



解①②得

???x1 ?

? ??

y1

? ?

7, 2 ?3
2



? ??

x

2

?

? ??

y

2

? ?

3, 2 7. 2

唐玲

∴B 点坐标为( 7 ,- 3 )或( 3 , 7 ). 2 2 22

∴ AB =(- 3 , ? 7 )或 AB =( ? 7 , 3 ).

22

22

方法归纳 本题是构造方程的题目,主要是用两个向量垂直的条件、向量的减法、向量的模

的定义,紧紧抓住“等腰”“直角”两个条件,把方程组列出来.在解方程组时,应注意代

入消元思想的运用.

知识点三 用平面向量数量积求实数

例 5 设 I 为△ABC 的内心,AB=AC=5,BC=6, AI =m AB +n BC ,求 m 和 n 的值.

图 2-4-6 解:如图 2-4-6,建立坐标系.由题意知 A(0,4),B(-3,0),C(3,0), 因为 I 为△ABC 的内心,AB=AC,所以点 I 在 y 轴上,设其坐标为 I(0,k).
又 AB =(-3,-4), BC =(6,0),

因为点 I 在∠ABC 的平分线上,所以 BI 与 BA 及 BC 的单位向量的和向量共线.设这个和向
量为 u,

则 u=( 3 , 4 )+(1,0)=( 8 , 4 ).u 的单位向量 u0=( 2 , 1 ),它与 BI 的单位向量相等,

55

55

55

BI =(3,k),由此得方程 2 ? 3 . 5 9?k2

解方程得 k= 3 (另一负根不合题意,舍去). 2

所以, AI =(0, 3 -4)=(0, ? 5 ).

2

2

又 AI =m AB +n BC ,故(0, ? 5 )=m(-3,-4)+n(6,0), 2



?? ? ????

3m 4m

? 6n ? ? ?2.
5

0,

解得

m=

1 10

,n=

1 20

.

方法归纳 利用平面向量的数量积的坐标表示及其运算律可用来证明几何问题,它一般分为 三步:一是建立适当的坐标系,用点的坐标表示几何关系;二是进行向量的坐标运算;三是 还原为几何结论.

例 6 平面内三点 A、B、C 在一条直线上, OA =(-2,m), OB =(n,1), OC =(5,-1),且

唐玲

OA ⊥ OB ,求实数 m、n 的值.

思路分析:因为 A、B、C 三点共线,所以 AC =λ AB ;由 OA ⊥ OB ,知 OA · OB =0,由
上述两个关系列出方程,可求得 m、n 的值.
解:因为 A、B、C 三点共线,所以 AC =λ AB .

因为 AC = OC - OA =(7,-1-m), AB = OB - OA =(n+2,1-m),

所以(7,-1-m)=λ

(n+2,1-m),即

?7 ? ?(n ? 2), ??1? m ? ?(m ?

1).

所以 mn-5m+n+9=0.



由 OA · OB =0,得 m-2n=0,



由①②得 m=6,n=3 或 m=3,n= 3 . 2
方法归纳 解决此类问题,主要是利用平行、垂直的条件列出方程,通过解方程使问题解决, 体现了方程思想的运用. 知识点四 用平面向量数量积的坐标公式计算两个向量的夹角 例 7 已知向量 a=e1-e2,b=4e1+3e2,其中 e1=(1,0),e2=(0,1). (1)试计算 a·b 及|a+b|的值; (2)求向量 a 与 b 夹角的余弦. 思路分析:根据条件,先求出 a 与 b 的坐标,然后根据数量积的定义、模以及夹角的运算公 式求解. 解:(1)a=e1-e2=(1,0)-(0,1)=(1,-1), b=4e1+3e2=4(1,0)+3(0,1)=(4,3). ∴a·b=4×1+3×(-1)=1,

|a+b|= (4 ?1)2 ? (3 ?1)2 ? 25 ? 4 ? 29 .

(2)由 a·b=|a||b|cosθ ,∴cosθ = a ? b ? 1 ? 2 . | a || b | 2 ? 5 10

例 8 平面内有向量 OA =(1,7),OB =(5,1),OP =(2,1),点 M 为直线 OP 上的一动点.

(1)当 MA · MB 取最小值时,求 OM 的坐标;
(2)当点 M 满足(1)的条件和结论时,求 cos∠AMB 的值.
思路分析:因为点 M 在直线 OP 上,向量 OM 与 OP 共线,可以得到关于 OM 坐标的一个关

系式,再根据 MA · MB 的最小值,求得 OM ,而 cos∠AMB 是向量 MA 与 MB 夹角的余弦,
利用数量积的知识容易解决.

唐玲

解:(1) OM =(x,y),
∵点 M 在直线 OP 上,
∴向量 OM 与 OP 共线.

图 2-4-7

又 OP =(2,1),∴x·1-y·2=0,即 x=2y.∴ OM =(2y,y).

又 MA = OA - OM ,OA=(1,7),∴ MA =(1-2y,7-y).

同理, MB = OB - OM =(5-2y,1-y).

于是, MA · MB =(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)=4y2-12y+5+y2-8y+7
=5y2-20y+12.
由二次函数的知识,可知当 y ? ? ? 20 ? 2 时,MA · MB 有最小值-8,此时 OM =(4,2). 2?5
(2)当 OM =(4,2),即 y=2 时,有 MA =(-3,5), MB =(1,-1),

| MA |= 34 ,| MB |= 2 ,

MA · MB =(-3)×1+5×(-1)=-8,

∴cos∠AMB= MA? MB ? ? 8 ? ? 4 17 .

| MA| ? | MB | 34 ? 2

17

方法归纳 与最值有关的问题,往往是先选取适当的变量,建立关于取定变量的目标关系式 (或函数关系式),通过求函数最值的基本方法求解.如转化成二次函数或三角函数问题等. 问题?探究 误区陷阱探究 问题 我们前面学习了两个向量的数量积、向量同实数的积、实数之间的运算,一个是向量 乘向量,一个是数乘向量,一个是实数乘实数,三者有很大区别.具体说它们有哪些差别? 探究过程:根据定义,两个向量的数量积等于这两个向量的模与两个向量夹角余弦的积,向 量的模与两个向量夹角的余弦值均为实数,所以两个向量的数量积是一个实数,不是向量, 不再具有方向,其符号由 cosθ 的符号所决定.向量同实数的积相当于将向量伸长或缩短了 若干倍,其方向与原向量的方向相同或相反.两个向量的数量积称为内积,写成 a·b;今后 还要学到两个向量的外积 a×b,而 a·b 是两个向量的数量的积,书写时要严格区分.符号

唐玲

“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替.在实数中,若 a≠0,且 a·b=0,则 b=0;但是在数量积中,若 a≠0,且 a·b=0,不能推出 b=0.因为其中 cosθ 有
可能为 0.现有实数 a、b、c(b≠0),则 ab=bc ?a=c.但是 a·b=b·c a=c,如图 2-4-8,
a·b=|a||b|cosβ =|b|| OA |,b·c=|b||c|cosα =|b|| OA |,∴a·b=b·c,但 a≠c.这些
都是与实数运算不一样的地方,应该特别注意,防止出错.
图 2-4-8 探究结论:两个向量的数量积是向量乘向量,其结果为向量同实数的积、实数之间的运算, 一个是数乘向量,一个是实数乘实数. 思维发散探究 问题 设 a、b 是不相等的实数,试探求证明不等式(a4+b4)(a2+b2)>(a3+b3)2 的方法. 探究思路:对于不等式的证明比较常见的方法是作差法,即求出不等式两边式子的差,再根 据差与零的关系来达到证明不等式的目的.现在我们又学习了向量数量积的坐标表示,因此 可以根据不等式结构构造向量,利用向量知识来达到证明不等式的目的. (a4+b4)(a2+b2)-(a3+b3)2=a6+b6+a4b2+a2b4-a6-b6-2a3b3=a4b2+a2b4-2a3b3 =a2b2(a2-ab)+a2b2(b2-ab)=a2b2(a-b)2. 由 于 a 、 b 是 不 相 等 的 实 数 , 则 (a4+b4)(a2+b2)-(a3+b3)2=a2b2(a-b)2>0 , 即 (a4+b4)(a2+b2)>(a3+b3)2. 思想方法探究
问题 如右图,将向量 a=(2,1)围原点按逆时针方向旋转 ? 得到向量 b,则向量 b 的坐标 4
是多少?

图 2-4-9 探究过程:可设向量 b 的坐标为(x,y),然后根据两向量的长度相等和两向量的夹角公式列 出关于 x、y 的方程组解之即可. 具体步骤如下:

?| b |?| a |,



b=(x,y),由已知条件,有

? ???a

?

b

?|

a

||

b

|

c

? os
4

,

唐玲

代入坐标得

?x2 ? ? ??2x

? ?

y 2 ? 5, y?5 2
2

,

解之,得

? ??x ?

? ??

y

? ?

2, 2 32 2



? ??x ?

? ??

y

? ?

3 2, 2 (舍去).
?2 2

故 b=( 2 , 3 2 ). 22
探究结论:函数与方程思想的核心是构造函数,利用函数的性质和图象,或构造方程(组)解 方程(组),利用方程与函数的有关知识解题.由于向量的某些运算性质与实数的运算性质类 似,因此可以将向量的一些等式看作以这个向量为未知数的方程,运用解方程的一些方法求 这个向量.此外,本章中向量的代数运算和坐标运算的桥梁也是方程,利用向量相等或向量 的运算性质构造方程(组)、解方程(组)使问题得以解决.在求字母的范围时,也可以利用函 数与方程的思想,构造函数,求函数的值域,以达到求字母范围的目的.

唐玲


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